Matematyka A, egzamin, 1 lutego 2011, 12:20 – 15:30
Rozwia
,
zania kolejnych zada´
n nale˙zy pisa´c na r´o˙znych kartkach, bo sprawdza´c je be
,
da
,
r´o˙zne osoby.
Ka˙zda kartka musi by´c podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza
,
cego,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza
,
cej ´cwiczenia.
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urza
,
dze´
n elek-
tronicznych; je´sli kto´s ma, musi wy la
,
czy´
c i schowa´
c! Nie dotyczy rozrusznik´ow serca.
Nie wolno korzysta´c z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´c. Wolno i NALE ˙ZY powo lywa´c sie
,
na twierdzenia, kt´ore zo-
sta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´cwiczeniach.
Nale˙zy przeczyta´c
CAÃLE
zadanie
PRZED
rozpocze
,
ciem rozwia
,
zywania go!
1. 3 pt. Zdefiniowa´c log
d
b pamie
,
taja
,
c o za lo˙zeniach o d i b .
7 pt. Rozwia
,
za´c r´ownanie log
10
(x − 2) + log
10
(x + 2) − 2 log
10
2 =
1
3
log
10
27 − log
10
(x + 5) .
2. 3 pt. Poda´c definicje
,
kosinusa i sinusa dowolnego ka
,
ta.
4 pt. Rozwia
,
za´c nier´owno´s´c 16 sin
4
t − 16 sin
2
t + 3 > 0 .
3 pt. Zilustrowa´c jej rozwia
,
zanie na okre
,
gu x
2
+ y
2
= 1 .
3. 10 pt. Obliczy´c pole obszaru ograniczonego przez proste y = 0 , x =
π
4
, x =
3π
4
i wykres funkcji
y = cos x sin x ln(sin x) .
4. Niech f (x) = x
3
√
sin
2
x .
Zachodza
,
wtedy r´owno´sci f
0
(x) =
2x cos x+3 sin x
3
3
√
sin x
, f
00
(x) =
−2(x cos
2
x−6 cos x sin x+3x sin
2
x)
9
3
√
sin
4
x
. W prze-
dziale otwartym (0, 2π) funkcja 2x cos x + 3 sin x ma dok ladnie dwa pierwiastki: x
1
≈ 2,17463
i x
2
≈ 5,00365 . Funkcja x cos
2
x − 6 cos x sin x + 3x sin
2
x ma w przedziale otwartym (0, 2π)
dok ladnie jeden pierwiastek: x
3
≈ 1,04447 .
1 pt. Rozstrzygna
,
´c, czy istnieje f
0
(0) . Je´sli istnieje, obliczy´c ja
,
.
1 pt. Rozstrzygna
,
´c, czy istnieja
,
f
0
(π) i f
0
(2π) . Je´sli istnieja
,
, obliczy´c je.
1 pt. Rozstrzygna
,
´c, czy istnieje f
00
(0) . Je´sli istnieje, obliczy´c ja
,
.
2 pt. Znale´z´c te podprzedzia ly przedzia lu [−2π, 2π] , na kt´orych funkcja f maleje oraz te, na
kt´orych ro´snie.
2 pt. Znale´z´c te podprzedzia ly przedzia lu [−2π, 2π] , na kt´orych funkcja f jest wypuk la oraz te,
na kt´orych jest wkle
,
s la.
3 pt. Naszkicowa´c wykres funkcji f na przedzia le [−2π, 2π] korzystaja
,
c z uzyskanych informacji.
5. (10 pt.) Znale´z´c granice
,
lim
x→0
(
4
p
1 − 2 tg
2
x − cos x) · 2
sin(3x)−tg(2x)
ln(1 + 9x)(sin x − x) cos(tg x) · (
√
4 + x − 1)
.
6. Niech O = (0, 0, 0) , A = (−2, 2, 3) , B = (−3, 2, 6) , C = (2, −1, 2) .
2 pt. Znale´z´c iloczyn [O, A] × [O, B] i obliczy´c pole tr´ojka
,
ta OAB .
2 pt. Obliczy´c odleg lo´s´c punktu A od prostej OB .
2 pt. Obliczy´c obje
,
to´s´c czworo´scianu OABC .
2 pt. Obliczy´c odleg lo´s´c punktu C od p laszczyzny OAB .
2 pt. Znale´z´c sinus ka
,
ta jaki tworzy wektor [OC] z p laszczyzna
,
OAB .
Ciekawostki (kt´o˙z wie, co sie
,
mo˙ze przyda´c): (1 + x)
a
= 1 + ax +
a
2
x
2
+
a
3
x
3
+ · · · =
P
∞
n=0
a
n
x
n
,
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
+ · · · =
P
∞
n=0
(−1)
n x
2n+1
(2n+1)!
,
cos x
0
= − sin x ,
tg x = x +
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+ · · · .
