Prawo Gaussa

Strumień pola

elektrycznego

Miarą strumienia pola elektrycznego jest
liczba linii pola elektrycznego
przechodzącego przez daną powierzchnię:





cos





 s

E

[

]

N m

C



2

Oznaczenia

- strumień pola;
E– natężenie pola
s - pole powierzchni;
α – kąt między liniami pola a
prostą prostopadłą do
powierzchni

Strumień pola elektrycznego Φ

E

–

jest to liczba linii pola związanych z
danym ładunkiem Q i wychodzących
z dowolnej geometrycznej
powierzchni zamkniętej,
zawierającej ten ładunek.

Strumień pola elektrycznego
nie zależy od promienia sfery i
jej powierzchni.

Całkowita ilość linii pola w kącie
bryłowym jest taka sama w
odległości 2R, jak i w odległości R.
Natężenie pola jest odwrotnie
proporcjonalne do R

2

, ale pole

powierzchni A jest wprost
proporcjonalne do R

2

. Tak więc

iloczyn tych dwóch wielkości,
1/R

2

×R

2

, jest niezależny od R.

Strumieniowi Φ

E

przypisujemy znak

plus (Φ

E

>0) o ile wektor natężenia

skierowany jest na zewnątrz
zamkniętej powierzchni (czyli gdy
ładunek źródłowy jest dodatni), której
fragment rozpatrujemy, a znak minus,
gdy wektor ten skierowany jest do
wewnątrz (ładunek źródłowy jest
ujemny Q<0)

Prawo Gaussa

Prawo Gaussa jest to prawo

łączące pole

elektrostatyczne

(natężenie pola E) z jego

źródłem czyli ładunkiem

(Q).

Prawo Gaussa

Wyobraźmy sobie na przykład

sferyczną powierzchnię zamkniętą,
otaczającą ładunek Q umieszczony
w jej środku.

Prawo Gaussa

Obliczamy strumień pola przez tą

powierzchnię.

Powierzchnia ma kształt sfery więc jej

pole obliczamy ze wzoru

S=4πr

2

Z definicji natężenia pola

Prawo Gaussa

W naszym przykładzie

Prawo Gaussa

Strumień natężenia pola elektrycznego

przechodzący przez powierzchnię
zamkniętą dowolnego kształtu jest wprost
proporcjonalny do całkowitego ładunku Q
zawartego we wnętrzu tej powierzchni i w
próżni ma wartość:

Prawo Gaussa

Wartość przenikalności dielektrycznej

próżni wynosi:

Jeżeli strumień natężenia pola

elektrycznego liczymy w innych

ośrodkach, to nasz wzór wygląda tak:

gdzie ε

R

to względna przenikalność

dielektryczna danego środowiska

(ośrodka).

Zastosowanie prawa

Gaussa

Prawo Gaussa umożliwia wyznaczenie

w prosty sposób wektora natężenia
pola E w przypadku symetrycznego
rozkładu ładunków, np. :

• dla naelektryzowanej kuli,
• długich cienkich prętów,
• jednorodnie naładowanych dużych

płyt.

Przykład 1

Znajdź natężenie pola elektrycznego

wytworzonego przez nieskończenie
długą nić

( w praktyce – bardzo długą),

naładowaną równomiernie z
gęstością liniową λ.



Rozwiązanie przykładu 1

• Wybór powierzchni Gaussa
Otoczmy nić powierzchnią walcową o

promieniu r i wysokości h. Od góry i od

dołu dodajmy dwa denka - otrzymujemy

walec. Strumień pola przepływający przez

obydwie podstawy walca wynosi zero

(ponieważ pole jest do nich równoległe),

zaś strumień pola przez boczną

powierzchnię walca wynosi :

S=2πrh to Φ

E

=ES=E2πrh

Rozwiązanie przykładu 1 cd

• Z definicji gęstości liniowej λ:
• Jednocześnie z prawa Gaussa

• Z porównania dwóch powyższych

wzorów otrzymujemy:



E

r

Przykład 2

Oblicz natężenie pola

elektrostatycznego wewnątrz i na
zewnątrz kuli naładowanej stałą
gęstością ładunku .

a) pole na zewnątrz sfery w

odległości r od jej centrum

r>R

V

Q





stąd

3

3

4

R

V

Q











o

o

R

Q

r

E

Es

















3

2

3

4

4

cos









• Z porównania wzorów na strumień

pola otrzymujemy:

o

R

r

E









3

2

3

4

4



2

3

2

3

3

3

1

r

R

r

R

E

o

o













2

1

~

r

E

b)Natężenie pola wewnątrz

sfery

3

3

4

r

V

Q











o

o

r

Q

r

E

Es

















3

2

3

4

4

cos









• Z porównania wzorów na strumień

pola otrzymujemy:

o

o

r

r

r

E









3

3

1

2

3





r

E ~

•  

Wniosek:
Natężenie pola elektrostatycznego wewnątrz

naelektryzowanej kuli jest wprost
proporcjonalny do odległości od środka tej
kuli. Natężenie na zewnątrz tej kuli jest takie
samo jak od ładunku punktowego
znajdującego się w punkcie, w którym jest
środek kuli.