Płaskie zginanie belek

Podpory przegubowo

– przesuwne oraz podpory przegubowe

( nieprzesuwne ) mostu na rzece Warcie w Konopnicy

Podpory przegubowo

–

przesuwne

Podpory przegubowe

–

nieprzesuwne

R

BY

R

A

P=ql

x

2 l

q [kN/m ]

l/2

R

BX

y

x

1

x

2

P

Q

P

Q

M

M

u

M

P

Q

R

y

R

x

Siły wewnętrzne w belkach zginanych

dx

x

x

T

x

+dT

x

T

x

M

g

R

1

M

g

+dM

g

R

2

P

i

x

T

x

T

x

M

g

M

g

R

1

T

x

= R

M

g

= R x

R

2

1

2

dx

x

dx

T

x

+dT

x

T

x

M

gx

R

1

M

g

+dM

gx

R

2

P

1

T

x

P

2

x

R

1

a)

T

x

T

x

0 (+)

T

x

dodatnia siła tnąca

M

gx

M

gx

M

gx

0 (+)

dodatni moment gnący

b)

dx

dx

Konwencja (umowa) dotycząca znaku siły tnącej i momentu gnącego

Definicja siły tnącej – siła tnąca T w dowolnym przekroju równa się sumie wartości sił
składowych obciążeń i reakcji w kierunku poprzecznym do osi belki, działających na część
belki oddzieloną tym przekrojem.

Definicja momentu gnącego – moment gnący M

gx

w dowolnym przekroju równy jest sumie

momentów względem środka tego przekroju wszystkich sił działających na część belki oddzieloną
Tym przekrojem.

dx

x

x

T

x

+dT

x

T

x

M

g

R

1

M

g

+dM

g

R

2

q = q(x)

dx

T

x

M

g

q dx

dx/2

R

1

0

dx

q

)

dT

T

(

T

F

X

x

x

iy

q

dx

dT

X

0

)

dM

M

(

2

dx

dx

q

M

dx

T

M

gx

gx

gx

X

i

Zależność pomiędzy siłą tnącą a momentem gnącym

X

gx

T

dx

dM

R

BY

R

A

P=ql

x

2 l

q [kN/m ]

l/2

R

BX

y

x

1

x

2

M

gx

2

R

A

P=ql

x

x

2

- l/2

q (x

2

-l/2)

l/2

T

X2

y

x

2

P=ql

y

M

gx1

T

X1

x

1

;

ql

4

3

R

;

ql

4

9

R

B

A

;

2

/

ql

)

2

/

l

(

M

;

0

)

0

(

M

;

qlx

M

;

ql

T

2

/

l

x

0

2

g

g

1

gx

x

1

1

1

;

0

)

2

/

l

5

(

M

;

2

/

ql

)

2

/

l

(

M

;

2

/

)

2

/

l

x

(

q

)

2

/

l

x

(

R

qlx

M

4

/

ql

3

)

2

/

l

5

(

T

;

4

/

ql

5

)

2

/

l

(

T

);

2

/

l

x

(

q

R

ql

T

2

/

l

5

x

2

/

l

g

2

g

2

2

2

A

2

gx

2

A

x

2

1

2

R

BY

R

A

P=ql

x

2 l

q [“a” kN/m ]

l/2

R

BX

y

P

R

A

R

BY

T

x

M

gx

-Pl

M

gmaz

7l /4

2

max

g

ql

32

9

M

Naprężenia przy czystym zginaniu

M

g

M

g

T=0
M

g

=const.

Założenia:
-

Przekroje poprzeczne pozostają płaskie,

-

Warstwy nie oddziałują na siebie wzajemnie,

-

Warstwy poddane są jedynie rozciąganiu bądź ściskaniu.

x

z

y

y

M

g

-

promień krzywizny warstwy obojętnej

)

y

(

E

)

y

(

;

y

)

y

(

)

y

(

Wydłużenie warstwy odległej o y od warstwy obojętnej

;

y

E

)

y

(

z

y

y

y

x

dy

dA

M

g

x

= E

b

h/2

A

A

x

ix

0

ydA

1

0

dA

F

Warstwa obojętna zawiera środek

ciężkości

przekroju poprzecznego (Oz=Oz

c

)

Warunki równowagi

A

g

2

A

g

x

iz

M

dA

y

E

;

0

M

dA

y

M

A

A

x

iy

;

0

ydA

z

E

;

0

dA

z

M

E=const., =const.

;

I

ydA

z

;

I

dA

y

A

z

y

A

z

2

C

C

C

Moment bezwładności względem osi z

c

Moment bezwładności względem
układu osi y

c

z

c

Wprowadzając oznaczenia

Mamy:

;

0

I

E

;

M

I

E

C

C

C

z

y

g

z

;

0

I

C

C

z

y

;

y

E

)

y

(

;

y

I

M

)

y

(

C

z

g

z

g

max

z

g

max

W

M

y

J

M

C

max

y

J

W

zc

z

2

2

2

/

3

2

2

2

dx

w

d

dx

dw

1

dx

w

d

1

z

g

J

M

E

z

g

2

2

EJ

M

dx

w

d

w

– przemieszczenie warstwy odległej o y od warstwy obojętnej

Równanie różniczkowe linii
ugięcia