Prawo Gaussa
Prawo Gaussa
Strumień pola
elektrycznego
Miarą strumienia pola elektrycznego jest
liczba linii pola elektrycznego
przechodzącego przez daną powierzchnię:
cos
s
E
[
]
N m
C
2
Oznaczenia
- strumień pola;
E– natężenie pola
s - pole powierzchni;
α – kąt między liniami pola a
prostą prostopadłą do
powierzchni
Strumień pola elektrycznego Φ
E
–
jest to liczba linii pola związanych z
danym ładunkiem Q i wychodzących
z dowolnej geometrycznej
powierzchni zamkniętej,
zawierającej ten ładunek.
Strumień pola elektrycznego
nie zależy od promienia sfery i
jej powierzchni.
Całkowita ilość linii pola w kącie
bryłowym jest taka sama w
odległości 2R, jak i w odległości R.
Natężenie pola jest odwrotnie
proporcjonalne do R
2
, ale pole
powierzchni A jest wprost
proporcjonalne do R
2
. Tak więc
iloczyn tych dwóch wielkości,
1/R
2
×R
2
, jest niezależny od R.
Strumieniowi Φ
E
przypisujemy znak
plus (Φ
E
>0) o ile wektor natężenia
skierowany jest na zewnątrz
zamkniętej powierzchni (czyli gdy
ładunek źródłowy jest dodatni), której
fragment rozpatrujemy, a znak minus,
gdy wektor ten skierowany jest do
wewnątrz (ładunek źródłowy jest
ujemny Q<0)
Prawo Gaussa
Prawo Gaussa jest to prawo
łączące pole
elektrostatyczne
(natężenie pola E) z jego
źródłem czyli ładunkiem
(Q).
Prawo Gaussa
Wyobraźmy sobie na przykład
sferyczną powierzchnię zamkniętą,
otaczającą ładunek Q umieszczony
w jej środku.
Prawo Gaussa
Obliczamy strumień pola przez tą
powierzchnię.
Powierzchnia ma kształt sfery więc jej
pole obliczamy ze wzoru
S=4πr
2
Z definicji natężenia pola
Prawo Gaussa
W naszym przykładzie
Prawo Gaussa
Strumień natężenia pola elektrycznego
przechodzący przez powierzchnię
zamkniętą dowolnego kształtu jest wprost
proporcjonalny do całkowitego ładunku Q
zawartego we wnętrzu tej powierzchni i w
próżni ma wartość:
Prawo Gaussa
Wartość przenikalności dielektrycznej
próżni wynosi:
Jeżeli strumień natężenia pola
elektrycznego liczymy w innych
ośrodkach, to nasz wzór wygląda tak:
gdzie ε
R
to względna przenikalność
dielektryczna danego środowiska
(ośrodka).
Zastosowanie prawa
Gaussa
Prawo Gaussa umożliwia wyznaczenie
w prosty sposób wektora natężenia
pola E w przypadku symetrycznego
rozkładu ładunków, np. :
• dla naelektryzowanej kuli,
• długich cienkich prętów,
• jednorodnie naładowanych dużych
płyt.
Przykład 1
Znajdź natężenie pola elektrycznego
wytworzonego przez nieskończenie
długą nić
( w praktyce – bardzo długą),
naładowaną równomiernie z
gęstością liniową λ.
Rozwiązanie przykładu 1
• Wybór powierzchni Gaussa
Otoczmy nić powierzchnią walcową o
promieniu r i wysokości h. Od góry i od
dołu dodajmy dwa denka - otrzymujemy
walec. Strumień pola przepływający przez
obydwie podstawy walca wynosi zero
(ponieważ pole jest do nich równoległe),
zaś strumień pola przez boczną
powierzchnię walca wynosi :
S=2πrh to Φ
E
=ES=E2πrh
Rozwiązanie przykładu 1 cd
• Z definicji gęstości liniowej λ:
• Jednocześnie z prawa Gaussa
• Z porównania dwóch powyższych
wzorów otrzymujemy:
E
r
Przykład 2
Oblicz natężenie pola
elektrostatycznego wewnątrz i na
zewnątrz kuli naładowanej stałą
gęstością ładunku .
a) pole na zewnątrz sfery w
odległości r od jej centrum
r>R
V
Q
stąd
3
3
4
R
V
Q
o
o
R
Q
r
E
Es
3
2
3
4
4
cos
• Z porównania wzorów na strumień
pola otrzymujemy:
o
R
r
E
3
2
3
4
4
2
3
2
3
3
3
1
r
R
r
R
E
o
o
2
1
~
r
E
b)Natężenie pola wewnątrz
sfery
3
3
4
r
V
Q
o
o
r
Q
r
E
Es
3
2
3
4
4
cos
• Z porównania wzorów na strumień
pola otrzymujemy:
o
o
r
r
r
E
3
3
1
2
3
r
E ~
•
Wniosek:
Natężenie pola elektrostatycznego wewnątrz
naelektryzowanej kuli jest wprost
proporcjonalny do odległości od środka tej
kuli. Natężenie na zewnątrz tej kuli jest takie
samo jak od ładunku punktowego
znajdującego się w punkcie, w którym jest
środek kuli.