SiMR Kolokwium z Analizy Matematycznej 2

Grupa 1.3

3 kwietnia 2008

I

1. [4p] Okre±li¢ i narysowa¢ dziedzin¦ funkcji f(x, y) = arcsin

y
x

. Obliczy¢ ∇f i znale¹¢ ró»niczk¦ f.

2. [3p] Przeksztaªci¢ równanie u

xx

+ u

xy

= 0

, wprowadzaj¡c nowe zmienne

ξ = y,

η = y − x.

3. [3p] Znale¹¢ ekstrema funkcji f(x, y, z) = x + y + z +

1

x

+

1
y

+

1
z

.

4. [3p] Liczb¦ a > 0 przedstawi¢ w postaci sumy trzech skªadników dodatnich takich, »e ich iloczyn

osi¡ga warto±¢ ekstremaln¡. Jakiego rodzaju jest to ekstremum?

5. [4p] Obliczy¢ caªki krzywoliniowe:

(a) [2p] R

γ

xyds

, gdzie γ jest górn¡ cz¦±ci¡ elipsy

x

2

4

+ y

2

= 1

,

(b) [2p] R

γ

2dx+xdy

x

2

+y

2

, gdzie γ jest cz¦±ci¡ ªuku paraboli y = x

2

od (0, 0) do (1, 1).

Powodzenia!

SiMR Kolokwium z Analizy Matematycznej 2

Grupa 1.3

3 kwietnia 2008

II

1. [4p] Okre±li¢ i narysowa¢ dziedzin¦ funkcji f(x, y) = ln(x − y

2

)

. Obliczy¢ ∇f i znale¹¢ ró»niczk¦ f.

2. [3p] Przeksztaªci¢ równanie u

xx

+ u

xy

− 2u

yy

= 0

, wprowadzaj¡c nowe zmienne

ξ = x + y,

η = 2x − y.

3. [3p] Znale¹¢ ekstrema funkcji f(x, y, z) = x + y + z − ln(xyz), (x, y, z > 0).
4. [3p] Liczb¦ a > 0 przedstawi¢ w postaci iloczynu trzech skªadników dodatnich takich, »e ich suma

osi¡ga warto±¢ ekstremaln¡. Jakiego rodzaju jest to ekstremum?

5. [4p] Obliczy¢ caªki krzywoliniowe:

(a) [2p] R

γ

xyds

, gdzie γ jest doln¡ cz¦±ci¡ elipsy x

2

+

y

2

9

= 1

,

(b) [2p] R

γ

e

x

(dx + ydy)

, gdzie γ jest cz¦±ci¡ ªuku paraboli y

2

= x

od (0, 0) do (1, 1).

Powodzenia!