Matematyka A, egzamin poprawkowy, 14 lutego 2011, 13:40 — 16:50

Rozwia

,

zania kolejnych zada´

n nale˙zy pisa´

c na r´

o˙znych kartkach, bo sprawdza´

c je be

,

da

,

r´

o˙zne osoby.

Ka˙zda kartka musi by´

c podpisana w LEWYM G ´

ORNYM ROGU imieniem i nazwiskiem pisza

,

cego,

jego nr. indeksu oraz nr. grupy ´

cwiczeniowej i nazwiskiem osoby prowadza

,

cej ´

cwiczenia.

Nie wolno korzysta´

c z kalkulator´

ow, telefon´

ow kom´

orkowych ani innych urza

,

dze´

n elek-

tronicznych; je´

sli kto´

s ma, musi wy la

,

czy´

c i schowa´

c! Nie dotyczy rozrusznik´

ow serca.

Nie wolno korzysta´

c z tablic ani notatek!

Wszystkie stwierdzenia nale˙zy uzasadnia´

c. Wolno i NALE ˙

ZY powo lywa´

c sie

,

na twierdzenia, kt´

ore

zosta ly udowodnione na wyk ladzie lub na ´

cwiczeniach.

Nale˙zy przeczyta´

c

CA LE

zadanie

PRZED

rozpocze

,

ciem rozwia

,

zywania go!

1. 3 pt. Zdefiniowa´

c log

b

c pamie

,

taja

,

c o za lo˙zeniach o c i b .

7 pt. Rozwia

,

za´

c r´

ownanie log

10

(x − 2) + log

10

(x − 1) − 2 log

10

4

√

4 =

1
2

log

10

36 − log

10

(x + 3) .

2. 3 pt. Poda´

c definicje

,

kosinusa i sinusa dowolnego ka

,

ta.

7 pt. Rozwia

,

za´

c nier´

owno´

s´

c

2 sin

4

t − 5 sin

2

t + 2 > 0 .

Zilustrowa´

c jej rozwia

,

zanie na okre

,

gu

x

2

+ y

2

= 1 .

3. 10 pt. Obliczy´

c pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji f i g , je´

sli f (x) = π

2

− 4x

2

i

g(x) = (2x + π) cos x .

4. Niech f (x) =

3

√

x sin

2

x .

Zachodza

,

wtedy r´

owno´

sci f

0

(x) =

x sin(2x)+sin

2

x

3

3

√

x

2

sin

4

x

oraz

f

00

(x) =

−1−4x

2

+(1+2x

2

) cos(2x)+2x sin(2x)

9

3

√

x

5

sin

4

x

. Funkcja x sin(2x) + sin

2

x ma w przedziale otwartym

(0, 2π) dok ladnie dwa pierwiastki: x

1

≈ 1.8366 i x

2

≈ 4.81584 .

Funkcja −1 − 4x

2

+ (1 + 2x

2

) cos(2x) + 2x sin(2x) ma w przedziale otwartym (0, 2π) sta ly znak.

1 pt. Rozstrzygna

,

´

c, czy istnieje f

0

(0) . Je´

sli istnieje, obliczy´

c ja

,

.

1 pt. Rozstrzygna

,

´

c, czy istnieja

,

f

0

(π) i f

0

(2π) . Je´

sli istnieja

,

, obliczy´

c je.

2 pt. Znale´

z´

c te podprzedzia ly przedzia lu [−2π, 2π] , na kt´

orych funkcja f maleje i te, na kt´

orych

ro´

snie.

2 pt. Znale´

z´

c te podprzedzia ly przedzia lu [−2π, 2π] , na kt´

orych funkcja f jest wypuk la i te, na

kt´

orych jest wkle

,

s la.

4 pt. Naszkicowa´

c wykres funkcji f na przedzia le [−2π, 2π] korzystaja

,

c z uzyskanych informacji.

5. (10 pt.)

Znale´

z´

c granice

,

lim

x→0

(

4

√

1 + 2x

2

+ cos x + 2 cos π) · 2

sin(4x)−tg(3x)

ln(1 − 5x)(sin x − x) cos(tg x) · (

√

9 + x − 2)

; .

6. Niech O = (0, 0, 0) , A = (2, −6, 9) , B = (12, −3, −4) , C = (2, −1, 2) .

2 pt. Znale´

z´

c iloczyn

−→

OA ×

−

−

→

OB i obliczy´

c pole tr´

ojka

,

ta OAB .

2 pt. Obliczy´

c odleg lo´

s´

c punktu A od prostej OB .

2 pt. Obliczy´

c obje

,

to´

s´

c czworo´

scianu OABC .

2 pt. Znale´

z´

c kosinus ka

,

ta mie

,

dzy wektorami

−→

OA i

−

−

→

OB .

2 pt. Napisa´

c r´

ownanie p laszczyzny OAB .

Ciekawostki (kt´

o˙z wie, co sie

,

mo˙ze przyda´

c): (1 + x)

a

= 1 + ax +

a
2

x

2

+

a
3

x

3

+ · · · =

P

∞
n=0

a

n

x

n

,

sin x = x −

x

3

3!

+

x

5

5!

−

x

7

7!

+ · · · =

P

∞
n=0

(−1)

n x

2n+1

(2n+1)!

,

sin x

0

= cos x ,

tg x = x +

1
3

x

3

+

2

15

x

5

+

17

315

x

7

+ · · · .