SiMR  Kolokwium z Analizy Matematycznej 2

Grupa 1.7

23 kwietnia 2008

I

1. [4p] Okre±li¢ i narysowa¢ dziedzin¦ funkcji f(x, y) = pln(x − y) − ln(x + y). Czy dziedzina jest

zbiorem otwartym lub domkni¦tym? Obliczy¢ pochodn¡ kierunkow¡ f w kierunku wektora

~h = (1, −1).

2. [3p] Przeksztaªci¢ równanie u

xx

− u

xy

− 6u

yy

= 0

, wprowadzaj¡c nowe zmienne

ξ = 3x + y,

η = 2x − y.

3. [3p] Znale¹¢ ekstrema funkcji f(x, y) = x

2

+ y − ln x

3

− 3 ln y

.

4. [3p] Czy wyra»enie e

x−y

(cos x − sin x)dx − e

x−y

cos xdy

jest ró»niczk¡ zupeªn¡? Je±li tak, znale¹¢

funkcj¦ pierwotn¡.

5. [4p] Obliczy¢ caªki krzywoliniowe:

(a) [2p] R

γ

ds

x

2

+y

2

+2z

, gdzie γ(t) = (cos t, sin t,

1
2

t

2

)

oraz t ∈ [0, 2π],

(b) [2p] H

γ

y

2

dx − x

2

dy

, gdzie γ jest okr¦giem o promieniu 2 i ±rodku w punkcie (0, 0).

Powodzenia!

SiMR  Kolokwium z Analizy Matematycznej 2

Grupa 1.7

23 kwietnia 2008

II

1. [4p] Okre±li¢ i narysowa¢ dziedzin¦ funkcji f(x, y) = px

2

− y arcsin y

. Czy dziedzina jest zbiorem

otwartym lub domkni¦tym? Obliczy¢ pochodn¡ kierunkow¡ f w kierunku wektora ~h = (1, 2).

2. [3p] Przeksztaªci¢ równanie 3u

xx

− 5u

xy

− 2u

yy

= 0

, wprowadzaj¡c nowe zmienne

ξ = 2x + y,

η = x − 3y.

3. [3p] Znale¹¢ ekstrema funkcji f(x, y) = x + y

2

− ln y

3

− 3 ln x

.

4. [3p] Czy wyra»enie e

x

(cosh(x − y) + sinh(x − y))dx − e

x

sinh(x − y)dy

jest ró»niczk¡ zupeªn¡? Je±li

tak, znale¹¢ funkcj¦ pierwotn¡.

5. [4p] Obliczy¢ caªki krzywoliniowe:

(a) [2p] H

γ

xyds

, gdzie γ(t) = (cos t, sin t, sin t) oraz t ∈ [0, 2π],

(b) [2p] R

γ

xdx

y

+

dy

y−a

, gdzie γ(t) = (a(t − sin t), a(1 − cos t)) jest ªukiem cykloidy od t =

1
6

π

do t =

1
3

π

.

Powodzenia!