WYDZIAŁ MECHANICZNY ENERGETYKI I LOTNICTWA
POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ
Zakład Teorii Maszyn i Robotów
Laboratorium Podstaw Automatyki i Sterowania IV
Instrukcja do ćwiczenie nr 7
Badanie charakterystyk częstotliwościowych i przebiegów
nieustalonych podstawowych elementów automatyki
1. Cel ćwiczenia
Ćwiczenie ma na celu zapoznanie z metodą pomiaru oraz przebiegiem charakterystyk amplitudowo-
fazowych i procesów przejściowych wybranych podstawowych elementów automatyki.
2. Uwagi wstępne
W ćwiczeniu bada się człony zbudowane z elementów elektrycznych tzn.: oporników – rezystancja,
cewek –
indukcyjność i kondensatorów – pojemność. Do zdejmowania charakterystyk amplitudowo-fazowych
używa się analizatora transmitancji. Do obserwacji i analizy przebiegów nieustalonych przewidziany jest
oscyloskop katodowy oraz zestaw mikrokomputerowy z przetwornikiem A/C.
Schematy ideowe elementów inercyjnych pierwszego rzędu przedstawia rysunek 1
Element inercyjny pierwszego rzędu
a)
b)
Rys. 1.
Schematy elektryczne elementów inercyjnych pierwszego rzędu:
a) czwórnik RC (badany w trakcie wykonywania ćwiczenia), b) czwórnik LR
Transmitancję operatorową takich czwórników
(s)
U
(s)
U
G(s)
we
wy
=
, wyznacza się na podstawie równań równowagi
napięć wyjściowego oraz wejściowego. W przypadku czwórnika RC zachodzą następujące zależności:
wy
c
c
c
R
we
u
u
;
u
iR
u
u
u
=
+
=
+
=
t
id
C
1
u
c
∫
=
dt
du
C
i
C
=
T
RC
u
dt
du
RC
u
wy
wy
we
=
+
=
(stała czasowa) (1)
( )
( )
1
Ts
1
s
U
s
U
s
G
we
wy
+
=
=
)
(
Przykład mechanicznego układu inercyjnego I rzędu składającego się ze sprężyny o sztywności k
s
i tłumika
wiskotycznego o współczynniku tłumienia c
v
pokazano na rysunku 2.
Rys. 2.
Schemat mechanicznego elementu inercyjnego I rzędu.
Wejście i wyjście tego elementu stanowią przemieszczenia x i y mierzone na obu końcach sprężyny.
Transmitancję operatorową wyznacza się tu na podstawie równania równowagi sił działających na tłoczysko
tłumika:
3
(
)
dt
dy
c
y
x
k
v
s
=
−
s
v
k
c
T
;
dt
dy
T
y
x
=
+
=
1
Ts
1
s
X
s
Y
G(s)
+
=
=
)
(
)
(
(2)
Odpowiedź elementu inercyjnego I rzędu na wymuszenie skokowe x
0
1(t), przedstawiono na rysunku 3, na
którym pokazano sposób określania stałej czasowej T metodą stycznej.
Rys. 3.
Charakterystyka skokowa elementu inercyjnego I rzędu.
Równanie opisujące przebieg odpowiedzi skokowej ma postać (3):
( )
(
)
t/T
0
e
1
x
t
y
−
−
=
(3)
1
Ts
G(s)
+
=
1
(4)
Charakterystyka amplitudowo-
fazowa dowolnego elementu inercyjnego I rzędu o transmitancji operatorowej (4)
jest półokręgiem o średnicy równej współczynnikowi proporcjonalności k, leżącym w czwartej ćwiartce na
płaszczyźnie zmiennej zespolonej (rys. 4a). Moduł i argument transmitancji wyrażają się zależnościami:
2
2
Q
P
M
+
=
(4a),
=
P
Q
arctg
ϕ
(4b)
a)
b)
Rys. 4.
Charakterystyki częstotliwościowe elementu inercyjnego I rzędu:
a) charakterystyka amplitudowo – fazowa b) charakterystyki Bode’go
Łącząc szeregowo n elementów inercyjnych I rzędu otrzymuje się układ inercyjny n-tego rzędu.
Charakterystyka amplitudowa powstałego układu jest sumą charakterystyk amplitudowych poszczególnych
składowych. Analogiczny związek zachodzi w przypadku wypadkowej charakterystyki fazowej.
4
Element całkujący
Przykładem idealnego członu całkującego jest kondensator bez upływności o pojemności C. Przyjmując
za wymuszenie natężenie prądu i ładowania kondensatora, zaś napięcie na jego okładkach u
c
sC
s
I
s
U
s
G
C
1
)
(
)
(
)
(
=
=
jako odpowiedź
transmitancja operatorowa ma postać:
(5a)
Rys 5. Charakterystyka amplitudowo -
fazowa elementu całkującego idealnego.
Rys 6.
Charakterystyki amplitudowa i fazowa elementu całkującego idealnego.
W praktyce do całkowania sygnałów szybkozmiennych stosuje się element inercyjny I rzędu (rys. 1a) o
odpowiednio dużej stałej czasowej T=RC, zapewniający zależność:
we
wy
c
u
u
u
<<
=
(5b)
Przybliżenie (5b) prowadzi do uproszczenia równań (1) do postaci:
dt
du
T
u
wy
we
=
tym samym transmitancja operatorowa
( )
Ts
1
s
G
=
. (6)
Na rysunku 7 przedstawiono charakter przebiegów nieustalonych obserwowanych na ekranie
oscyloskopu i
zasadę, według której przybliżono charakterystykę skokową. Przyjmuje się że odcinek ab jest
linią prostą.
Rys. 7.
Zasada realizacji elementu całkującego.
5
Dokładne charakterystyki częstotliwościowe: amplitudowo – fazowa, amplitudowa i fazowa dla takiego
elementu odbiegają nieco od idealnych. Charakterystyki te przedstawiono na rysunku 8.
a) b)
Rys. 8. Charakterystyki c
zęstotliwościowe elementu całkującego rzeczywistego:
a) amplitudowo – fazowa, b) amplitudowa i fazowa
Przy zapewnieniu warunku (5)
element inercyjny I rzędu pracuje w zakresie liniowym zbliżonym do pracy
elementu całkującego idealnego.
Element różniczkujący rzeczywisty
Rys. 9.
Schemat elektryczny elementu różniczkującego.
Równania równowagi napięć są tu podobne jak w przypadku elementu inercyjnego.
wy
c
R
c
we
u
u
u
u
u
+
=
+
=
wy
R
u
u
=
idt
C
1
u
c
∫
=
R
u
i
wy
=
;
∫
+
=
wy
wy
we
u
dt
u
RC
1
u
T
RC
=
(7)
dt
du
T
u
dt
du
T
wy
wy
we
+
=
( )
1
Ts
Ts
s
U
s
U
s
G
we
wy
+
=
=
)
(
)
(
Pokazana na rysunku 10 odpowiedź y(t) na wymuszenie skokowe x
0
1(t) op
isana jest zależnością:
( )
t/T
e
x
t
y
−
=
0
(8)
6
Rys. 10.
Charakterystyka skokowa elementu różniczkującego.
Związki stałej czasowej T z charakterystykami częstotliwościowymi rzeczywistego elementu różniczkującego
pokazano na rysunku 10.
a)
b)
Rys. 11.
Charakterystyki częstotliwościowe elementu różniczkującego:
a) amplitudowo – fazowa b) amplitudowa i fazowa
Element oscylacyjny
Schemat ideowy elementu oscylacyjnego przedstawiono na rysunku 12.
Rys. 12. Schemat elektryczny elementu oscylacyjnego.
7
Równania równowagi napięć mają postać:
c
R
L
we
u
u
u
u
+
+
=
;
wy
c
u
u
=
;
idt
C
u
c
∫
=
1
dt
du
C
i
wy
=
wy
we
u
iR
dt
di
L
u
+
+
=
RC
T
LC
T
u
dt
du
RC
dt
u
d
LC
u
wy
wy
wy
we
=
=
+
+
=
2
1
2
2
;
;
(9)
wy
wy
wy
we
u
dt
du
T
dt
u
d
T
u
+
+
=
2
2
2
2
1
lub
wy
wy
wy
we
u
dt
du
dt
u
d
u
2
0
0
2
2
2
0
2
ω
ςω
ω
+
+
=
(10)
gdzie:
L
LC
R
LC
2
;
1
0
=
=
ς
ω
(bezwymiarowy współczynnik tłumienia) (11)
Transmitancje operatorowe dla obu postaci równań są odpowiednio:
( )
1
1
2
2
2
1
+
+
=
s
T
s
T
s
G
oraz
( )
2
0
0
2
2
0
2
ω
ςω
ω
+
+
=
s
s
s
G
. (12)
Odpowiedź y(t) na wymuszenie skokowe x
0
ma charakter oscylacyjny, gdy spełniony jest warunek:
2 T
T
1
2
<
lub
1
ς <
(13)
Wtedy odpowiedź na wymuszenie skokowe opisane jest zależnością:
( )
(
)
+
⋅
−
−
−
=
−
ϕ
ς
ω
ς
ςω
t
e
x
t
y
t
2
0
2
0
1
sin
1
1
0
(14)
Przebieg odpowiedzi elementu oscylacyjnego na wymuszenie skokowe przedstawiono na rysunku 13.
Rys. 13.
Odpowiedź elementu oscylacyjnego na wymuszenie skokowe.
8
T jest okresem drgań skokowej odpowiedzi przejściowej i związany jest z wielkościami
ω
0
i
ζ
zależnością (15) natomiast składowa ustalona odpowiedzi wynosi x
0
2
0
1
2
ς
ω
π
−
=
T
.
(15)
Na rysunku 14 przedstawiono charakterystyki: amplitudowo-
fazową i amplitudową elementu oscylacyjnego, dla
różnych wartości bezwymiarowego współczynnika tłumienia ζ.
a)
b)
Rys. 14.
Charakterystyki częstotliwościowe elementu oscylacyjnego:
a) amplitudowa i fazowa, b) amplitudowo-fazowa
3. Przebieg pomiarów
3.1. Pomiar charakterystyk amplitudowo – fazowych
Schemat funkcjonalny układu pomiarowego stosowanego do wyznaczania charakterystyk
amplitudowo–fazowych pokazano na rys. 15.
Rys. 15.
Układ pomiarowy do wyznaczania charakterystyk amplitudowo – fazowych.
Oznaczenia występujące na rys. 15:
BE
– blok badanych elementów,
AT
– analizator transmitancji,
G
–
generator napięcia wejściowego x o regulowanej częstotliwości.
Zastosowany w układzie pomiarowym tzw. analizator transmitancji
•
generator sygnałów fali sinusoidalnej, trójkątnej i prostokątnej;
zawiera cztery bloki funkcjonalne:
• miliwoltomierz fazo-
czuły mierzący składową rzeczywistą |Re| sygnału wyjściowego y;
• miliwoltomierz fazo-
czuły mierzący składową urojoną |Im| sygnału wyjściowego;
9
•
wskaźnik położenia wektora sygnału wyjściowego na płaszczyźnie zmiennej zespolonej (określający
numer ćwiartki).
Zasadę działania analizatora transmitancji wyjaśnia rys. 16. Detektor składowej rzeczywistej wzmacnia
sygnał mierzony y w czasie odpowiadającym zgodności faz (przesunięcie fazowe 0
°
lub 180
°
) z sygnałem
sinusoidalnym na wyjściu generatora, natomiast detektor składowej urojonej działa w czasie odpowiadającym
przesunięciu fazy o 90
°
lub 270
°
w stosunku do sygnału wyjściowego generatora.
Rys. 16.
Zasada działania analizatora transmitancji.
Detektory są tak skonstruowane, że eliminują wszystkie parzyste oraz trzecią i dziewiątą harmoniczną sygnału
badanego. Dzięki temu na wyjściu detektorów pojawia się sygnał proporcjonalny do składowej stałej oraz
pierwszej, piątej i siódmej harmonicznej. Błąd pomiaru wynikający z wpływu piątej i siódmej harmonicznej nie
przekracza 1%. Poważne udogodnienie w użytkowaniu przyrządu stanowi wskaźnik ćwiartki określający
położenie wektora w układzie współrzędnych. Umożliwia to także wykorzystanie pełnej skali mierników
wychyłowych składowych rzeczywistej - R oraz urojonej - Q.
3.1. 1. Instrukcja przygotowania analizatora transmitancji do pracy
1.
Włączyć przyrząd do sieci 220 V;
2.
Wcisnąć klawisz „0.8 Hz” przełącznika „SELECTIVITY”;
3.
Włączyć zasilanie klawiszem „MAINS”;
4.
Odczekać chwilę na ustabilizowanie się warunków pracy;
5.
Ustawić pokrętło potencjometru „D.C.COMP” w położeniu zerowym;
6.
Sprawdzić czy klawisze „R” i „Q” znajdują się w położeniu spoczynkowym;
7.
Ustawić generator sygnału wejściowego na sygnał sinusoidalny o częstotliwości 10 Hz;
8.
Wcisnąć klawisz „GENERATOR OUTPUT MEASURE” przełącznika rodzaju wejść wzmacniaczy;
9.
Sprawdzić wyzerowanie miliwoltomierzy R i Q;
10.
Jeśli zachodzi potrzeba, wyzerować miernik R potencjometrem „SET ZERO R” i miernik Q
potencjometrem „SET ZERO Q”;
11.
Klawisz „GENERATOR OUTPUT MEASURE” ustawić w położeniu spoczynkowym.
3.1. 2. Realizacja badanego elementu
Widok płyty czołowej urządzenia BE do realizacji badanych elementów pokazano na rysunku 17.
Wybór badanego eleme
ntu dokonuje się poprzez ustawienie w odpowiednich położeniach przełączników
obrotowych P1, P2 oraz P3. Tabela
konfiguracji przełączników znajduje się przy stanowisku laboratoryjnym.
Przełącznik P1 ma 3 pozycje i odpowiedzialny jest za włączenie lub wyłączenie cewek w obwód badanego
elementu (położenie 0 – brak cewki, położenia 1, 2 –włączone są cewki L
1
, L
2
).
Przełącznik P2 ma 16 pozycji i odpowiedzialny jest za przyłączanie kondensatorów i rezystorów realizujących
różne rodzaje elementów I rzędu.
Przełącznik P3
ma 5 pozycji i odpowiada za realizację elementów II rzędu.
10
Rys 17.
Widok płyty czołowej bloku elementów BE.
Dla zadanych nastaw przełączników P1, P2, P3 należy określić, na podstawie tabeli, rodzaj badanego elementu
oraz zanotować wartości liczbowe R, L, C.
3.1.3. Przebieg czynności pomiarowych w zależności od typu badanego elementu
1.
Ustalić zakres wskazań miernika R i Q równy 1V (przełącznik klawiszowy „SENSITIVITY 1V”,
mnożnik 1);
Dla elementu inercyjnego
2.
Podłączyć wejście badanego elementu do wyjścia generatora oraz wyjście badanego elementu do
wejścia analizatora transmitancji. Ustawić przełączniki badanego elementu według wskazań
prowadzącego ćwiczenie;
3.
Sprawdzić, czy generator wewnętrzny analizatora realizuje sygnał sinusoidalny;
4.
Ustalić częstotliwość generatora równą 0.01kHz (przełącznik klawiszowy generatora 1 kHz,
przełączniki obrotowe generatora w pozycji 0, 1, 0);
5.
Ustalić (potencjometrem „AMPLITUDE PEAK”) napięcie podawane przez generator tak, aby przy tej
częstotliwości (0.01kHz) wartość napięcia na mierniku R wynosiła 1V (pełny zakres miernika);
6.
Dokonywać odczytów wartości składowej R i Q sygnału wyjściowego oraz numeru ćwiartki
odpowiadające częstotliwościom w kHz: 0.01; 0.05; 0.1; 0.5; 1.0; 2.0; 5.0; 8.0; 9.99.
Uwaga!
Jeśli wskazania mierników pomiędzy kolejnymi częstotliwościami będą różniły się więcej niż
0.1V należy dokonać pomiarów pośrednich.
1.
Ustalić zakres pomiarowy mierników R i Q równy 10 mV;
Dla elementu całkującego
2.
Podłączyć wejście badanego elementu do wyjścia generatora oraz wyjście badanego elementu do
wejścia analizatora transmitancji. Ustawić przełączniki badanego elementu według wskazań;
3.
Sprawdzić czy generator wewnętrzny analizatora realizuje sygnał sinusoidalny.
4.
Ustalić częstotliwość generatora równą 0.01kHz (przełącznik klawiszowy generatora - 1 kHz,
przełączniki obrotowe generatora w pozycji 0, 1, 0);
5.
Ustalić (potencjometrem „AMPLITUDE PEAK”) napięcie podawane przez generator tak, aby przy
częstotliwości 0.01kHz wartość składowej urojonej Q wynosiła 10mV (pełny zakres miernika);
6.
Dokonywać odczytów wartości składowych R i Q oraz numeru ćwiartki odpowiadające
częstotliwościom w kHz: 0.02; 0.05; 0.08; 0.1; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0; 3.0; 5.0; 7.0; 9.99.
Uwaga!
Jeśli wskazania mierników pomiędzy kolejnymi częstotliwościami będą różniły się więcej niż
0.1 mV należy dokonać pomiarów pośrednich.
1.
Ustalić zakres wskazań miernika R i Q równy 1V (przełącznik klawiszowy „SENSITIVITY 1V”,
mnożnik 1);
Dla elementu różniczkującego
2.
Podłączyć wejście badanego elementu do wyjścia generatora oraz wyjście badanego elementu do
wejścia analizatora transmitancji. Ustawić przełączniki badanego elementu według wskazań
prowadzącego ćwiczenie;
3.
Sprawdzić czy generator wewnętrzny analizatora realizuje sygnał sinusoidalny;
4.
Ustalić częstotliwość generatora równą 9.99 kHz (przełącznik klawiszowy generatora - 10 kHz,
przełączniki obrotowe generatora w pozycjach 9, 9, 9);
5.
Ustalić (potencjometrem „AMPLITUDE PEAK”) napięcie podawane przez generator tak, żeby wartość
napięcia na mierniku R wynosiła 1V;
11
6.
Dokonywać odczytów wartości składowej R i Q sygnału wyjściowego oraz numeru ćwiartki dla
częstotliwości: 9.99; 8.0; 5.0; 3.0; 1.0; 0.8; 0.5; 0.3; 0.1; 0.05 kHz.
Uwaga!
Jeśli wskazania mierników pomiędzy kolejnymi częstotliwościami będą różniły się więcej niż
0.1 V należy dokonać pomiarów pośrednich.
1.
Ustalić zakres wskazań miernika R i Q równy 1V (przełącznik klawiszowy „SENSITIVITY 1V”,
mnożnik 1);
Dla elementu oscylacyjnego
2.
Podłączyć wejście badanego elementu do wyjścia generatora oraz wyjście badanego elementu do
wejścia analizatora transmitancji. Ustawić przełączniki badanego elementu według wskazań
prowadzącego ćwiczenie;
3.
Sprawdzić czy generator wewnętrzny analizatora podaje sygnał sinusoidalny;
4.
Przy częstotliwości generatora odpowiadającej maksymalnej wartości składowej R ustalić jej wartość
na poziomie 1V (pełny zakres miernika);
5.
Dokonywać odczytów wartości składowej R i Q sygnału wyjściowego oraz numeru ćwiartki dla
częstotliwości: 9.99; 8.0; 5.0; 3.0; 1.0; 0.8; 0.5; 0.3; 0.1; 0.05 kHz.
Uwaga!
Jeśli wskazania mierników pomiędzy kolejnymi częstotliwościami będą różniły się więcej niż
0.1 V należy dokonać pomiarów pośrednich.
3.2. Badanie charakterystyk skokowych
Charakterystyki skokowe podobnie jak częstotliwościowe stanowią podstawę identyfikacji właściwości
dynamicznych układu typu wejście - wyjście. Celem ćwiczenia jest doświadczalne wyznaczenie odpowiedzi
skokowej badanych wcześniej elementów oraz porównanie uzyskanych na tej podstawie stałych czasowych ze
stałymi teoretycznymi.
Schemat zastosowanego układu pomiarowego pokazano na rys. 18. Z uwagi na wykorzystanie oscyloskopu
katodowego do obserwacji przebiegów czasowych, sygnałem wejściowym jest tu ciąg impulsów prostokątnych o
odpowiedniej częstotliwości, imitujący wymuszenie skokowe. Stabilność obrazu y(t) na ekranie zapewnia
synchronizacja generatora odchylania poziomego oscyloskopu sygnałem wejściowym.
Innym sposobem rejestracji charakterystyk skokowych jest użycie odpowiednio szybkiego przetwornika A/C.
Rys. 18.
Schemat układu do pomiaru charakterystyk skokowych.
Przebieg pomiarów:
1.
Podłączyć wejście badanego elementu do wyjścia generatora;
2.
Podłączyć wyjście badanego elementu do wejścia oscyloskopu;
3.
Dobrać częstotliwość generatora, podstawę czasu oscyloskopu i poziom napięcia wejściowego, aby
zaobserwować na oscyloskopie odpowiedź skokową.
Dla elementu inercyjnego
W przypadku
określić stałą czasową T oraz porównać ją z wartością teoretyczną obliczoną według
wzoru (1).
elementu całkującego
Dla
porównać uzyskaną odpowiedź z rysunkiem 7.
elementu różniczkującego
W przypadku
należy określić stałą czasową wg rysunku 10, uzyskany wynik porównać z
wartością teoretyczną (7).
elementu oscylacyjnego
należy obliczyć indukcyjność cewki L badając charakterystyki skokowe
dla d
wóch zestawów wartości R i C (R
1
, C
1
oraz R
2
, C
2
•
określić odpowiednio okresy drgań tłumionych T
):
1
, T
2
(rys. 13);
12
•
korzystając z (11) i (15) wyprowadzić zależność L=f(R,C,T) będącą równaniem kwadratowym
względem L;
•
rozwiązać równania L=f(R
1
, C
1
, T
1
) oraz L=f(R
2
, C
2
, T
2
) i zanotować obliczone pierwiastki L
11
,
L
12
,oraz L
21
, L
22
•
za poszukiwaną indukcyjność cewki L przyjąć średnią arytmetyczną z dwóch najbardziej zbliżonych
liczbowo pierwiastków L
;
ij
.
4. Sprawozdanie
1. Na podstawie zmierzonych charakterystyk amplitudowo-
fazowych obliczyć charakterystyki Bode’go
korzystając ze wzorów (4a) i (4b) (uwzględnić pulsację ω=2πf).
2.
Narysować charakterystyki amplitudowo-fazowe. Zachować jednakową podziałkę na obu osiach
wykresów! Podać wartość parametru ω w charakterystycznych punktach wykresów.
3.
Narysować charakterystyki Bode’go (ω - skala logarytmiczna; względną zmianę amplitudy sygnału
wyjściowego wyrazić w decybelach).
4.
Zamieścić wyniki pomiarów odpowiedzi skokowych.
5. Wnioski.