ZALICZENIE WST ¾

EPU DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ

zestaw przyk÷

adowy

Cz ¾

e´s´c 1

1

.

A

. Zbada´c czy podana formu÷

a jest tautologi ¾

a: (s p _ q) ,s (p ^ q):

B

. Które spo´sród podanych formu÷s ¾

a zdaniami (okre´sli´c ich warto´s´c logiczn ¾

a), a które funkc-

jami zdaniowymi? Uzasadni´c odpowied´z.

V

x2R

p

x

2

= x;

W

x2R

V

y2R

x < y;

V

y2R

x

2

+ y > 0:

C

. Zapisa´c zaprzeczenie poni·

zszej formu÷

y i okre´sli´c jej warto´s´c logiczn ¾

a:

V

x2R

(

jxj < 1 ) x

2

x > 0):

2

.

A

. Wyznaczy´c B

0

oraz naszkicowa´c A

B

je´sli A = (1; 2); B = [1; +1):

B

. Naszkicowa´c zbiór C \ D; gdy

C =

fhx; yi 2 R

2

: x

2

+ y

2

+ 2y < 0

g;

D =

fhx; yi 2 R

2

: y

x

2

> 0

g:

3

. Naszkicowa´c wykres funkcji f; je´sli f (x) =

jx + 1j + 2; gdy x

1;

x

3

;

gdy x > 1:

Wyznaczy´c zbiory f [( 2; 0)]; f [R] oraz f

1

[(0; 2]]:

4

. Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c: 2

x

x+1

x:

Cz ¾

e´s´c 2

1

. Naszkicowa´c wykres funkcji f; je´sli

f (x) =

jarctg xj ; gdy x

1;

log

3

x;

gdy x > 1:

Obliczy´c f (1)

f (

1

p

3

)

i uzasadni´c, ·

ze f nie jest funkcj ¾

a ró·

znowarto´sciow ¾

a/monotoniczn ¾

a:

2

. Uzasadni´c, ·

ze f jest funkcj ¾

a ró·

znowarto´sciow ¾

a, je´sli

f (x) =

p

sin

2

x + 1

dla

x

2 (0;

2

):

Wyznaczy´c funkcj ¾

e odwrotn ¾

a f

1

oraz jej dziedzin ¾

e D

f

1

.

3

. Niech f (x) = log x;

g(x) = x

10

x

+ 1

10

x

1

:

A

. Wyznaczy´c funkcje z÷

o·

zone f

g

oraz g

f:

B

. Zbada´c parzysto´s´c (nieparzysto´s´c) funkcji g:

C

. Czy funkcja f : (1; +1) ! R jest surjekcj ¾

a? Uzasadni´c odpowied´z

4

. Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c:

1

log x

+

1

1

log x

1: