4

kN

2 kN/m

10 kN

A

B

D

C

G

2 kN

E

F

H

1 kNm

4

kN

4

kN

2 kN/m

A

B

D

C

G

2 kN

E

F

H

1 kNm

H

A

=6 kN

4

kN

10 kN

4

kN

2 kN/m

A

B

D

C

G

2 kN

E

F

H

1 kNm

4

kN

2 kN/m

A

B

D

C

G

2 kN

E

F

H

1 kNm

1

4

3

2

BELKI GERBEROWSKIE

Obliczanie reakcji podpór:
1.

metodą polegającą na zastąpieniu belki gerberowskiej belkami prostymi

2.

z zasady prac wirtualnych

Zadanie 1.

Oblicz reakcje podpór belki gerberowskiej statycznie wyznaczalnej dokonując rozkładu belki
gerberowskiej na belki proste








Reakcje podpór belki gerberowskiej można wyliczyć z równań równowagi bez rozkładu belki
gerberowskiej na belki proste, jednak w przypadku większej liczby przegubów obliczenia takie są
bardzo pracochłonne. Przedstawiona metoda, polegająca na zastąpieniu belki gerberowskiej belkami
prostymi, znacznie upraszcza obliczenia.

Obliczenia wykonujemy w następujących krokach:

a)

obliczenie reakcji poziomej – rozpisujemy równanie równowagi

0

=

∑ x

dla całej belki

i wyliczamy reakcję poziomą (jest tylko jedna reakcja pozioma w przypadku statycznie
wyznaczalnej belki gerberowskiej, jeżeli nie posiada ona podpór przesuwnych usytuowanych pod
kątem w stosunku do belki).

0

=

∑ x

0

]

[

10

]

[

4

=

+

−

−

kN

kN

H

A

]

[

6 kN

H

A

=

W dalszych obliczeniach nie uwzględniamy już sił i reakcji poziomych:

b)

podział belki gerberowskiej na belki proste – dokonując rozcięcia w przegubach dzielimy belkę
gerberowską na belki proste (cztery belki proste)

4

kN

2 kN/m

A

B

D

C

E

F

1 kNm

1

3

2

G

2 kN

F

H

4

C

E

4

kN

2 kN/m

A

B

D

C

E

F

1 kNm

1

3

2

G

2 kN

F

H

4

C

E

R

1

R

2

R

3

R

1

R

3

R

2

Następnie analizujemy wszystkie wyodrębnione belki proste pod kątem geometrycznej niezmienności
(wykluczamy możliwość ruchu w kierunku poziomym).

Belki proste geometrycznie niezmienne rysujemy na samym dole – belka nr 1 i nr 4.
Pozostałe belki musimy odpowiednio rozłożyć nad belkami niezmiennymi, pamiętając o tym, że belki
możemy opierać tylko na belkach już niezmiennych.

I tak:
Belki proste posiadające jeden punkt podparcia – w naszym zadaniu belka nr 2 - musimy podeprzeć
jeszcze w jednym punkcie – przegub C zastępujemy więc podporą przegubową i opieramy belkę 2 na
belce 1. W ten sposób również belka 2 staje się belką geometrycznie niezmienną.

Belki, które nie mają żadnych punktów podparcia – w naszym zadaniu belka nr 3 – musimy podeprzeć
w dwóch punktach – przegub E i F zastępujemy podporami i opieramy belkę nr 3 na belce nr 2 i nr 4.

Schemat podparcia belek prostych wygląda następująco:










Należy pamiętać o odpowiednim przyłożeniu obciążeń do belek prostych:

•

siła skupiona działająca w przegubie (siła 2 kN przyłożona w punkcie F) musi zostać
uwzględniona w punkcie F do belki górnej nr 3 lub belki dolnej nr 4
(obciążamy siłą 2 kN belkę dolną – nr 4)

•

Obciążenie ciągłe należy odpowiednio rozłożyć na wszystkie belki proste na które to obciążenie
działa

c)

obliczenie reakcji belek prostych

Obliczenia reakcji zawsze zaczynamy od belek górnych i stopniowo schodzimy z obliczeniami w dół,
na końcu obliczając belki położone na samym dole. Po wyliczeniu reakcji dodatkowo przyjętych
podpór (R

1

, R

2

, R

3

), należy pamiętać o przekazaniu tych reakcji na belki dolne zawsze z przeciwnym

zwrotem, zgodnie z przedstawionym schematem:

I

II

III

IV

F

1 kNm

3

E

R

1

=1 kN

R

2

=1 kN

2 kN/m

D

E

2

C

R

3

=5 kN

R

1

=1 kN

V

D

=2 kN

4

kN

A

B

C

1

R

3

=5 kN

V

B

=11 kN

M

u

=2 kNm

2 kN/m

G

2 kN

F

H

4

R

2

=1kN

V

G

=6 kN

V

H

=3 kN

I

Belka nr 3:

1.

0

=

∑

E

M

0

]

[

1

]

[

1

2

=

−

⋅

kNm

m

R

]

[

1

2

kN

R

=

2.

0

=

∑Y

0

]

[

1

1

=

+

−

kN

R

]

[

1

1

kN

R

=

II

Belka nr 2:

1.

0

=

∑

D

M

0

]

[

5

]

[

3

]

[

4

]

/

[

2

]

[

1

]

[

1

3

=

⋅

−

⋅

⋅

+

⋅

m

R

m

m

m

kN

m

kN

]

[

5

3

kN

R

=

2.

0

=

∑Y

0

]

[

4

]

/

[

2

]

[

1

]

[

5

=

+

⋅

−

+

D

V

m

m

kN

kN

kN

]

[

2 kN

V

D

=

III

Belka nr 1:

1.

0

=

∑Y

-

0

]

[

5

]

[

1

]

/

[

2

]

[

4

=

+

−

⋅

−

B

V

kN

m

m

kN

kN

]

[

11 kN

V

B

=

2.

0

=

∑

B

M

0

]

[

1

]

[

5

]

[

5

,

0

]

[

1

]

/

[

2

]

[

1

]

[

4

=

⋅

−

⋅

⋅

−

⋅

+

m

kN

m

m

m

kN

m

kN

M

u

]

[

2 kNm

M

u

=

IV

Belka nr 4:

1.

0

=

∑

G

M

0

]

[

1

]

[

1

]

[

1

]

[

1

]

[

2

=

⋅

−

⋅

+

⋅

m

V

m

kN

m

kN

H

]

[

3 kN

V

H

=

2.

0

=

∑Y

0

]

[

3

]

[

1

]

[

2

=

+

−

−

−

G

V

kN

kN

kN

]

[

6 kN

V

G

=

4

kN

2 kN/m

A

B

D

C

E

F

1 kNm

1

3

2

G

2 kN

F

H

4

C

E

R

1

=1 kN

R

2

=1 kN

R

3

=5 kN

R

1

=1 kN

R

3

=5 kN

R

2

=1kN

V

D

=2 kN

V

B

=11 kN

M

u

=2 kNm

V

G

=6 kN

V

H

=3 kN

2 kN/m

4

kN

2 kN/m

10 kN

A

B

D

C

G

2 kN

E

F

H

1 kNm

4

kN

V

G

=6 kN

V

H

=3 kN

V

D

=2 kN

V

B

=11 kN

M

u

=2 kNm

H

A

=6

kN

J

Obliczone reakcje w belkach prostych:

d)

sprawdzenie reakcji

Sprawdzenie czy reakcje zostały dobrze wyliczone przeprowadzamy dla całej belki:

Spr:

0

]

[

3

]

[

6

]

[

2

]

[

2

]

[

5

]

/

[

2

]

[

11

]

[

4

=

−

+

−

+

⋅

−

+

−

=

∑

kN

kN

kN

kN

m

m

kN

kN

kN

Y

0

]

[

1

]

[

10

]

[

9

]

[

3

]

[

8

]

[

6

]

[

7

]

[

2

]

[

1

]

[

5

]

[

2

]

[

5

,

1

]

[

5

]

/

[

2

]

[

1

]

[

11

]

[

1

]

[

4

]

[

2

]

[

4

]

[

2

]

[

1

]

[

6

=

⋅

−

⋅

−

⋅

+

⋅

−

−

⋅

+

+

⋅

⋅

−

⋅

−

⋅

+

⋅

+

+

⋅

=

∑

m

kN

m

kN

m

kN

m

kN

kNm

m

kN

m

m

m

kN

m

kN

m

kN

m

kN

kNm

m

kN

M

J

4

kN

2 kN/m

10 kN

A

B

D

C

G

2 kN

E

F

H

1 kNm

4

kN

4

kN

10 kN

A

B

D

C

G

2 kN

E

F

H

4

kN

8

kN

2

kN

1

kN 1

kN

IV

III

II

I

A

B

D

C

G

E

F

H

V

B

5δ

5δ

5δ

5δ

3δ

δ

δ

O

I

→

IV

III

II

I

O

I

Ι

O

II

Ι

Zadanie 2.

Oblicz reakcje podpór belki gerberowskiej z zad. 1 korzystając z zasady prac wirtualnych









Rozważana belka gerberowska składa się z czterech tarcz połączonych przegubami (oznaczamy na
rysunku odpowiednio tarcze I, II, III, IV). Przed przystąpieniem do obliczeń obciążenia ciągłe należy
zastąpić wypadkowymi, a moment skupiony parą sił:










1.

Obliczenie reakcji V

B

Usuwamy myślowo podporę przegubowo przesuwną w punkcie B i jej działanie zastępujemy reakcją
V

B

, którą należy obliczyć. Po usunięciu podpory układ posiada jeden stopień swobody. Rysujemy plan

przesunięć wirtualnych dla takiego układu:










Ruch całej belki gerberowskiej w poziomie jest zablokowany poprzez podporę przyłożoną w punkcie
A. Dwie podpory przegubowo przesuwne, przyłożone do tarczy IV, zezwalałyby jedynie na ruch
w poziomie – jednak z uwagi na zablokowanie tego ruchu dla całej belki przesunięcie takie jest
niemożliwe. Wnioskujemy stąd, że cała tarcza IV jest nieruchoma.

Tarcza III może obrócić się wokół punktu F (punkt F jest nieruchomy, co wynika z faktu, iż należy on
do nieruchomej tarczy IV). Punkt F będzie więc środkiem chwilowego obrotu tarczy III – oznaczamy
go jako O

III

.

Zakładamy obrót tarczy III wokół punktu O

III

jako przeciwny do ruchu wskazówek zegara.

Zakładamy przesunięcie punktu E, należącego do tarczy III, znajdującego się w odległości 1 [m] od
ś

rodka chwilowego obrotu O

III

jako

δ

1

.

Tarcza II obróci się wokół punktu D, który z uwagi na przyłożoną tam podporę i zablokowanie
przesuwu poziomego jest punktem nieruchomym. Obrót tarczy II wokół środka O

II

odbywa się

zgodnie z ruchem wskazówek zegara (wynika to z obrotu tarczy III).

Tarcza I dozna równoległego przesunięcia w pionie – jedynie na to zezwala podpora w punkcie A.
Wszystkie pozostałe przesunięcia wirtualne punktów belki zostały wyznaczone z proporcji.

A

B

D

C

G

E

F

H

V

B

5δ

5δ

3δ

δ

4

kN

10 kN

3 kN

4

kN

8

kN

2

kN

1

kN

5δ

0δ

0δ

0δ

A

B

D

C

G

E

F

H

V

D

2δ

6δ

4

kN

10 kN

3 kN

4

kN

8

kN

2

kN

1

kN

5δ

0δ

0δ

0δ

O

I

Ι

O

II

Ι

IV

III

II

I

0δ

0δ

A

B

D

C

G

E

F

H

V

G

δ

2δ

4

kN

10 kN

3 kN

4

kN

8

kN

2

kN

1

kN

0δ

0δ

O

II

Ι

IV

III

II

I

0δ

0δ

0δ

0δ

O

IV

Na planie przesunięć wirtualnych zaznaczamy wszystkie działające siły:










Z zasady prac wirtualnych obliczamy reakcję V

B

:

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

∀

=

⋅

−

+

⋅

+

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

+

⋅

+

⋅

−

0

0

]

[

10

0

]

[

3

1

]

[

1

3

]

[

8

5

]

[

2

5

0

]

[

4

5

]

[

4

kN

kN

kN

kN

kN

V

kN

kN

B

]

[

11 kN

V

B

=

2.

Obliczenie reakcji V

D

Plan przesunięć wirtualnych z działającymi siłami (tarcza I i tarcza IV – nieruchoma; tarcza II obraca
się wokół punktu C; tarcza III wokół punktu F):









Z zasady prac wirtualnych obliczamy reakcję V

D

:

δ

δ

δ

δ

∀

=

⋅

+

⋅

+

⋅

−

0

6

]

[

1

5

2

]

[

8

kN

V

kN

D

]

[

2 kN

V

D

=

3.

Obliczenie reakcji V

G

Plan przesunięć wirtualnych z działającymi siłami (tarcza I i tarcza II – nieruchoma; tarcza III obraca
się wokół punktu E; tarcza IV wokół punktu H):









Z zasady prac wirtualnych obliczamy reakcję V

G

:

δ

δ

δ

∀

=

⋅

+

⋅

−

0

2

]

[

3

G

V

kN

]

[

6 kN

V

G

=

A

B

D

C

G

E

F

H

V

H

δ

4

kN

10 kN

3 kN

4

kN

8

kN

2

kN

1

kN

0δ

0δ

O

II

Ι

IV

III

II

I

0δ

0δ

0δ

0δ

O

IV

δ

A

B

D

C

G

E

F

H

4

kN

10 kN

3 kN

4

kN

8

kN

2

kN

1

kN

0δ

0δ

O

II

Ι

IV

III

II

I

1δ

5δ

3δ

O

II

O

I

2.5δ

5δ

10δ

M

u

M

u

M

u

H

A

M

u

H

A

4.

Obliczenie reakcji V

H

Plan przesunięć wirtualnych z działającymi siłami (tarcza I i tarcza II – nieruchoma; tarcza III obraca
się wokół punktu E; tarcza IV wokół punktu G):









Z zasady prac wirtualnych obliczamy reakcję V

G

:

δ

δ

δ

∀

=

⋅

−

⋅

−

0

]

[

3

H

V

kN

]

[

3 kN

V

H

−

=

5.

Obliczenie reakcji M

u

Uwaga 1: Podporę w punkcie A – utwierdzenie z przesuwem – można przedstawić jako układ dwóch
podpór – podpory przegubowo przesuwnej i podpory blokującej tylko obrót:







Pierwsza podpora ogranicza tylko przesunięcie w poziomie, więc z postulatu o więzach podporę taką
można zastąpić reakcją H.
Druga podpora ogranicza tylko obrót, czyli z postulatu o więzach działanie tej podpory można
zastąpić momentem skupionym – momentem utwierdzenia.

W przypadku obliczania momentu utwierdzenia z zasady prac wirtualnych, musimy pozbyć się
ograniczenia związanego z tą reakcją, czyli w punkcie A pozostanie nam tylko podpora przegubowo
przesuwna.

Jeżeli natomiast będziemy obliczali reakcję poziomą od utwierdzenia w punkcie A, musimy usunąć
myślowo podporę przegubowo przesuwną i w punkcie A pozostanie nam tylko ograniczenie obrotu.

Uwaga 2: Moment utwierdzenia M

u

musimy zastąpić parą sił, zgodnie z poniższym rysunkiem

(zakładamy wyjściowy zwrot momentu utwierdzenia jako przeciwny do ruchu wskazówek zegara).

Plan przesunięć wirtualnych z działającymi siłami (tarcza IV – nieruchoma; tarcza I obraca się wokół
punktu B; tarcza II wokół punktu D, tarcza III obraca się wokół punktu F):

A

B

D

C

G

E

F

H

4

kN

10 kN

3 kN

4

kN

8

kN

2

kN

1

kN

1δ

IV

III

II

I

1δ

1δ

1δ

1δ

H

A

2kN/m

6 2 kN

2 kNm

A

B

C

P

3

D

P

2

E

P

1

2kN

4 kN

6kNm

Z zasady prac wirtualnych obliczamy reakcję M

U

:

δ

δ

δ

δ

δ

δ

δ

∀

=

⋅

−

⋅

−

⋅

−

⋅

+

⋅

−

⋅

0

1

]

[

1

3

]

[

8

5

,

2

]

[

2

5

]

[

4

5

10

kN

kN

kN

kN

M

M

U

U

]

[

2 kNm

M

u

=

6.

Obliczenie reakcji H

A

Plan przesunięć wirtualnych z działającymi siłami (cała belka dozna tylko przesunięcia w poziomie):











Z zasady prac wirtualnych obliczamy reakcję H

A

:

δ

δ

δ

δ

∀

=

⋅

−

⋅

+

⋅

−

0

1

]

[

10

1

]

[

4

1

kN

kN

H

A

]

[

6 kN

H

A

−

=

Zadanie 3.

Oblicz reakcje podpór belki gerberowskiej statycznie wyznaczalnej dokonując rozkładu belki
gerberowskiej na belki proste, a następnie te same reakcje wyznacz korzystając z zasady prac
wirtualnych (zadanie do samodzielnego rozwiązania):

Odpowiedź:

kN

V

kN

V

kN

H

kN

V

kN

V

kN

V

E

D

D

C

B

A

6

,

9

,

10

,

23

,

8

,

4

=

−

=

−

=

=

−

=

=