Matematyka A, egzamin, 1 lutego 2011, 12:20 – 15:30
Rozwiazania kolejnych zada´
n należy pisać na różnych kartkach, bo sprawdzać je beda różne osoby.
,
,
,
Każda kartka musi być podpisana w LEWYM G ´
ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem piszacego,
,
jego nr. indeksu oraz nr. grupy ćwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadzacej ćwiczenia.
,
Nie wolno korzysta´
c z kalkulator´
ow, telefon´
ow kom´
orkowych ani innych urzadze´
n elek-
,
tronicznych; jeśli ktoś ma, musi wy laczy´
c i schowa´
c! Nie dotyczy rozruszników serca.
,
Nie wolno korzystać z tablic ani notatek!
Wszystkie stwierdzenia należy uzasadniać. Wolno i NALE ŻY powo lywać sie na twierdzenia, które zo-
,
sta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ćwiczeniach.
Należy przeczytać CAÃLE zadanie PRZED rozpoczeciem rozwiazywania go!
,
,
1. 3 pt. Zdefiniować log d b pamietajac o za lożeniach o d i b .
,
,
7 pt. Rozwiazać równanie log
log
,
10( x − 2) + log10( x + 2) − 2 log10 2 = 1
3
10 27 − log10( x + 5) .
2. 3 pt. Podać definicje kosinusa i sinusa dowolnego kata.
,
,
4 pt. Rozwiazać nierówność 16 sin4 t − 16 sin2 t + 3 > 0 .
,
3 pt. Zilustrować jej rozwiazanie na okregu x 2 + y 2 = 1 .
,
,
3. 10 pt. Obliczyć pole obszaru ograniczonego przez proste y = 0 , x = π , x = 3 π i wykres funkcji 4
4
y = cos x sin x ln(sin x) .
√
4. Niech f ( x) = x 3 sin2 x .
Zachodza wtedy równości f 0( x) = 2 x cos x+3 sin x
√
, f 00( x) = − 2( x cos2 x− 6 cos x sin x+3 x sin2 x)
√
. W prze-
,
3 3 sin x
9 3 sin4 x
dziale otwartym (0 , 2 π) funkcja 2 x cos x + 3 sin x ma dok ladnie dwa pierwiastki: x 1 ≈ 2 , 17463
i x 2 ≈ 5 , 00365 . Funkcja x cos2 x − 6 cos x sin x + 3 x sin2 x ma w przedziale otwartym (0 , 2 π) dok ladnie jeden pierwiastek: x 3 ≈ 1 , 04447 .
1 pt. Rozstrzygnać, czy istnieje f 0(0) . Jeśli istnieje, obliczyć ja.
,
,
1 pt. Rozstrzygnać, czy istnieja f 0( π) i f 0(2 π) . Jeśli istnieja, obliczyć je.
,
,
,
1 pt. Rozstrzygnać, czy istnieje f 00(0) . Jeśli istnieje, obliczyć ja.
,
,
2 pt. Znaleźć te podprzedzia ly przedzia lu [ − 2 π, 2 π] , na których funkcja f maleje oraz te, na których rośnie.
2 pt. Znaleźć te podprzedzia ly przedzia lu [ − 2 π, 2 π] , na których funkcja f jest wypuk la oraz te, na których jest wkles la.
,
3 pt. Naszkicować wykres funkcji f na przedzia le [ − 2 π, 2 π] korzystajac z uzyskanych informacji.
,
p
( 4 1 − 2 tg2 x − cos x) · 2sin(3 x) − tg(2 x) 5. (10 pt.) Znaleźć granice
lim
√
.
,
x→ 0 ln(1 + 9 x)(sin x − x) cos(tg x) · ( 4 + x − 1) 6. Niech O = (0 , 0 , 0) , A = ( − 2 , 2 , 3) , B = ( − 3 , 2 , 6) , C = (2 , − 1 , 2) .
2 pt. Znaleźć iloczyn [ O, A] × [ O, B] i obliczyć pole trójkata OAB .
,
2 pt. Obliczyć odleg lość punktu A od prostej OB .
2 pt. Obliczyć objetość czworościanu OABC .
,
2 pt. Obliczyć odleg lość punktu C od p laszczyzny OAB .
2 pt. Znaleźć sinus kata jaki tworzy wektor [ OC] z p laszczyzna OAB .
,
,
P
Ciekawostki (któż wie, co sie może przydać): (1 + x) a = 1 + ax + a x 2 + a x 3 + · · · =
∞
a xn ,
,
2
3
n=0 n
P
sin x = x − x 3 + x 5 − x 7 + · · · =
∞
( − 1) n x 2 n+1 ,
cos x 0 = − sin x ,
3!
5!
7!
n=0
(2 n+1)!
tg x = x + 1 x 3 + 2 x 5 + 17 x 7 + · · · .
3
15
315