Wykład 2
dr inż. Anna Borowska-Centkowska
Gmach Mechatroniki, pok. 333, tel. 22 234 8405
Wykład 2
dr inż. Anna Borowska-Centkowska
Gmach Mechatroniki, pok. 333, tel. 22 234 8405
Ciągły rozkład ładunku: obliczanie natężenia
pola elektrycznego, przykłady
Strumień natężenia pola elektrycznego
Prawo Gaussa
Zastosowania prawa Gaussa
R
ozkłady ładunków
Ciągły rozkład ładunku
∆𝐸 =
∆𝑞
4𝜋𝜀
0
𝑟
2
𝐸 ≈
∆𝑞
4𝜋𝜀
0
𝑟
2
𝐸 = lim
∆𝑞→0
∆𝑞
4𝜋𝜀
0
𝑟
2
=
𝑑𝑞
4𝜋𝜀
0
𝑟
2
𝜆 =
𝑄
𝑙
𝜎 =
𝑄
𝑆
𝜌 =
𝑄
𝑉
liniowa
g
ęstość
ładunku
powierzchniowa
g
ęstość
ładunku
objętościowa
g
ęstość
ładunku
Obliczanie natężenia pola
𝐸 =
𝑑𝑞
4𝜋𝜀
0
𝑟
2
dl
Strumień natężenia pola elektrycznego
Strumień natężenia pola elektrycznego
E
przez
powierzchnię A nazywamy
iloczyn
natężenia pola elektrycznego E i pola powierzchni S prostopadłej do
kierunku wektora E:
Pole pow. = S
Normalna do pow. S
𝑆
′
= 𝑆𝑐𝑜𝑠𝜃
Φ
𝐸
= 𝐸 ∙ 𝑆
Φ
𝐸
= 𝐸 ∙ 𝑆
′
= EScosθ
-
kąt pomiędzy kierunkiem wektora E i
normalną (prostopadłą) do powierzchni S
Strumień natężenia pola elektrycznego
W
ogólnym przypadku natężenie pola elektrycznego E może być różne w
różnych punktach powierzchni. Możemy jednak złożyć, że E jest stałe dla
małego elementu powierzchni
S:
S
i
ΔΦ
𝐸
= 𝐸
𝑖
Δ𝑆
𝑖
cosθ
ΔΦ
𝐸
= 𝐸
𝑖
Δ𝑆
𝑖
Φ
𝐸
= lim
Δ𝑆
𝑖
→0
𝐸
𝑖
∙ Δ𝑆
𝑖
= ∫ 𝐸 ∙ 𝑑𝑆
Całka po powierzchni S
Całkowity strumień
przez powierzchnię S:
Wybieramy wektor
S
i
o kierunku
prostopadłym do
elementu powierzchni i
wartości równiej polu powierzchni
tego elementu,
wówczas iloczyn skalarny ma postać:
Strumień natężenia pola elektrycznego
ΔΦ
𝐸
= 𝐸
𝑖
Δ𝑆
𝑖
cosθ
Gdy
< 90
ΔΦ
𝐸
> 0
Gdy
= 90
ΔΦ
𝐸
= 0
Gdy
> 90
ΔΦ
𝐸
< 0
Φ
𝐸
= 𝑬 ∙ 𝑑𝑺
Całka po powierzchni
zamkniętej
Wypadkowy strumień
natężenia pola E
Prawo Gaussa
Je
śli ładunek otoczymy zamkniętą
powierzchni
ą,
to
całkowity
strumie
ń linii sił przechodzący
przez powierzchni
ę nie zależy
od kszta
łtu powierzchni.
Jeśli linie sił pola elektrycznego przecinają daną powierzchnię, to strumień
wektora
natężenia pola elektrycznego jest zdefiniowany jako iloczyn
skalarny wektora
natężenia pola elektrycznego i wektora normalnego
zewnętrznego do danej powierzchni, o wartości równej polu tej
powierzchni:
Φ
𝐸
= 𝐸 ∙ 𝑑𝑆
Φ
𝐸
= 𝐸 ∙ 𝑆 = EScosθ
Prawo Gaussa
Strumień
całkowity
wektora
natężenia pola przez dowolną
powierzchnię
zamkniętą
pomnożony przez stałą
0
jest
równy
sumie
ładunków
elektrycznych
obejmowanych
przez
tę powierzchnię.
Je
śli ładunek otoczymy zamkniętą powierzchnią, to całkowity strumień linii sił
przechodz
ący przez powierzchnię nie zależy od kształtu powierzchni.
Φ
𝐸
= 𝐸 ∙ 𝑑𝑆 =
𝑄
𝜀
0
Prawo
Gaussa dla ładunku punktowego
W
każdym punkcie powierzchni sferycznej
wartość natężenia pola E jest stała.
W
każdym punkcie powierzchni sferycznej
kierunki wektora E i dS
i
są równoległe.
𝐸 ∙ 𝑑𝑆 = EdS
Φ
𝐸
= 𝐸 ∙ 𝑆 = 𝐸𝑑𝑆 = E 𝑑𝑆 = 𝐸4𝜋𝑟
2
𝐸4𝜋𝑟
2
=
𝑞
𝜀
0
𝐸 =
𝑞
4𝜋𝑟
2
𝜀
0
Prawo Gaussa
Wybór powierzchni Gaussa
Optymalny (wygodny do
obliczeń) kształt powierzchni Gaussa
powinien
odzwierciedlać symetrię pole elektrycznego E.
Obliczenia
są ułatwione jeśli spełniony jest jeden (lub więcej) z
poniższych warunków:
Natężenie pola E stałe na całej powierzchni
E
równoległe do dS:
E
= EdS
E
prostopadłe do dS:
E
= 0
Natężenie pola E = 0 na części powierzchni
Prawo Gaussa
𝐸 ∙ 𝑑𝐴 = 𝐸 𝑐𝑜𝑠180° 𝑑𝐴 =
=−𝐸 𝑑𝐴 = −𝐸𝐴 = −𝐸𝑙
2
𝐸 ∙ 𝑑𝐴 = 𝐸 𝑐𝑜𝑠0° 𝑑𝐴 =
= 𝐸 𝑑𝐴 = 𝐸𝐴 = 𝐸𝑙
2
Φ
𝐸
= −𝐸𝑙
2
+𝐸𝑙
2
+ 0 + 0 + 0 + 0 = 0
Prawo Gaussa - zastosowania
Prawo Gaussa - zastosowania
Klatka Faradaya
Naelektryzowany przewodnik umieszczony w polu elektrycznym.
Ładunki elektryczne rozkładają się na powierzchni tak, aby w
środku E = 0, a na zewnątrz pole E było prostopadłe do
powierzchni przewodnika.
Klatka Faradaya
Klatka Faradaya
Klatka Faradaya
http://www.youtube.com/watch?v=ve6XGKZxYxA