Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Katedra Automatyki 

i Technik Informacyjnych (E-3) 

 

Automatyka 

Laboratorium 

– Badanie charakterystyk częstotliwościowych liniowych układów 

ciągłych – 

 

1.  Cel ćwiczenia 

 

Poznanie  metody  laboratoryjnej  wyznaczania  charakterystyk  częstotliwościowych  liniowych 

układów ciągłych. Umiejętność interpretacji otrzymanych wykresów. 

2.  Opis 

teoretyczny 

zagadnienia 

badania 

charakterystyk 

częstotliwościowych 

2.1.  Charakterystyki częstotliwościowe 

Transmitancję  widmową  uzyskuje  się  na  podstawie  transmitancji  operatorowej 

podstawiając zamiast zmiennej s – zmienną  𝑗



, przy czym  𝑗 jest jednostką urojoną, natomiast 



 

jest  wartością  rzeczywistą  odpowiadającą  pulsacji  mierzonej  w  radianach  na  sekundę.  Zatem 
stosunek  amplitud  symbolicznych  wyjścia  i  wejścia  jest  równy  transmitancji  operatorowej 
obliczonej  dla  s  =  𝑗



,  więc  transmitancję  widmową  można  interpretować  jako  zespolony 

i obliczany  w  funkcji  pulsacji  wskaźnik  wzmocnienia  dla  sygnałów  sinusoidalnych.  Wielomiany 
licznika  i  mianownika  transmitancji  widmowej  oznaczają  odpowiednio  transformaty  Fouriera 
wyjścia i wejścia, o ile te transformaty istnieją. Wykres transmitancji widmowej na płaszczyźnie 
zmiennej  zespolonej  Re{G(𝑗



)}  i  Im{G(𝑗



)}  jest  charakterystyką  amplitudowo-fazową.    Pozwala 

ona  na  określenie  zarówno  stosunku  amplitud  sygnałów  jak  i  kąta  przesunięcia  fazowego. 
Charakterystykę  tą  można  otrzymywać  w  prosty  sposób  na  drodze  eksperymentu,  co  stanowi 
niewątpliwą zaletę tego sposobu identyfikacji nieparametrycznej. 
 

 

 
Jeżeli wejście liniowego układu dynamicznego zasilimy sygnałem sinusoidalnym 

𝑥(𝑡) = 𝑋

𝑚

cos⁡(𝜔𝑡 − 𝜙

𝑥

) 

LINIOWY UKŁAD 

DYNAMICZNY 

G(s) 

x(t)

 

y(t)

 

Automatyka 

 

mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3) 

2 

 

to  po  zaniknięciu  procesów  przejściowych  na  wyjściu  układu  otrzymamy  również  sygnał 
sinusoidalny  

𝑦(𝑡) = 𝑌

𝑚

cos⁡(𝜔𝑡 − 𝜙

𝑦

) 

o tej samej częstości kołowej (pulsacji ) 𝜔=2𝜋f [rad/s] , ale zazwyczaj o innej amplitudzie i fazie. 
Zmiana amplitudy i fazy sygnału  jest różna po przejściu przez układ dla różnych wartości 𝜔. 
 

 

Rysunek Sygnał harmoniczny przed i po przejściu przez liniowy układ dynamiczny w stanie ustalonym. Przesunięcie 

fazowe Δϕ na rysunku jest ujemne 

 

2.2.  Pomiar charakterystyk 

Aby  zebrać  eksperymentalne  dane  potrzebne  do  wyznaczenia  charakterystyk 

częstotliwościowych,  należy  rejestrować  zmiany  amplitudy  i  fazy  dla  wejściowego  sygnału 
harmonicznego  o  nastawianej  w  szerokim  zakresie  częstotliwości  (teoretycznie  0 < 𝜔 < ∞) . 
Dokonuje się jednoczesnego pomiaru sygnału na wejściu oraz wyjściu układu. 

Po zgromadzeniu potrzebnych danych można wyznaczyć charakterystyki układu: 



 

Charakterystyka  amplitudowa 𝑨(𝝎) -  jest  stosunkiem  amplitudy  sygnału  wyjściowego  do 
amplitudy sygnału wejściowego w funkcji częstotliwości 𝜔  (wzmocnienie układu) 

𝐴(𝜔) =

𝑌

𝑚

(𝜔)

𝑋

𝑚

(𝜔)

 



 

Charakterystyka fazowa ⁡ϕ(ω)- jest przesunięciem fazowym sygnału wyjściowego względem 
sygnału wejściowego w funkcji częstotliwości⁡ω , wyrażonym w stopniach, lub radianach 

𝜙(𝜔) = 𝜙

𝑥

(𝜔) − 𝜙

𝑦

(𝜔) 

Jeżeli sygnał wyjściowy jest opóźniony w stosunku do wejściowego, to przesunięcie  fazowe ϕ(ω) 
ma wartość ujemną.  

Przy zdejmowaniu charakterystyki częstotliwościowej amplituda sygnału wejściowego jest 

zazwyczaj utrzymywana na stałym poziomie⁡𝑋

𝑚

(𝜔) = 𝑋

𝑚

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 

Wyznaczenie charakterystyk częstotliwościowych jest bardziej dokładną i mniej wrażliwą 

na  zakłócenia  metodą  określania  własności  obiektu  niż  wyznaczanie  charakterystyk  czasowych, 

Automatyka 

 

mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3) 

3 

 

ponieważ  pozwala  na  identyfikację  kolejnych  punktów  charakterystyki  oddzielnie,  przy 
każdorazowym  użyciu  pełnej  dopuszczalnej  ze  względu  na  nieliniowość  amplitudy  sygnału 
pomiarowego.  

Otrzymane  z  pomiarów  częstotliwościowych  wyniki  mogą  być,  zależnie  od  potrzeb 

przedstawione również w wielu innych postaciach, co rzutuje na występowanie siedmiu różnych 
rodzajów charakterystyk częstotliwościowych badanego obiektu. 

2.3.  Rodzaje charakterystyk częstotliwościowych 

Znane są następujące rodzaje charakterystyk częstotliwościowych:  



 

charakterystyka amplitudowo-fazowa,  



 

charakterystyka amplitudowa,  



 

charakterystyka fazowa,  



 

charakterystyka składowej rzeczywistej transmitancji,  



 

charakterystyka składowej rzeczywistej urojonej transmitancji,  



 

charakterystyk logarytmiczna amplitudowa,  



 

charakterystyka logarytmiczna fazowa.

 

Charakterystyka amplitudowo – fazowa  

Zwana  jest  także  wykresem    Nyquista.  Przedstawia  przebieg  transmitancji  widmowej  

𝐺(𝑗𝜔)  na  płaszczyźnie  zmiennej  zespolonej.  Na  osi  rzeczywistej  odkładana  zostaje  część 
rzeczywista 𝑃(𝜔), a na osi urojonej część urojona 𝑄(𝜔)zespolonej transmitancji 𝐺(𝑗𝜔). 

 

Rysunek  Charakterystyka amplitudowo - fazowa

 

Każdemu punktowi krzywej Nyquista odpowiada pewna wartość pulsacji 𝜔. Wektor, który 

łączy początek układu współrzędnych z punktem krzywej odpowiadającym danej pulsacji (np. 𝜔 =
𝜔

1

)  ilustruje  transmitancję  widmową  dla  tej  pulsacji 𝐺(𝑗𝜔

1

). Długość tego wektora równa jest 

modułowi  transmitancji  widmowej  |𝐺(𝑗𝜔)| ,  a  kąt  zawarty  pomiędzy  dodatnim  zwrotem  osi 
rzeczywistej i tym  wektorem jest równy argumentowi transmitancji widmowej dla tej pulsacji. 

Automatyka 

 

mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3) 

4 

 

Wykres  ten  zawiera  zatem  informację  zarówno  o  wzmocnieniu,  jak  i  o  przesunięciu 

fazowym dla danej pulsacji, stąd wzięła się jego nazwa. 

Na  wykresie  nie  widać  poszczególnych  pulsacji,  dla  których  jest  on  rysowany,  jednakże 

można  go  wzbogacić  poprzez  podanie  wartości  pulsacji  w  ważnych  punktach,  jak  na  przykład 
w miejscach przecięcia wykresu z osiami. 
 
 
Logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe 

Charakterystyki częstotliwościowe wygodnie jest też przedstawiać w rozdzielonej formie, 

w  postaci  logarytmicznych  charakterystyk  amplitudy  i  fazy.  Charakterystyki  te  zwane  są  także 
charakterystykami Bodego. Mają one większe znaczenie w praktyce, gdyż przedstawiają w sposób 
jawny  logarytm  wzmocnienia  oraz  przesunięcie  fazowe  w  funkcji  logarytmu  pulsacji  (bądź 
częstotliwości).  



 

Logarytmiczna  charakterystyka  amplitudowa  –  dostarcza  informacji  o  amplitudzie 
transmitancji widmowej, w zależności od pulsacji i podawana jest w decybelach, w formie 
wzmocnienia, opisanego zależnością: 

𝐿

𝑚

(𝜔) = 20 log

10

[𝐴(𝜔)] = 20 log

10

|𝐺(𝑗𝜔)| 

Przedstawiana jest w funkcji logarytmu dziesiętnego pulsacji log

10

𝜔 

Aby wykreślić tę charakterystykę, na osi odciętych odkładamy logarytm dziesiętny pulsacji 
log

10

𝜔,  natomiast  na  osi  rzędnych  20  logarytmów  dziesiętnych  modułu  transmitancji 

widmowej (w decybelach), zwany także modułem logarytmicznym. 

 

Rysunek Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

 



 

Logarytmiczna  charakterystyka  fazowa  –  mówi  o  przebiegu  argumentu(fazy) 
transmitancji  widmowej sygnału  w  funkcji  pulsacji,  która  przedstawiona  jest  w  skali 
logarytmicznej. 

 

Przy  jej  wykreślaniu,  na  osi  odciętych  odkładamy  logarytm  dziesiętny  pulsacji  log

10

𝜔 , 

natomiast na osi rzędnych kąt 𝜙(𝜔), będący argumentem transmitancji widmowej w stopniach, 
lub radianach. 

Łącznie obie logarytmiczne charakterystyki: amplitudowa oraz fazowa dają tę samą informację 

o  układzie,  co  jedna  charakterystyka  amplitudowo-fazowa,  jednakże  w  sposób  jawny,  gdyż 
widzimy na nich poszczególne pulsacje. 

Automatyka 

 

mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3) 

5 

 

 

Rysunek  Logarytmiczna charakterystyka fazowa

 

2.4.  Analityczne wyznaczanie charakterystyk  

Znając  model  matematyczny  badanego  układu  liniowego  w  formie  jego  transmitancji 

operatorowej  G(s),  będącej  stosunkiem  sygnału  wyjściowego,  do  sygnału  wejściowego  obiektu 

(w dziedzinie operatorowej) 𝐺(𝑠) =

𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)

 możliwe jest określenie transmitancji widmowej obiektu. 

Wyznacza się ją poprzez proste przekształcenie, zwane zespolonym przekształceniem Fouriera: 

𝐺(𝑠)|

𝑠=𝑗𝜔

= 𝐺(𝑗𝜔) 

Transmitancja  widmowa  𝐺(𝑗𝜔)  układu  liniowego  to  wielkość,  która  określa  stosunek 

wartości  zespolonej  odpowiedzi    układu  wywołanej  wymuszeniem  sinusoidalnym  do  wartości 
zespolonej tego wymuszenia: 

𝐺(𝑗𝜔) =

𝑌(𝑗𝜔)
𝑋(𝑗𝜔)

 

Charakterystyki  częstotliwościowe  są  graficznym  przedstawieniem  transmitancji 

widmowej 𝐺(𝑗𝜔) przy zmianach pulsacji 𝜔. 

Transmitancja  widmowa  jest  liczbą  zespoloną,  która  zależy  od  parametrów układu  oraz 

pulsacji sygnału wymuszającego. Można zatem przy ustalonej amplitudzie 𝑋

𝑚

 i fazie początkowej 

𝜙

𝑥

 sinusoidalnego sygnału wejściowego zapisać ją w postaci moduł - argument: 

𝐺(𝑗𝜔) = |𝐺(𝑗𝜔)|𝑒

𝑗𝑎𝑟𝑔⁡𝐺(𝑗𝜔)

 

Charakterystyka amplitudowa – to zależność modułu transmitancji widmowej od pulsacji. 

𝐴(𝜔) = |𝐺(𝑗𝜔)| 

Charakterystyka fazowa – to zależność argumentu transmitancji widmowej od pulsacji. 

𝜙(𝜔) = arg 𝐺(𝑗𝜔) 

Zakładając wejściowy sygnał, jako harmoniczny 𝑥(𝑡) = 𝑋

𝑚

cos⁡(𝜔𝑡)⁡, można określić jego 

transformatę Laplace’a: 

𝑋(𝑠) = 𝑋

𝑚

𝑠

𝑠

2

+ 𝜔

2

 

Wyjściowy  sygnał  jest  przesunięty  w  fazie  𝑦(𝑡) = 𝑌_𝑚(𝜔)𝑐𝑜𝑠[𝜔𝑡 + 𝜙(𝜔)] ,  a  jego 

transformata to: 

𝑌(𝑠) = 𝑌

𝑚

(𝜔)

𝑠 cos[𝜙(𝜔)] − ⁡𝜔⁡sin⁡[𝜙(𝜔)]

𝑠

2

+ 𝜔

2

 

Przyjmując: 𝐺(𝑠) =

𝑌(𝑠)
𝑋(𝑠)

 oraz⁡𝑠 = 𝑗𝜔 otrzymuje się wzór wiążący transmitancję widmową 

z charakterystykami częstotliwościowymi: 

Automatyka 

 

mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3) 

6 

 

𝑮(𝒋𝝎) =

𝒀

𝒎

(𝝎)

𝑿

𝒎

𝒆

𝒋𝝓(𝝎)

 

 
Transmitancję  widmową,  która  jest  funkcją  zespoloną,  można  zapisać  w  postaci  sumy 

części rzeczywistej i części urojonej stosując prostokątny układ współrzędnych.  

 

𝐺(𝑗𝜔) = 𝑅𝑒{𝐺(𝑗𝜔)} + 𝑗𝐼𝑚{𝐺(𝑗𝜔)} = 𝑃(𝜔) + 𝑗𝑄(𝜔) 

 

Wówczas  zależności  opisujące  charakterystyki  częstotliwościowe  przyjmują  następującą 

postać: 

 

𝐴(𝜔) = √𝑃(𝜔)

2

+ 𝑄(𝜔)

2

 - charakterystyka amplitudowa (moduł liczby zespolonej) 

𝜙(𝜔) = ⁡𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑄(𝜔)
𝑃(𝜔)

  - charak

terystyka fazowa (faza liczby zespolonej). 

Analiza  powyższych  równań  wyjaśnia  stwierdzenie,  że  dla  danego  obiektu  wyrażenie 

𝐺(𝑗𝜔) nazywane jest transmitancją widmową. Wynika to z faktu, iż charakteryzuje sposób w jaki 
- zależnie od częstotliwości, dla całej szerokości jej widma – dany obiekt reaguje na harmoniczny 
sygnał wejściowy. 

Warto  zaznaczyć,  iż  transmitancja  widmowa  jest  jedną  z  podstawowych  wielkości 

charakteryzujących właściwości dynamiczne liniowych elementów, obiektów i układów, a metody 
częstotliwościowe, w których jest ona wykorzystywana, odgrywają istotną rolę w teorii liniowych, 
stacjonarnych układów sterowania 

Przykład: Filtr górnoprzepustowy RC 

Wymuszeniem  w  układzie  jest  napięcie  na  wejściu,  natomiast  odpowiedzią  napięcie  na 

rezystorze.  Filtr  górnoprzepustowy  RC  jest  członem  dynamicznym  różniczkującym  z  inercją 
(rzeczywistym).  Jego  zasada  działania  opiera  się  na  zależności  impedancji  kondensatora  od 
częstotliwości.  Przy  niskich  częstotliwościach  jego  impedancja  ma  znaczną  wartość,  dzięki  czemu 
sygnał, który pojawia się na wejściu układu zostaje tłumiony i nie dociera na wyjście.  Przy wyższych 
częstotliwościach  kondensator  przepuszcza  sygnał  na  zaciski  wyjściowe  obiektu,  ponieważ  jego 
impedancja maleje. 

 

Rysunek  Schemat filtru górnoprzepustowego RC

 

 

Układ równań elektrycznych obwodu: 
𝑈

𝑤𝑒

= 𝑈

𝑐

+ 𝑈

𝑅

 

𝑈

𝑤𝑦

= 𝑈

𝑅

 

Automatyka 

 

mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3) 

7 

 

𝑈

𝑤𝑒

=

1
𝐶

∫ 𝑖(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑖(𝑡)𝑅/ 𝔗 

𝑈

𝑤𝑦

= 𝑖(𝑡)𝑅

    / 

𝔗

 

Po przekształceniu Laplace’a, przy założeniu zerowych warunków początkowych otrzymuje się 

równania w dziedzinie operatorowej „s”: 

𝑈

𝑤𝑒

(𝑠) = 𝐼(𝑠) (

1

𝑠𝐶

+ 𝑅) 

𝑈

𝑤𝑦

= 𝐼(𝑠)(𝑅) 

Transmitancja operatorowa układu ma postać: 

𝐺(𝑠) =

𝑈

𝑤𝑦

𝑈

𝑤𝑒

=

𝑅

1

𝑠𝐶 + 𝑅

 

Po  prostych  przekształceniach  matematycznych  dochodzi  się  do  końcowej  postaci 

transmitancji operatorowej: 

𝐺(𝑠) =

𝑅𝐶𝑠

1 + 𝑅𝐶𝑠

 

Aby  otrzymać  zależności  opisujące  charakterystyki  częstotliwościowe  stosuje  się 

przekształcenie Fouriera 𝑠 = 𝑗𝜔. Dzięki temu można otrzymać wzór na transmitancję widmową 𝐺(𝑗𝜔) 

𝐺(𝑠)|

𝑠=𝑗𝜔

= 𝐺(𝑗𝜔) =

𝑗𝜔𝑅𝐶

1 + 𝑗𝜔𝑅𝐶

 

𝑃(𝜔) = 𝑅𝑒{𝐺(𝑗𝜔)} =

(𝜔𝑅𝐶)

2

1 + (𝜔𝑅𝐶)

2

 

𝑄(𝜔) = 𝐼𝑚{𝐺(𝑗𝜔)} =

𝜔𝑅𝐶

1 + (𝜔𝑅𝐶)

2

 

Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa: 

𝐿𝑚(𝜔) = 20 log

10

|𝐺(𝑗𝜔| = 20 log

10

√𝑃

2

+ 𝑄

2

= 20 log

10

𝜔𝑅𝐶

√1 + (𝜔𝑅𝐶)

2

 

 

 

Rysunek  Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa

 

 

Logarytmiczna charakterystyka fazowa: 

𝜙(𝜔) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

𝑄

𝑃

= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛⁡

1

𝜔𝑅𝐶

 

Automatyka 

 

mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3) 

8 

 

 

Rysunek  Logarytmiczna charakterystyka fazowa 

 

2.5.  Zalety charakterystyk logarytmicznych  

W 

praktyce, 

spośród 

wszystkich 

wymienionych 

rodzajów 

charakterystyk 

częstotliwościowych,  większe  znaczenie  mają  charakterystyki  częstotliwościowe  wyznaczane 
w skali  logarytmicznej,  nazywane  charakterystykami  Bodego.  Pokrótce,  obie  charakterystyki 
Bodego (logarytmiczna charakterystyka amplitudowa i fazowa) przedstawiają zależność logarytmu 
wzmocnienia i przesunięcia fazowego od częstotliwości.  
Podstawową zaletą charakterystyk logarytmicznych amplitudowych jest to, iż większość typowych 
elementów  liniowych  można  zastępować  (z  dobrą  dokładnością)  przez  linie  łamaną  złożone 
z odcinków prostych. Oprócz tego można w łatwy sposób wyznaczać charakterystyki wypadkowe 
obiektów lub układów złożonych ze znanych elementów liniowych połączonych szeregowo. Moduł 
wypadkowej  charakterystyki  amplitudowej  A(ω)  otrzymuje  się  wtedy  w  wyniku  mnożenia 
modułów transmitancji poszczególnych elementów. 

2.6.  Filtry częstotliwości 

Człon  dynamiczny  może  być  rodzajem  filtra  częstotliwości,  który  przepuszcza  bez 

tłumienia,  lub  z  niewielkim  tłumieniem  napięcia,  bądź  prądy  w  ściśle  określonym  paśmie 
częstotliwości, natomiast tłumi sygnały znajdujące się poza tym pasmem. 

Filtry  częstotliwości  znajdują  zastosowanie  głównie  w  urządzeniach  energetycznych 

i elektronicznych.  Stosując  je  można  tłumić  lub  eliminować  niepożądane  składowe  sygnałów 
o określonych częstotliwościach.  

Pasmo,  w  którym  filtr  przepuszcza  sygnały  nazywane  jest  pasmem  przepustowym, 

natomiast to, w którym sygnały zostają tłumione, pasmem zaporowym. 

Istnieje ściśle określone rozgraniczenie pomiędzy pasmami zaporowym     i przepustowym, 

nazywa  się  ją  częstotliwością  graniczną ⁡𝑓

𝑔

 wyrażaną  w  Hz,  bądź  pulsacją  graniczną 𝜔

𝑔

,  w   

𝑟𝑎𝑑

𝑠

. 

Wpływ na jej wielkość mają wartości zastosowanych elementów konstrukcyjnych filtra.  

Częstotliwość  graniczną  (pulsację)  łatwo  odczytać  z  gotowych  logarytmicznych 

charakterystyk; amplitudowej, czy fazowej. Na logarytmicznej charakterystyce amplitudowej jest 
to wartość częstotliwości, dla której tłumienie filtru zwiększa się o 3 dB w stosunku do tłumienia 

Automatyka 

 

mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3) 

9 

 

w paśmie przepustowym. Na charakterystyce fazowej jest to wartość, dla której kąt przesunięcia 
sygnału wyjściowego względem wejściowego wynosi 45 stopni, lub -45 stopni. 

Filtr w zależności od rodzaju, może mieć więcej niż jedną częstotliwość graniczną. 

 

Rysunek  Przykładowy sposób tłumienia - filtr środkowozaporowy

 

 
 

Ze względu na położenie pasma przepustowego filtry dzielą się na: 



 

Dolnoprzepustowe - przepuszczają sygnał od częstotliwości f=0 do pewnej częstotliwości 
granicznej. Pasmo przepustowe: 0 < f < f

g

. 



 

Górnoprzepustowe  –  przepuszczają  sygnał,  którego  częstotliwość  jest  większa  od 
częstotliwości granicznej. Pasmo przepustowe: f

g 

< f <∞. 



 

Środkowoprzepustowe  –  przepuszczają  sygnał  o  częstotliwościach  mieszczących  się 
w pewnym  zakresie,  ograniczonym  z  dwóch  stron  częstotliwościami  granicznymi:  dolną 
oraz górną. Pasmo przepustowe:    f

gd 

< f < f

gg

. 



 

Środkowozaporowe  -  przepuszczają  sygnał  o  niskich  i  wysokich  częstotliwościach, 
natomiast tłumią sygnał o częstotliwościach pośrednich. Pasmo tłumienia: f

gd

< f < f

gg

. 

 

Ze względu na rodzaj zastosowanych elementów do ich budowy,  filtry można podzielić na 

dwie zasadnicze grupy: 



 

Filtry  aktywne  –  ich  konstrukcja  zawiera  elementy  aktywne  (wzmacniacze),  które  mają 
zdolność przekształcania energii, np. jej wzmacniania. 



 

Filtry  pasywne  –  zbudowane  są  z  elementów  biernych:  rezystancji,  indukcyjności,  czy 
pojemności. 

 

3.  Podłączenie stanowiska, sposób pomiaru i przeprowadzenie obliczeń 

Stanowisko do pomiarów charakterystyk częstotliwościowych składa się z generatora sygnału 

harmonicznego,  oscyloskopu  dwustrumieniowego  (umożliwia  równoczesną  rejestrację 
przebiegów  wymuszenia  i  odpowiedzi,  a  tym  samym  umożliwia  dokonanie pomiarów  amplitud 
oraz kąta przesunięcia fazowego) oraz badanego obiektu (tablicy z członami dynamicznymi). 

Automatyka 

 

mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3) 

10 

 

 

Rysunek  Schemat ideowy układu laboratoryjnego służącego do pomiaru charakterystyk częstotliwościowych

 

Chcąc  uzyskać  charakterystykę  częstotliwościową  metodą  doświadczalną,  należy  na  wejściu 
badanego  układu  doprowadzić  wymuszenie  sinusoidalne  o  stałej  amplitudzie  i  stałej 
częstotliwości.  Potrzebny  jest  do  tego  generator  drgań  harmonicznych,  w  którym  istnieje 
możliwość  zmiany  częstotliwości  w  żądanym  zakresie.  Po  zaniknięciu  przebiegu  przejściowego, 
odpowiedź  będzie  również  sinusoidalnie  zmienna  z  tą  samą  częstotliwością,  ale  w  ogólnym 
przypadku o innej amplitudzie i przesunięciu w fazie względem wymuszenia. 

Sposób pomiaru 

Na podstawie pomiarów należy narysować logarytmiczną charakterystykę amplitudową i fazową 
oraz  porównać  ją  z  przebiegiem  odpowiedzi  badanych  układów  określonych  analitycznie  na 
podstawie ich transmitancji widmowej (identyfikacja obiektu).  
 
Na  zmierzonych  charakterystykach  częstotliwościowych  należy  również  określić  i  opcjonalnie 
zaznaczyć parametry badanego układu.  
 
Pomiar charakterystyk częstotliwościowych dokonywany jest w następujący sposób:  

1.  Na  generatorze  należy  ustawić  wartość  sygnału  sinusoidalnego.  Przy  badaniu  filtrów 

pasywnych amplituda napięcia nie powinna przekraczać 8 V.  

2.  Pomiary  należy  wykonywać  w  zakresie  od  5  Hz  do  10  kHz  (za  wyjątkiem  czwórnika  RL 

którego pomiary wykonuje się w zakresie od 10 kHz do 100 kHz, ponieważ dopiero przy 
dużych zakresach częstotliwości widać właściwości dynamiczne układu):  

 



 

od 100 Hz do 1 kHz- 5 pomiarów  



 

od 1 kHz do 10 kHz- 10 pomiarów  



 

dla RL od 10 kHz do 100 kHz- 10 pomiarów  

 

Podczas dokonywania pomiarów zmianie ulega jedynie częstotliwość generatora, zaś amplituda 
sygnału wejściowego powinna być utrzymywana na stałym poziomie.  
 

3.  Dla każdego punktu pomiarowego należy zmierzyć amplitudę sygnału wyjściowego oraz 

przesunięcie fazowe tego sygnału względem sygnału wejściowego, zgodnie ze schematem:  

 

Automatyka 

 

mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3) 

11 

 

 

Rysunek  Sposób pomiaru charakterystyk częstotliwościowych (A1 –amplituda sygnału wejściowego, A2 – amplituda 

sygnału wyjściowego, 𝝓 – przesunięcie fazowe między sygnałem wejściowym a wyjściowym, T – okres przebiegu 

sygnałów) 

1.  Wyniki pomiarów należy zapisać w tabeli: 

 

Częstotliwość f 

Pulsacja 

𝝎 = 𝟐𝝅𝒇 

Amplituda 

A2 

Wzmocnienie 

K=20log(A2/A1) 

Przesunięcie fazowe 

𝝓

𝒔𝒕

=

𝝓

𝑻/𝟐

𝟏𝟖𝟎

𝒐

 

 

[Hz] 

[rad/s] 

[V] 

[dB] 

[

o

] 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Badane czwórniki 

Schemat czwórnika 

Nazwa członu dynamicznego 

 

Człon proporcjonalny 

Automatyka 

 

mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3) 

12 

 

 

Człon inercyjny pierwszego rzędu 

 

Człon całkujący z inercją 

 

Człon różniczkujący z inercją 

 

Człon oscylacyjny 

 

Człon inercyjny drugiego rzędu 

 

 

4.  Sprawozdanie 

Forma sprawozdania oraz aspekty, które powinny zostać w nim wymienione, obliczone i opisane 

przedstawione zostały poniżej. 

1.  Wstęp 



 

o  charakterystykach  częstotliwościowych  min.  1  strona  (rodzaje,  transmitancja, 
wyznaczanie, itp.) 

2.  Przebieg ćwiczenia  



 

Jaki był przebieg ćwiczenia krok po kroku (własnymi słowami) 



 

Co mierzono i w jaki sposób 



 

Schemat pomiarowy z opisem używanych przyrządów 



 

Schemat badanego czwórnika 

3.  Wyniki pomiarów  



 

Tabele z wynikami pomiarów  



 

Opisane jednostki 

Automatyka 

 

mgr inż. P. Pytlik, KAiTI (E-3) 

13 

 

4.  Opracowanie wyników 



 

Na 

podstawie 

wyników 

pomiarów 

sporządź 

logarytmiczne 

charakterystyki 

częstotliwościowe badanego na zajęciach czwórnika w funkcji pulsacji 𝜔: 

o  Charakterystyka logarytmiczna amplitudowa A(𝜔) – wzmocnienie w decybelach [ 
o  Charakterystyka logarytmiczna fazowa 𝜙(𝜔)  - w stopniach [

o

] 

Charakterystyki powinny być czytelne! Wykresy punktowe wraz z linią. 



 

Na charakterystyce zaznacz charakterystyczne wielkości takie, jak: 

o  Pulsacja graniczna (ch-ka amplitudowa i fazowa) 
o  Pasmo przenoszenia filtru (ch-ka amplitudowa) 
o  Pasmo zaporowe filtru (ch-ka amplitudowa) 
o  Nachylenie charakterystyki [db/dekada] (ch-ka amplitudowa) 



 

Na podstawie pulsacji granicznej wyznacz częstotliwość graniczną 



 

Opisz sposób wyznaczania częstotliwości granicznej  



 

Opisz zakresy częstotliwości dla których filtr posiada pasma przenoszenia i zaporowy 
 

5.  Wnioski 



 

Ogólne wnioski i obserwacje z wykonanego ćwiczenia 



 

Jakim filtrem jest badany czwórnik? (na podstawie kształtu charakterystyki) 



 

Jakie są zalety korzystania z charakterystyk częstotliwościowych 



 

Itp.