4. Statystyka opisowa – miary średnie (wzory)

1

Średnie – przypomnienie

Średnia arytmetyczna liczb x

1

, . . . , x

n

¯

x =

1

n

n

X

i=1

x

i

.

Średnia arytmetyczna ważona liczb x

1

, . . . , x

n

z wagami a

1

, . . . , a

n

, gdzie a

i

> 0 dla każdego

i = 1, . . . , n oraz

n

P

i=1

a

i

= 1

¯

x =

n

X

i=1

a

i

x

i

.

Średnia geometryczna liczb dodatnich x

1

, . . . , x

n

¯

g =

n

√

x

1

· · · x

n

.

Średnia harmoniczna liczb x

1

, . . . , x

n

różnych od zera

¯

h =

n

n

P

i=1

1

x

i

.

2

Miary klasyczne

Średnia arytmetyczna ¯

x dla danych niezgrupowanych

¯

x =

1

n

n

X

i=1

x

i

.

Średnia arytmetyczna ¯

x dla danych zgrupowanych (średnia ważona)

¯

x =

1

n

k

X

i=1

s

i

n

i

=

k

X

i=1

s

i

p

i

,

gdzie:

k – ilość klas,
s

i

, i = 1, . . . , n – środki klas,

n

i

, i = 1, . . . , n – liczebności klas,

p

i

, i = 1, . . . , n – częstości względne.

1

3

Miary pozycyjne

Mediana (wartość środkowa) m

e

dla danych niezgrupowanych

m

e

=











x

(

n+1

2

)

,

n – nieparzyste,

x

( n

2

)

+x

( n

2

+1)

2

,

n – parzyste.

Mediana (wartość środkowa) m

e

dla danych zgrupowanych

m

e

= a

l

+

b

n

m

n

2

−

m−1

X

i=1

n

i

!

,

gdzie:

a

l

– lewy koniec klasy zawierającej medianę,

b – szerokość klasy,
m – numer klasy zawierającej medianę,
n

m

– liczność klasy zawierającej medianę,

n

i

– liczność i-tej klasy.

Moda (dominanta) m

o

dla danych niezgrupowanych – wartość, która pojawia się najczęściej.

Moda (dominanta) m

o

dla danych zgrupowanych

m

o

=

(

środek klasy modalnej,

gdy liczności klas sąsiednich są równe,

a

l

+

n

m

−n

m−1

(n

m

−n

m−1

)+(n

m

−n

m+1

)

b,

gdy liczności klas sąsiednich są różne,

gdzie:

a

l

– lewy koniec klasy modalnej,

n

m

– liczność klasy modalnej,

n

m−1

, n

m+1

– liczności klas sąsiednich,

b – szerokość klasy.

4

Porównanie miar średnich klasycznych i pozycyjnych

Dla rozkładów umiarkowanie asymetrycznych zachodzi wzór Pearsona

¯

x − m

o

= 3(¯

x − m

e

).

2