Egzamin poprawkowy z rachunku prawdopodobieństwa, 13 września 2002
1. W dwóch sklepach: „Pszczółka” i „Żabka” stwierdza się średnio jedną kradzież dziennie. Co jest
bardziej prawdopodobne: równa czy różna liczba kradzieży w najbliższy wtorek? (10 pt.)
Wsk. Sformułować i krótko uzasadnić hipotezę co do rozkładu liczby wykrytych kradzieży, a następnie
posłużyć się nią.
2. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie normalnym N (0, 1). Wyznaczyć (jeśli istnieją) a)
gęstość zmiennej losowej
Y = e
X
; (4 pt.) b) EY ; (3 pt.) c) D
2
Y . (3 pt.) Jeśli którykolwiek z wymie-
nionych obiektów nie istnieje, uzasadnić dlaczego.
3. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie jednostajnym na
przedziale [0
, 1].
a) Obliczyć (jeśli istnieją) wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej
Z = X/Y . Znaleźć rozkład
Z. (4 pt.)
b) Obliczyć Cov(max(
X, Y ) − min(X, Y ), |X − Y |). (3 pt.)
c) Obliczyć
E(max(X, Y )| min(X, Y )). (3 pt.)
4. Pokazać, że jeśli X
1
, X
2
, . . . są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie, przy
czym
P (X
1
= 1) = 2
/3, P (X
1
=
−1) = 1/3, to
P
lim
n→∞
(
X
1
+ . . . +
X
n
) =
∞
= 1
.
(10 pt.)
5. Bliźnięta rodzą się średnio raz na 90 porodów. Oszacować prawdopodobieństwo
a) co najmniej 5 par bliźniąt na 900 porodów; (5 pt.)
b) dokładnie dwóch par bliźniąt na 180 porodów. (5 pt.)
Zadanie dodatkowe (20 pt.)
6*. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N (0, 1). Obliczyć
E (X|aX + bY ) , a
2
+
b
2
> 0.