Algebra liniowa 1

Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

Q

1

2

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Rozwiązać równanie macierzowe

.







1 1
0 1





 ⋅ X + X ⋅







1 1
0 1





 =







1 4
2 5







2. Cbliczyć

metodą bezwyznacznikową














1 −2 0

0

0

1 0 −3

0

0 1

2

3 −6 0

1














−

1

i następnie sprawdzić poprawność otrzymanego wyniku.

Odpowiedzi do zestawu

Q

1.

; 2.

.

X =







0 1
1 2




















−

17 2 0

6

−

9 1 0

3

6 0 1 −2

−

3 0 0

1














Algebra liniowa 1

Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą
tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

R

1

2

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy na-
pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwią-
zanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy
dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Wyznaczyć macierz z równania

Y

.







2 0
1 1





 ⋅ Y ⋅







1 3
1 1





 =







2

2

1 −1







2. Metodą bezwyznacznikową obliczyć

i sprawdzić poprawność

A

−

1

wyniku dla

.

A =














−

1 0 0 0
0 1 1 0
0 1 2 0
0 0 0 1














Odpowiedzi do zestawu

R

1.

; 2.

.







0 1

−

1 1




















−

1

0

0 0

0

2 −1 0

0 −1

1 0

0

0

0 1














.

Algebra liniowa 1

Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

S

1

2

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Znaleźć wzór ogólny na macierz

, gdzie

, i udowodnić go

B

n

n ∈

N

metodą indukcji matematycznej, jeżeli

.

B =










2 0 0
0 1 1
0 1 1










n

2. Obliczyć wyznacznik

.

1 0 1 −1
2 1 5 −2
1 0 3 −5
0 1 2

2

.

Odpowiedzi do zestawu

S

1.

dla

; 2. .

A

n

=

2

n−

1

A

n ≥

1

0

Algebra liniowa 1

Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą
tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

T

1

2

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy na-
pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwią-
zanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy
dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Metodą rozwinięć Laplace'a obliczyć wyznacznik

.

0 0 0 1 2
0 0 1 2 3
0 1 2 3 0
1 2 3 0 0
2 3 0 0 0

2. Rozwiązać równanie macierzowe

.

(







1 4
2 1





 − 6Y )

−

1

=







3 2
1 2







Odpowiedzi do zestawu

T

1.

; 2.

.

−

10







1

12

3
4

3
8

1

24







Algebra liniowa 1

Kolokwium MA, semestr zimowy 2008/2009

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium,
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą tabelkę. Po-
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

U

1

2

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy napi-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwiązanie
każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy dokładnie
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia,
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Znaleźć macierz górnotrójkątną , która na głównej przekątnej ma

S

jedynie elementy dodatnie oraz spełnia warunek

.

S

T

⋅ S =










9 3 6
3 5 4
6 4 6










2. Stosując pojęcie macierzy odwrotnej rozwiązać równanie macierzowe

.

Y ⋅










4 1 1
1 4 1
1 1 4










=







0 1 0
1 0 1







Odpowiedzi do zestawu

U

1.

; 2.

.










3 1 2
0 2 1
0 0 1










Y =







−

1

18

5

18

−

1

18

2
9

−

1
9

2
9







Algebra liniowa 1

Kolokwium MA, semestr zimowy 2009/2010

Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poniższą
tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.

V

1

2

Suma

Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n należy na-
pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 30 minut, za rozwią-
zanie każdego zadania można otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach należy
dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!

Teresa Jurlewicz

ZADANIA

1. Znaleźć macierz górnotrójkątną

z samymi jedynkami na głównej

U

przekątnej oraz macierz dolnotrójkątną spełniające warunek

L

.

L ⋅ U =










3 12 −6

−

1 −3

4

2 11

4










2. Obliczyć (jak najkrócej) wyznacznik

.

4 1 1 1 1
1 4 1 1 1
1 1 4 1 1
1 1 1 4 1
1 1 1 1 4

Odpowiedzi do zestawu

V

1.

; 2.

.

L =










3 0 0

−

1 1 0
2 3 2










, U =










1 4 −2
0 1

2

0 0

1










648