Wykład 2

dr inż. Anna Borowska-Centkowska

[e-mail]

Gmach Mechatroniki, pok. 333, tel. [phone]



Ciągły rozkład ładunku: obliczanie natężenia

pola elektrycznego, przykłady



Strumień natężenia pola elektrycznego



Prawo Gaussa



Zastosowania prawa Gaussa

R

ozkłady ładunków

Ciągły rozkład ładunku

∆𝐸 =

∆𝑞

4𝜋𝜀

0

𝑟

2

𝐸 ≈

∆𝑞

4𝜋𝜀

0

𝑟

2

𝐸 = lim

∆𝑞→0

∆𝑞

4𝜋𝜀

0

𝑟

2

=

𝑑𝑞

4𝜋𝜀

0

𝑟

2

𝜆 =

𝑄

𝑙

𝜎 =

𝑄

𝑆

𝜌 =

𝑄

𝑉

liniowa

g

ęstość

ładunku

powierzchniowa

g

ęstość

ładunku

objętościowa

g

ęstość

ładunku

Obliczanie natężenia pola

𝐸 =

𝑑𝑞

4𝜋𝜀

0

𝑟

2

dl

Strumień natężenia pola elektrycznego

Strumień natężenia pola elektrycznego



E

przez

powierzchnię A nazywamy

iloczyn

natężenia pola elektrycznego E i pola powierzchni S prostopadłej do

kierunku wektora E:

Pole pow. = S

Normalna do pow. S

𝑆

′

= 𝑆𝑐𝑜𝑠𝜃

Φ

𝐸

= 𝐸 ∙ 𝑆

Φ

𝐸

= 𝐸 ∙ 𝑆

′

= EScosθ



-

kąt pomiędzy kierunkiem wektora E i

normalną (prostopadłą) do powierzchni S

Strumień natężenia pola elektrycznego

W

ogólnym przypadku natężenie pola elektrycznego E może być różne w

różnych punktach powierzchni. Możemy jednak złożyć, że E jest stałe dla
małego elementu powierzchni



S:



S

i

ΔΦ

𝐸

= 𝐸

𝑖

Δ𝑆

𝑖

cosθ

ΔΦ

𝐸

= 𝐸

𝑖

Δ𝑆

𝑖

Φ

𝐸

= lim

Δ𝑆

𝑖

→0

𝐸

𝑖

∙ Δ𝑆

𝑖

= ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑆

Całka po powierzchni S

Całkowity strumień
przez powierzchnię S:

Wybieramy wektor



S

i

o kierunku

prostopadłym do

elementu powierzchni i

wartości równiej polu powierzchni

tego elementu,

wówczas iloczyn skalarny ma postać:

Strumień natężenia pola elektrycznego

ΔΦ

𝐸

= 𝐸

𝑖

Δ𝑆

𝑖

cosθ

Gdy



< 90



ΔΦ

𝐸

> 0

Gdy



= 90



ΔΦ

𝐸

= 0

Gdy



> 90



ΔΦ

𝐸

< 0

Φ

𝐸

= 𝑬 ∙ 𝑑𝑺

Całka po powierzchni

zamkniętej

Wypadkowy strumień

natężenia pola E

Prawo Gaussa

Je

śli ładunek otoczymy zamkniętą

powierzchni

ą,

to

całkowity

strumie

ń linii sił przechodzący

przez powierzchni

ę nie zależy

od kszta

łtu powierzchni.

Jeśli linie sił pola elektrycznego przecinają daną powierzchnię, to strumień
wektora

natężenia pola elektrycznego jest zdefiniowany jako iloczyn

skalarny wektora

natężenia pola elektrycznego i wektora normalnego

zewnętrznego do danej powierzchni, o wartości równej polu tej
powierzchni:

Φ

𝐸

= 𝐸 ∙ 𝑑𝑆

Φ

𝐸

= 𝐸 ∙ 𝑆 = EScosθ

Prawo Gaussa

Strumień

całkowity

wektora

natężenia pola przez dowolną
powierzchnię

zamkniętą

pomnożony przez stałą



0

jest

równy

sumie

ładunków

elektrycznych

obejmowanych

przez

tę powierzchnię.

Je

śli ładunek otoczymy zamkniętą powierzchnią, to całkowity strumień linii sił

przechodz

ący przez powierzchnię nie zależy od kształtu powierzchni.

Φ

𝐸

= 𝐸 ∙ 𝑑𝑆 =

𝑄

𝜀

0

Prawo

Gaussa dla ładunku punktowego

W

każdym punkcie powierzchni sferycznej

wartość natężenia pola E jest stała.
W

każdym punkcie powierzchni sferycznej

kierunki wektora E i dS

i

są równoległe.

𝐸 ∙ 𝑑𝑆 = EdS

Φ

𝐸

= 𝐸 ∙ 𝑆 = 𝐸𝑑𝑆 = E 𝑑𝑆 = 𝐸4𝜋𝑟

2

𝐸4𝜋𝑟

2

=

𝑞

𝜀

0

𝐸 =

𝑞

4𝜋𝑟

2

𝜀

0

Prawo Gaussa

Wybór powierzchni Gaussa

Optymalny (wygodny do

obliczeń) kształt powierzchni Gaussa

powinien

odzwierciedlać symetrię pole elektrycznego E.

Obliczenia

są ułatwione jeśli spełniony jest jeden (lub więcej) z

poniższych warunków:



Natężenie pola E stałe na całej powierzchni



E

równoległe do dS:



E

= EdS



E

prostopadłe do dS:



E

= 0



Natężenie pola E = 0 na części powierzchni

Prawo Gaussa

𝐸 ∙ 𝑑𝐴 = 𝐸 𝑐𝑜𝑠180° 𝑑𝐴 =

=−𝐸 𝑑𝐴 = −𝐸𝐴 = −𝐸𝑙

2

𝐸 ∙ 𝑑𝐴 = 𝐸 𝑐𝑜𝑠0° 𝑑𝐴 =

= 𝐸 𝑑𝐴 = 𝐸𝐴 = 𝐸𝑙

2

Φ

𝐸

= −𝐸𝑙

2

+𝐸𝑙

2

+ 0 + 0 + 0 + 0 = 0

Prawo Gaussa - zastosowania

Prawo Gaussa - zastosowania

Klatka Faradaya

Naelektryzowany przewodnik umieszczony w polu elektrycznym.
Ładunki elektryczne rozkładają się na powierzchni tak, aby w
środku E = 0, a na zewnątrz pole E było prostopadłe do
powierzchni przewodnika.

Klatka Faradaya

Klatka Faradaya

Klatka Faradaya

http://www.youtube.com/watch?v=ve6XGKZxYxA