SiMR Kolokwium poprawkowe z Analizy Matematycznej 2

Grupa 1.7

7 maja 2008

I

1. [4p] Okre±li¢ i narysowa¢ dziedzin¦ funkcji f(x, y) = (sin x)

ln y

. Czy dziedzina jest zbiorem otwartym

lub domkni¦tym? Obliczy¢ ∇f i znale¹¢ ró»niczk¦ f.

2. [3p] Przeksztaªci¢ równanie u

xx

− 2u

xy

− 6u

yy

= 0

, wprowadzaj¡c nowe zmienne

ξ = x + 2y,

η = 2x − y.

3. [3p] Wyznaczy¢ trzy pierwsze wyrazy rozwini¦cia funkcji f(x, y) = e

x

ln(1 + y)

w szereg Taylora w

otoczeniu punktu (0, 0).

4. [3p] Wyznaczy¢ ekstremum funkcji f(x, y) =

1

x

+

1
y

przy warunku

1

x

2

+

1

y

2

= 1

.

5. [4p] Obliczy¢ caªki krzywoliniowe:

(a) [2p] R

γ

dl

√

x

2

+y

2

+4

, gdzie γ jest odcinkiem ª¡cz¡cym punkty (0, 0) i (1, 2),

(b) [2p] R

γ

xdx+ydy

√

1+x

2

+y

2

, gdzie γ jest czwart¡ cz¦±ci¡ elipsy le»¡c¡ w pierwszej ¢wiartce, w

kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Powodzenia!

SiMR Kolokwium poprawkowe z Analizy Matematycznej 2

Grupa 1.7

7 maja 2008

II

1. [4p] Okre±li¢ i narysowa¢ dziedzin¦ funkcji f(x, y) = ln(x + ln y). Czy dziedzina jest zbiorem

otwartym lub domkni¦tym? Obliczy¢ ∇f i znale¹¢ ró»niczk¦ f.

2. [3p] Przeksztaªci¢ równanie u

xx

− 4u

xy

− 2u

yy

= 0

, wprowadzaj¡c nowe zmienne

ξ = 3x + y,

η = x − 3y.

3. [3p] Wyznaczy¢ trzy pierwsze wyrazy rozwini¦cia funkcji f(x, y) = e

y

cos x

w szereg Taylora w

otoczeniu punktu (0, 0).

4. [3p] Wyznaczy¢ ekstremum funkcji f(x, y) = cos

2

x + cos

2

y

przy warunku x = y −

1
4

π

.

5. [4p] Obliczy¢ caªki krzywoliniowe:

(a) [2p] R

γ

(y − x)dl

, gdzie γ jest ªukiem krzywej y = x

3

od (1, 1) do (2, 8),

(b) [2p] R

γ

x

2

dx +

√

xydy

, gdzie γ jest czwart¡ cz¦±ci¡ okr¦gu zawart¡ w pierwszej ¢wiartce,

w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara.

Powodzenia!