ZALICZENIE WST ¾

EPU DO ANALIZY MATEMATYCZNEJ

zestaw przyk÷

adowy A

Cz ¾

e´s´c 1

(Logika, funkcja kwadratowa, modu÷

)

1

.

a

. Zbada´c, czy podana formu÷

a jest tautologi ¾

a: (s p _ q) ,s (p ^ q):

b

. Które spo´sród podanych formu÷s ¾

a zdaniami (okre´sli´c ich warto´s´c logiczn ¾

a), a które funkc-

jami zdaniowymi? Uzasadni´c odpowied´z.

V

x2R

p

x

2

= x;

W

x2R

V

y2R

x < y;

V

y2R

x

2

+ y > 0:

c

. Zapisa´c zaprzeczenie poni·

zszej formu÷

y (bez u·

zycia symbolu negacji) i okre´sli´c jej warto´s´c

logiczn ¾

a:

V

x2R

(

jxj < 1 ) x

2

x > 0):

2

. Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c:

x

2

2x

3:

3

. Naszkicowa´c wykres funkcji f i okre´sli´c zbiór jej warto´sci, je´sli

f (x) =

jxj + 2; gdy x

1;

x

2

1;

gdy x > 1:

Cz ¾

e´s´c 2

(Zbiory w

R i R

2

, wielomiany, funkcje wymierne, funkcje pot ¾

egowe)

1

.

a

. Niech A = (1; 2); B = [1; +1): Wyznaczy´c B

0

; A

[ B oraz naszkicowa´c A

B

.

b

. Naszkicowa´c zbiór A \ B; gdy

A =

fhx; yi 2 R

2

: x

2

+ y

2

+ 2y > 0

g;

B =

fhx; yi 2 R

2

: y

p

x

0

g:

2

. Naszkicowa´c wykres funkcji f i wyznaczy´c zbiory f [(0; +1)] oraz f

1

[( 2; 3]];

je´sli

f (x) =

1

x + 1

+ 2:

3

. Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c:

2

x

x + 1

x:

Cz ¾

e´s´c 3

(Fukcje wyk÷

adnicze i logarytmiczne, funkcja z÷

o·

zona)

1

. Rozwi ¾

aza´c nierówno´s´c:

1

log x

+

1

1

log x

1:

2

. Wyznaczy´c dziedzin ¾

e funkcji

f (x) = log

2

1
2

x+1

2

!

:

3

. Naszkicowa´c wykres funkcji f i obliczy´c f (0) + f (1) + f (2); je´sli

f (x) =

(

2

x

;

gdy x

0;

log

1
2

(x) ;

gdy x > 0:

4

. Wyznaczy´c f

g

i g

f

, je´sli f (x) = log x; g(x) = x10

x

:

Cz ¾

e´s´c 4

(Fukcje trygonometryczne i cyklometryczne, w÷

asno´sci funkcji, funkcja odwrotna)

1

. Naszkicowa´c wykres funkcji f; je´sli

f (x) =

jarctg xj ; gdy x

0;

3 cos 2x;

gdy x > 0:

Obliczy´c f ( 1) + f (0) + f (

5

3

):

Uzasadni´c, ·

ze f nie jest funkcj ¾

a ró·

znowarto´sciow ¾

a (parzyst ¾

a /

nieparzyst ¾

a) i okre´sli´c przedzia÷

y monotoniczno´sci funkcji f .

2

. Rozwi ¾

aza´c nierówo´s´c:

2 sin(2x) >

1:

3

. Uzasadni´c, ·

ze f jest funkcj ¾

a ró·

znowarto´sciow ¾

a, je´sli

f (x) =

p

sin

2

x + 1

dla

x

2 (0;

2

):

Wyznaczy´c funkcj ¾

e odwrotn ¾

a f

1

oraz jej dziedzin ¾

e D

f

1

.