ROZDZIAŁ III: Stany nieustalone

Temat 8 : Stan ustalony i nieustalony w obwodach

elektrycznych.

Dotychczas rozpatrywane obwody elektryczne pr du stałego i zmiennego

rozpatrywane były w tzw. stanie ustalonym. Charakterystyczne dla tego stanu jest to,

e przy okre lonych warto ciach napi i pr dów ródłowych odpowied obwodu

(pr dy i napi cia na elementach) ma „taki sam charakter” jak wymuszenie. Je eli

przykładowo działały w obwodzie wymuszenia stałe, to przyjmowali my, e pr dy i

napi cia we wszystkich gał ziach i napi cia na elementach s równie stałe i nie

zmieniaj si w czasie.

Nale y sobie zdawa spraw , e obwód elektryczny zawieraj cy cewki i

kondensatory, tzn. elementy zdolne do gromadzenia energii elektrycznej, po

doł czeniu do ródła energii nie mo e natychmiast znale si w stanie ustalonym.

Elementy te przed doł czeniem do ródła mogły znajdowa si w stanie

bezenergetycznym lub z elementami tymi mogła by zwi zana pewna energia.

Z przytoczonych rozwa a wynika, e zarówno w obwodzie, który zostaje

doł czony do ródła energii, jak i w obwodzie, w którym nast puje zmiana

struktury, powstaje

stan nieustalony

.

Poj cie stanu ustalonego i stanu nieustalonego odnosz si nie tylko do

obwodów, w których działaj napi cia i pr dy ródłowe stałe w czasie. Bezpo rednio

po doł czeniu ródeł stałych lub zmiennych w czasie lub po dokonaniu zmiany

struktury obwodu, w obwodzie powstaje stan nieustalony i w miar upływu czasu

nast puje ustalanie si przebiegów napi i pr dów.

Poniewa w stanach nieustalonych mog pojawi si przepi cia jak i

przet enia, znajomo zmienno ci pr dów i napi w funkcji czasu ma istotne

znaczenie. Z reguły napi cia i pr dy w stanie nieustalonym charakteryzuj si inn

zmienno ci w czasie ni w stanie ustalonym.

Temat 9 : Warunki pocz tkowe. Prawa komutacji.

Stanem pocz tkowym

obwodu nazywamy stan obwodu w chwili, w

której rozpoczynamy badanie zjawisk w tym obwodzie. W wi kszo ci

przypadków przyjmuje si jako stan pocz tkowy stan w chwili t = 0. Stan

pocz tkowy jest przewa nie stanem ustalonym, poprzedzaj cym czynno ci

ł czeniowe prowadz ce do powstania stanu nieustalonego. Mo e to by

stan, w którym wszystkie napi cia i pr dy w obwodzie s równe zeru.

Mówimy wtedy, e

stan pocz tkowy

jest

zerowy

, albo, e

warunki

pocz tkowe s zerowe

. Je eli w chwili t = 0 na jakimkolwiek elemencie

obwodu wyst puje napi cie lub płynie pr d, to

warunki pocz tkowe s

niezerowe

.

Rys. 9.1. Powstawanie stanu nieustalonego: a) obwód tu przed komutacj ;

b) obwód tu po komutacji.

Zmiany stanu zachodz ce w obwodzie w pewnej okre lonej chwili

nazywamy

komutacj

. Komutacja mo e by wywołana zarówno

zamykaniem wył cznika, jak i jego otwieraniem.

Rys.9.2. Oznaczanie czynno ci: a) zamykanie wył cznika w;

b) otwieranie wył cznika w.

Z zamykaniem i otwieraniem wył cznika w obwodzie z

indukcyjno ci i w obwodzie z pojemno ci zwi zane s dwa prawa

fizyczne zwane

prawami komutacji

.

Pierwsze prawo komutacji:

Pr d w obwodzie z indukcyjno ci nie mo e zmieni si

„skokiem” i w chwili tu przed komutacj ma tak sam warto jak

w chwili tu po komutacji.

Pierwsze prawo komutacji nazywane jest te zasad ci gło ci pr du i

strumienia magnetycznego w cewce. Poniewa strumie magnetyczny

skojarzony z cewk wynosi =L·i, zatem zasada niezmienno ci pr du w

chwili komutacji jest równowa na zasadzie niezmienno ci strumienia

magnetycznego skojarzonego z cewk .

Drugie prawo komutacji:

Napi cie na kondensatorze nie mo e si zmieni „skokiem” i w

chwili tu przed komutacj ma tak sam warto jak w chwili tu po

komutacji.

Drugie prawo komutacji nazywane jest te zasad ci gło ci ładunku

na pojemno ci. Poniewa ładunek zgromadzony na okładzinach

kondensatora wynosi q=C·u, zatem zasada niezmienno ci napi cia na

kondensatorze w chwili komutacji jest równowa na zasadzie

niezmienno ci ładunku zwi zanego z kondensatorem.

Temat 10 : Stan nieustalony w układzie szeregowym R,L

Załó my, e do gał zi, w której s poł czone szeregowo elementy

R,

L doprowadzono w chwili t = 0 napi cie stałe. Odpowiada to zamkni ciu

wył cznika

W w chwili t = 0 w obwodzie jak na rys. 10.1. Stan

pocz tkowy obwodu jest zerowy, tzn. w chwili

t = 0 z elementem

indukcyjnym

L nie jest zwi zana adna energia.

Rys. 10.1. Dwójnik szeregowy R,L wł czony na napi cie stałe.

Po zamkni ciu wył cznika

W w obwodzie powstaje stan nieustalony.

Wyznaczony przebieg pr du

i w funkcji czasu zmienia si od zera do

warto ci ustalonej

R

U

i

u

=

gdy w obwodzie pr du stałego w stanie ustalonym napi cie na elemencie

indukcyjnym jest równe zeru.

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa w obwodzie z powy szego rysunku

bilans napi ma posta :

dt

di

L

Ri

U

+

=

Po przekształceniach (rachunek całkowy), ostatecznie otrzymujemy, e dla

dowolnej chwili t > 0 otrzymujemy:

t

L

R

e

R

U

R

U

i

−

−

=

(1)

lub

−

=

− t

L

R

e

R

U

i

1

(2)

Pierwsza składowa prawej strony równania (1) jest nazywana

składow

ustalon

pr du, a druga jest nazywana

składow

przej ciow

pr du.

Składowa przej ciowa pr du ma w chwili t = 0 warto

R

U

−

i w miar

upływu czasu asymptotycznie d y do zera.

Na rysunku 10.2a przedstawiony został przebieg funkcji czasu składowej

ustalonej

i

u

, składowej przej ciowej

i

p

oraz pr du wypadkowego

i = i

u

+i

p

Pr d wypadkowy d y

asymptotycznie do pr du ustalonego i ma charakter

krzywej wykładniczej.

Rys.10.2 Przebiegi czasowe pr du i napi w dwójniku szeregowym

R,L wł czonym

na napi cie stałe: a) przebieg pr du; b) przebiegi napi

u

R

i

u

L

Je eli mamy wyznaczony pr d w stanie nieustalonym, to mo emy równie

wyznaczy napi cie na rezystancji

u

R

i napi cie na indukcyjno ci

u

L

.

Napi cie na rezystancji:

t

L

R

t

L

R

R

Ue

U

e

R

U

R

U

R

Ri

u

−

−

−

=

−

=

=

Napi cie na indukcyjno ci:

t

L

R

L

Ue

dt

di

L

u

−

=

=

Temat 11 : Stan nieustalony w układzie szeregowym R,C

Załó my, e do gał zi, w której s poł czone szeregowo elementy

R,

C doprowadzono w chwili t = 0 napi cie stałe. Odpowiada to zamkni ciu

wył cznika

W w chwili t = 0 w obwodzie jak na rys. 11.1. Stan

pocz tkowy obwodu jest zerowy, tzn. w chwili

t = 0 napi cie na

pojemno ci u

C

= 0, a zatem z elementem pojemno ciowym

C nie jest

zwi zana adna energia.

Rys.11.1 Dwójnik szeregowy R,C wł czony na napi cie stałe.

Po zamkni ciu wył cznika

W w obwodzie powstaje stan nieustalony.

Wyznaczony przebieg napi cia u

C

w funkcji czasu b dzie zmieniał si od

zera do warto ci ustalonej wynosz cej

U

u

Cu

=

Oznacza to, e z biegiem czasu napi cie na kondensatorze osi gnie warto

napi cia ródła. Proces zachodz cy w rozpatrywanym obwodzie

nazywamy procesem ładowania kondensatora przez rezystor ze ródła

napi cia stałego.

Zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa w obwodzie z powy szego rysunku

bilans napi ma posta :

C

u

Ri

U

+

=

(1)

Pr d ładowania kondensatora:

dt

du

C

dt

dq

i

C

=

=

gdy dq = Cdu

C

(q = Cu

C

). Ładunek elementarny jest proporcjonalny do

napi cia elementarnego.

Podstawiaj c powy sze do wzoru (1) otrzymamy:

C

C

u

dt

du

RC

U

+

=

Po przekształceniach (rachunek całkowy), ostatecznie otrzymujemy, e dla

dowolnej chwili t > 0 otrzymujemy:

t

RC

C

Ue

U

u

1

−

−

=

albo

−

=

−

t

RC

C

e

U

u

1

1

Przez analogi do obwodu z indukcyjno ci wprowadzamy poj cie stałej

czasowej obwodu z pojemno ci , przy czym dla obwodu z pojemno ci

stała czasowa

= RC

Po wprowadzeniu stałej czasowej powy sze równania mo emy zapisa w

postaci:

t

C

Ue

U

u

τ

1

−

−

=

(2)

albo

−

=

− t

C

e

U

u

τ

1

1

Pierwsza składowa prawej strony równania (2) jest

składow ustalon

napi cia na kondensatorze, a druga –

składow przej ciow

napi cia.

Składowa przej ciowa ma w chwili

t = 0 warto –U i w miar upływu

czasu asymptotycznie d y do zera.

Na rysunku 11.2a przedstawiony został przebieg funkcji czasu składowej

ustalonej

u

Cu

, składowej przej ciowej

u

Cp

oraz napi cia wypadkowego na

kondensatorze.

u

C

= u

Cu

+u

Cp

Napi cie ładowania kondensatora asymptotycznie d y do warto ci

napi cia ustalonego

U i ma charakter krzywej wykładniczej.

Rys. 11.2. Przebiegi czasowe napi i pr du ładowania kondensatora przez rezystancj ze

ródła napi cia stałego: a) przebieg napi cia na pojemno ci; b) przebieg pr du ładowania;

c) przebieg napi cia na rezystancji.

W celu wyznaczenia przebiegu pr du ładowania kondensatora korzystamy

ze wzoru:

τ

1

−

=

=

e

R

U

dt

du

C

i

C

Pr d ładowania kondensatora ma najwi ksz warto w chwili

t = 0,

wynosz cej

R

U

. Rezystor o rezystancji R ogranicza wi c pr d w pierwszej

chwili.

Im wi ksza jest rezystancja R w obwodzie ładowania i im wi ksza jest

pojemno C ładowanego kondensatora, tym wolniej przebiega proces

ładowania

.

a)

b)

c)

Temat 12 : Stała czasowa. Wpływ stałej czasowej na kształt napi

i pr dów.

Z równania

t

L

R

e

R

U

R

U

i

−

−

=

(1)

wynika, e w zale no ci od warto ci rezystancji R i indukcyjno ci L

zanikanie składowej przej ciowej w funkcji czasu mo e by szybsze lub

wolniejsze. W celu zbadania tego zagadnienia wprowadza si wielko

fizyczn zwan

stał czasow

, okre lon wzorem:

R

L

=

τ

Stała czasowa jest mierzona w sekundach. Po uwzgl dnieniu powy szego

wzoru i wstawieniu do równania (1) otrzymujemy:

τ

t

e

R

U

R

U

i

−

−

=

oraz

−

=

−

τ

t

e

R

U

i

1

Jak wida ,

stała czasowa jest

to czas, po upływie którego warto

bezwzgl dna składowej przej ciowej maleje e razy

.

W chwili t = 0 składowa przej ciowa pr du ma warto

R

U

i

p

−

=

. W celu

wyznaczenia warto ci składowej przej ciowej pr du po upływie czasu

równego jednej stałej czasowej podstawimy t= , a wi c otrzymamy

Re

1

U

e

R

U

i

p

−

=

−

=

−

W ten sposób otrzymali my potwierdzenie powy szej definicji. W ten sam

sposób mo na wyznaczy warto składowej przej ciowej pr du po

upływie czasu t = 2 , t=3 itd.

Czas t

0

2

3

4

5

6

7

%

100

u

p

i

i

100 36,78 13,53 4,98 1,83 0,674 0,248 0,091

Z przytoczonych danych wynika, e po czasie 5 składowa przej ciowa

pr du stanowi mniej ni 1% składowej ustalonej. W praktyce przyjmuje

si , e po 4 ....5 obwód znajduje si w stanie ustalonym.

Stał czasow mo na zdefiniowa równie w inny sposób. Mo na

udowodni , e je li poprowadzimy styczn do krzywej pr du w chwili

t = 0, to przetnie ona asymptot pr du po czasie .

Rys.12.1. Wyznaczanie graficzne stałej czasowej.

Z rys.12.1. wida , e twierdzenie jest słuszne dla stycznej do krzywej w

dowolnym punkcie.

Stała czasowa jest to czas, po upływie którego pr d nieustalony

osi gn łby warto ustalon , gdyby jego narastanie miało charakter

liniowy, czyli pr dko zwi kszania si pr du była stała i równa

pr dko ci zwi kszania si w chwili pocz tkowej.

Od warto ci stałej czasowej, a wi c od warto ci parametrów obwodu

zale y czas trwania stanu nieustalonego. Im bowiem wi ksza jest stała

czasowa, tym łagodniej narasta pr d. Na rys.12.2. przedstawione s trzy

krzywe pr du dla ró nych warto ci , a wi c dla ró nych stosunków L do

R

.

Rys.12.2. Wpływ warto ci stałej czasowej na przebieg pr du w stanie ustalonym.

Je eli zało ymy, e rezystancja obwodu jest stała, a indukcyjno mo e si

zmienia , to w miar zwi kszania L wzrasta stała czasowa i narastanie

pr du jest wolniejsze. St d wniosek:

obwody o du ej indukcyjno ci wolno

osi gaj warto ci ustalone

.