4
kN
2 kN/m
10 kN
A
B
D
C
G
2 kN
E
F
H
1 kNm
4
kN
4
kN
2 kN/m
A
B
D
C
G
2 kN
E
F
H
1 kNm
H
A
=6 kN
4
kN
10 kN
4
kN
2 kN/m
A
B
D
C
G
2 kN
E
F
H
1 kNm
4
kN
2 kN/m
A
B
D
C
G
2 kN
E
F
H
1 kNm
1
4
3
2
BELKI GERBEROWSKIE
Obliczanie reakcji podpór:
1.
metodą polegającą na zastąpieniu belki gerberowskiej belkami prostymi
2.
z zasady prac wirtualnych
Zadanie 1.
Oblicz reakcje podpór belki gerberowskiej statycznie wyznaczalnej dokonując rozkładu belki
gerberowskiej na belki proste
Reakcje podpór belki gerberowskiej moŜna wyliczyć z równań równowagi bez rozkładu belki
gerberowskiej na belki proste, jednak w przypadku większej liczby przegubów obliczenia takie są
bardzo pracochłonne. Przedstawiona metoda, polegająca na zastąpieniu belki gerberowskiej belkami
prostymi, znacznie upraszcza obliczenia.
Obliczenia wykonujemy w następujących krokach:
a)
obliczenie reakcji poziomej – rozpisujemy równanie równowagi
0
=
∑ x
dla całej belki
i wyliczamy reakcję poziomą (jest tylko jedna reakcja pozioma w przypadku statycznie
wyznaczalnej belki gerberowskiej, jeŜeli nie posiada ona podpór przesuwnych usytuowanych pod
kątem w stosunku do belki).
0
=
∑ x
0
]
[
10
]
[
4
=
+
−
−
kN
kN
H
A
]
[
6 kN
H
A
=
W dalszych obliczeniach nie uwzględniamy juŜ sił i reakcji poziomych:
b)
podział belki gerberowskiej na belki proste – dokonując rozcięcia w przegubach dzielimy belkę
gerberowską na belki proste (cztery belki proste)
4
kN
2 kN/m
A
B
D
C
E
F
1 kNm
1
3
2
G
2 kN
F
H
4
C
E
4
kN
2 kN/m
A
B
D
C
E
F
1 kNm
1
3
2
G
2 kN
F
H
4
C
E
R
1
R
2
R
3
R
1
R
3
R
2
Następnie analizujemy wszystkie wyodrębnione belki proste pod kątem geometrycznej niezmienności
(wykluczamy moŜliwość ruchu w kierunku poziomym).
Belki proste geometrycznie niezmienne rysujemy na samym dole – belka nr 1 i nr 4.
Pozostałe belki musimy odpowiednio rozłoŜyć nad belkami niezmiennymi, pamiętając o tym, Ŝe belki
moŜemy opierać tylko na belkach juŜ niezmiennych.
I tak:
Belki proste posiadające jeden punkt podparcia – w naszym zadaniu belka nr 2 - musimy podeprzeć
jeszcze w jednym punkcie – przegub C zastępujemy więc podporą przegubową i opieramy belkę 2 na
belce 1. W ten sposób równieŜ belka 2 staje się belką geometrycznie niezmienną.
Belki, które nie mają Ŝadnych punktów podparcia – w naszym zadaniu belka nr 3 – musimy podeprzeć
w dwóch punktach – przegub E i F zastępujemy podporami i opieramy belkę nr 3 na belce nr 2 i nr 4.
Schemat podparcia belek prostych wygląda następująco:
NaleŜy pamiętać o odpowiednim przyłoŜeniu obciąŜeń do belek prostych:
•
siła skupiona działająca w przegubie (siła 2 kN przyłoŜona w punkcie F) musi zostać
uwzględniona w punkcie F do belki górnej nr 3 lub belki dolnej nr 4
(obciąŜamy siłą 2 kN belkę dolną – nr 4)
•
ObciąŜenie ciągłe naleŜy odpowiednio rozłoŜyć na wszystkie belki proste na które to obciąŜenie
działa
c)
obliczenie reakcji belek prostych
Obliczenia reakcji zawsze zaczynamy od belek górnych i stopniowo schodzimy z obliczeniami w dół,
na końcu obliczając belki połoŜone na samym dole. Po wyliczeniu reakcji dodatkowo przyjętych
podpór (R
1
, R
2
, R
3
), naleŜy pamiętać o przekazaniu tych reakcji na belki dolne zawsze z przeciwnym
zwrotem, zgodnie z przedstawionym schematem:
I
II
III
IV
F
1 kNm
3
E
R
1
=1 kN
R
2
=1 kN
2 kN/m
D
E
2
C
R
3
=5 kN
R
1
=1 kN
V
D
=2 kN
4
kN
A
B
C
1
R
3
=5 kN
V
B
=11 kN
M
u
=2 kNm
2 kN/m
G
2 kN
F
H
4
R
2
=1kN
V
G
=6 kN
V
H
=3 kN
I
Belka nr 3:
1.
0
=
∑
E
M
0
]
[
1
]
[
1
2
=
−
⋅
kNm
m
R
]
[
1
2
kN
R
=
2.
0
=
∑Y
0
]
[
1
1
=
+
−
kN
R
]
[
1
1
kN
R
=
II
Belka nr 2:
1.
0
=
∑
D
M
0
]
[
5
]
[
3
]
[
4
]
/
[
2
]
[
1
]
[
1
3
=
⋅
−
⋅
⋅
+
⋅
m
R
m
m
m
kN
m
kN
]
[
5
3
kN
R
=
2.
0
=
∑Y
0
]
[
4
]
/
[
2
]
[
1
]
[
5
=
+
⋅
−
+
D
V
m
m
kN
kN
kN
]
[
2 kN
V
D
=
III
Belka nr 1:
1.
0
=
∑Y
-
0
]
[
5
]
[
1
]
/
[
2
]
[
4
=
+
−
⋅
−
B
V
kN
m
m
kN
kN
]
[
11 kN
V
B
=
2.
0
=
∑
B
M
0
]
[
1
]
[
5
]
[
5
,
0
]
[
1
]
/
[
2
]
[
1
]
[
4
=
⋅
−
⋅
⋅
−
⋅
+
m
kN
m
m
m
kN
m
kN
M
u
]
[
2 kNm
M
u
=
IV
Belka nr 4:
1.
0
=
∑
G
M
0
]
[
1
]
[
1
]
[
1
]
[
1
]
[
2
=
⋅
−
⋅
+
⋅
m
V
m
kN
m
kN
H
]
[
3 kN
V
H
=
2.
0
=
∑Y
0
]
[
3
]
[
1
]
[
2
=
+
−
−
−
G
V
kN
kN
kN
]
[
6 kN
V
G
=
4
kN
2 kN/m
A
B
D
C
E
F
1 kNm
1
3
2
G
2 kN
F
H
4
C
E
R
1
=1 kN
R
2
=1 kN
R
3
=5 kN
R
1
=1 kN
R
3
=5 kN
R
2
=1kN
V
D
=2 kN
V
B
=11 kN
M
u
=2 kNm
V
G
=6 kN
V
H
=3 kN
2 kN/m
4
kN
2 kN/m
10 kN
A
B
D
C
G
2 kN
E
F
H
1 kNm
4
kN
V
G
=6 kN
V
H
=3 kN
V
D
=2 kN
V
B
=11 kN
M
u
=2 kNm
H
A
=6
kN
J
Obliczone reakcje w belkach prostych:
d)
sprawdzenie reakcji
Sprawdzenie czy reakcje zostały dobrze wyliczone przeprowadzamy dla całej belki:
Spr:
0
]
[
3
]
[
6
]
[
2
]
[
2
]
[
5
]
/
[
2
]
[
11
]
[
4
=
−
+
−
+
⋅
−
+
−
=
∑
kN
kN
kN
kN
m
m
kN
kN
kN
Y
0
]
[
1
]
[
10
]
[
9
]
[
3
]
[
8
]
[
6
]
[
7
]
[
2
]
[
1
]
[
5
]
[
2
]
[
5
,
1
]
[
5
]
/
[
2
]
[
1
]
[
11
]
[
1
]
[
4
]
[
2
]
[
4
]
[
2
]
[
1
]
[
6
=
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
−
⋅
+
+
⋅
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
+
+
⋅
=
∑
m
kN
m
kN
m
kN
m
kN
kNm
m
kN
m
m
m
kN
m
kN
m
kN
m
kN
kNm
m
kN
M
J
4
kN
2 kN/m
10 kN
A
B
D
C
G
2 kN
E
F
H
1 kNm
4
kN
4
kN
10 kN
A
B
D
C
G
2 kN
E
F
H
4
kN
8
kN
2
kN
1
kN 1
kN
IV
III
II
I
A
B
D
C
G
E
F
H
V
B
5δ
5δ
5δ
5δ
3δ
δ
δ
O
I
→
IV
III
II
I
O
I
Ι
O
II
Ι
Zadanie 2.
Oblicz reakcje podpór belki gerberowskiej z zad. 1 korzystając z zasady prac wirtualnych
RozwaŜana belka gerberowska składa się z czterech tarcz połączonych przegubami (oznaczamy na
rysunku odpowiednio tarcze I, II, III, IV). Przed przystąpieniem do obliczeń obciąŜenia ciągłe naleŜy
zastąpić wypadkowymi, a moment skupiony parą sił:
1.
Obliczenie reakcji V
B
Usuwamy myślowo podporę przegubowo przesuwną w punkcie B i jej działanie zastępujemy reakcją
V
B
, którą naleŜy obliczyć. Po usunięciu podpory układ posiada jeden stopień swobody. Rysujemy plan
przesunięć wirtualnych dla takiego układu:
Ruch całej belki gerberowskiej w poziomie jest zablokowany poprzez podporę przyłoŜoną w punkcie
A. Dwie podpory przegubowo przesuwne, przyłoŜone do tarczy IV, zezwalałyby jedynie na ruch
w poziomie – jednak z uwagi na zablokowanie tego ruchu dla całej belki przesunięcie takie jest
niemoŜliwe. Wnioskujemy stąd, Ŝe cała tarcza IV jest nieruchoma.
Tarcza III moŜe obrócić się wokół punktu F (punkt F jest nieruchomy, co wynika z faktu, iŜ naleŜy on
do nieruchomej tarczy IV). Punkt F będzie więc środkiem chwilowego obrotu tarczy III – oznaczamy
go jako O
III
.
Zakładamy obrót tarczy III wokół punktu O
III
jako przeciwny do ruchu wskazówek zegara.
Zakładamy przesunięcie punktu E, naleŜącego do tarczy III, znajdującego się w odległości 1 [m] od
ś
rodka chwilowego obrotu O
III
jako
δ
1
.
Tarcza II obróci się wokół punktu D, który z uwagi na przyłoŜoną tam podporę i zablokowanie
przesuwu poziomego jest punktem nieruchomym. Obrót tarczy II wokół środka O
II
odbywa się
zgodnie z ruchem wskazówek zegara (wynika to z obrotu tarczy III).
Tarcza I dozna równoległego przesunięcia w pionie – jedynie na to zezwala podpora w punkcie A.
Wszystkie pozostałe przesunięcia wirtualne punktów belki zostały wyznaczone z proporcji.
A
B
D
C
G
E
F
H
V
B
5δ
5δ
3δ
δ
4
kN
10 kN
3 kN
4
kN
8
kN
2
kN
1
kN
5δ
0δ
0δ
0δ
A
B
D
C
G
E
F
H
V
D
2δ
6δ
4
kN
10 kN
3 kN
4
kN
8
kN
2
kN
1
kN
5δ
0δ
0δ
0δ
O
I
Ι
O
II
Ι
IV
III
II
I
0δ
0δ
A
B
D
C
G
E
F
H
V
G
δ
2δ
4
kN
10 kN
3 kN
4
kN
8
kN
2
kN
1
kN
0δ
0δ
O
II
Ι
IV
III
II
I
0δ
0δ
0δ
0δ
O
IV
Na planie przesunięć wirtualnych zaznaczamy wszystkie działające siły:
Z zasady prac wirtualnych obliczamy reakcję V
B
:
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
∀
=
⋅
−
+
⋅
+
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
+
⋅
−
0
0
]
[
10
0
]
[
3
1
]
[
1
3
]
[
8
5
]
[
2
5
0
]
[
4
5
]
[
4
kN
kN
kN
kN
kN
V
kN
kN
B
]
[
11 kN
V
B
=
2.
Obliczenie reakcji V
D
Plan przesunięć wirtualnych z działającymi siłami (tarcza I i tarcza IV – nieruchoma; tarcza II obraca
się wokół punktu C; tarcza III wokół punktu F):
Z zasady prac wirtualnych obliczamy reakcję V
D
:
δ
δ
δ
δ
∀
=
⋅
+
⋅
+
⋅
−
0
6
]
[
1
5
2
]
[
8
kN
V
kN
D
]
[
2 kN
V
D
=
3.
Obliczenie reakcji V
G
Plan przesunięć wirtualnych z działającymi siłami (tarcza I i tarcza II – nieruchoma; tarcza III obraca
się wokół punktu E; tarcza IV wokół punktu H):
Z zasady prac wirtualnych obliczamy reakcję V
G
:
δ
δ
δ
∀
=
⋅
+
⋅
−
0
2
]
[
3
G
V
kN
]
[
6 kN
V
G
=
A
B
D
C
G
E
F
H
V
H
δ
4
kN
10 kN
3 kN
4
kN
8
kN
2
kN
1
kN
0δ
0δ
O
II
Ι
IV
III
II
I
0δ
0δ
0δ
0δ
O
IV
δ
A
B
D
C
G
E
F
H
4
kN
10 kN
3 kN
4
kN
8
kN
2
kN
1
kN
0δ
0δ
O
II
Ι
IV
III
II
I
1δ
5δ
3δ
O
II
O
I
2.5δ
5δ
10δ
M
u
M
u
M
u
H
A
M
u
H
A
4.
Obliczenie reakcji V
H
Plan przesunięć wirtualnych z działającymi siłami (tarcza I i tarcza II – nieruchoma; tarcza III obraca
się wokół punktu E; tarcza IV wokół punktu G):
Z zasady prac wirtualnych obliczamy reakcję V
G
:
δ
δ
δ
∀
=
⋅
−
⋅
−
0
]
[
3
H
V
kN
]
[
3 kN
V
H
−
=
5.
Obliczenie reakcji M
u
Uwaga 1: Podporę w punkcie A – utwierdzenie z przesuwem – moŜna przedstawić jako układ dwóch
podpór – podpory przegubowo przesuwnej i podpory blokującej tylko obrót:
Pierwsza podpora ogranicza tylko przesunięcie w poziomie, więc z postulatu o więzach podporę taką
moŜna zastąpić reakcją H.
Druga podpora ogranicza tylko obrót, czyli z postulatu o więzach działanie tej podpory moŜna
zastąpić momentem skupionym – momentem utwierdzenia.
W przypadku obliczania momentu utwierdzenia z zasady prac wirtualnych, musimy pozbyć się
ograniczenia związanego z tą reakcją, czyli w punkcie A pozostanie nam tylko podpora przegubowo
przesuwna.
JeŜeli natomiast będziemy obliczali reakcję poziomą od utwierdzenia w punkcie A, musimy usunąć
myślowo podporę przegubowo przesuwną i w punkcie A pozostanie nam tylko ograniczenie obrotu.
Uwaga 2: Moment utwierdzenia M
u
musimy zastąpić parą sił, zgodnie z poniŜszym rysunkiem
(zakładamy wyjściowy zwrot momentu utwierdzenia jako przeciwny do ruchu wskazówek zegara).
Plan przesunięć wirtualnych z działającymi siłami (tarcza IV – nieruchoma; tarcza I obraca się wokół
punktu B; tarcza II wokół punktu D, tarcza III obraca się wokół punktu F):
A
B
D
C
G
E
F
H
4
kN
10 kN
3 kN
4
kN
8
kN
2
kN
1
kN
1δ
IV
III
II
I
1δ
1δ
1δ
1δ
H
A
2kN/m
6 2 kN
2 kNm
A
B
C
P
3
D
P
2
E
P
1
2kN
4 kN
6kNm
Z zasady prac wirtualnych obliczamy reakcję M
U
:
δ
δ
δ
δ
δ
δ
δ
∀
=
⋅
−
⋅
−
⋅
−
⋅
+
⋅
−
⋅
0
1
]
[
1
3
]
[
8
5
,
2
]
[
2
5
]
[
4
5
10
kN
kN
kN
kN
M
M
U
U
]
[
2 kNm
M
u
=
6.
Obliczenie reakcji H
A
Plan przesunięć wirtualnych z działającymi siłami (cała belka dozna tylko przesunięcia w poziomie):
Z zasady prac wirtualnych obliczamy reakcję H
A
:
δ
δ
δ
δ
∀
=
⋅
−
⋅
+
⋅
−
0
1
]
[
10
1
]
[
4
1
kN
kN
H
A
]
[
6 kN
H
A
−
=
Zadanie 3.
Oblicz reakcje podpór belki gerberowskiej statycznie wyznaczalnej dokonując rozkładu belki
gerberowskiej na belki proste, a następnie te same reakcje wyznacz korzystając z zasady prac
wirtualnych (zadanie do samodzielnego rozwiązania):
Odpowiedź:
kN
V
kN
V
kN
H
kN
V
kN
V
kN
V
E
D
D
C
B
A
6
,
9
,
10
,
23
,
8
,
4
=
−
=
−
=
=
−
=
=