STATYSTYKA OPISOWA

ĆWICZENIA 2

Metody opisu.

Miary przeciętne

Opis tabelaryczny

Metoda opisu statystycznego polegająca na

ujęciu zgromadzonego materiału

statystycznego w postaci szeregu

statystycznego (gdy opis dotyczy jednej

cechy) bądź w postaci tablicy statystycznej

(gdy opis dotyczy większej liczby cech.

Tablice statystyczne można klasyfikować na:
• proste zwane szeregami uwzględniające

jedną cechę
• złożone – uwzględniające kilka cech.
Inny podział wyróżnia tablice:
• robocze,
• wynikowe

Opis tabelaryczny

Wśród szeregów statystycznych można
dodatkowo wyróżnić:
• szeregi szczegółowe (nieuporządkowane i

uporządkowane)

• szeregi rozdzielcze

- punktowe
- przedziałowe

Mogą mieć one postać szeregów liczebności bądź
częstości (prostej lub skumulowanej).
Uwzględniając cel wykorzystania szeregu można wyróżnić:
• szeregi strukturalne,
• szeregi czasowe (dynamiczne
• szeregi przestrzenne

TYPY SZEREGÓW STATYSTYCZNYCH

1) Liczba wyjazdów służbowych za granicę
pracowników firmy „Z”:
  0, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 5,

2) Ocena jakości pewnego produktu (w punktach):

Ocena

jakości

n

i

f

i

f

i

%

3,5

4

4,5

5

4

18
22
20

0,06
0,28
0,35
0,31

6

28
35
31

Razem

64

1,0

100

3) Wiek pracowników firmy „A”

Wiek

n

i

f

i

f

i

%

20-25
25-30
30-35
35-40
40-45

4
9
20
8
5

0,09
0,20
0,43
0,17
0,11

9
20
43
17
11

Razem

46

1,0

100

5) Wiek pracowników firmy „B”

Wiek

n

i

f

i

f

i

%

mniej niż
25
25-30
30-35
35-40
40 i więcej

4
9
20
8
5

0,09
0,20
0,43
0,17
0,11

9
20
43
17
11

Razem

46

1,0

100

Tablice i szeregi statystyczne -

szereg z przedziałami klasowymi

Tworząc szereg z przedziałami

klasowymi należy rozstrzygnąć

następujące kwestie:

1.ile klas winno być utworzonych?

2.jaka winna być ich wielkość

(rozpiętość)?

3.jak winny być ustalone

(zamknięte) granice przedziałów?

Ad.1.Liczba klas zależy od
liczebności opisywanej zbiorowości i
liczby wariantów cechy

Ad. 2 Wielkość (rozpiętość) klas zależy

od obszaru zmienności badanej cechy

oraz liczby klas. Łączna rozpiętość

wszystkich klas – w przypadku cechy

ciągłej – musi przekraczać obszar

zmienności tej cechy.
Ad. 3. W przypadku cechy ciągłej każda

z klas musi być jednostronnie

domknięta („od dołu bądź z góry”)

Budowa tablicy

statystycznej

Właściwie skonstruowana tablica winna składać się z tytułu,

makiety tablicy oraz źródła danych.

• Tytuł tablicy winien precyzyjnie określać badaną zbiorowość

pod względem rzeczowym, czasowym i przestrzennym oraz

zawierać ujęte w tablicy cechy statystyczne;

• Makieta tablicy (zwana również tablicą właściwą) składa się z

wierszy i kolumn oraz ich tytułów (tytuły wierszy określa się

„boczkiem” tablicy, zaś tytuły kolumn „główką” tablicy).

Wnętrze tablicy, czyli „pola” znajdujące się na skrzyżowaniach

poszczególnych wierszy i kolumn są wypełniane

zgromadzonym materiałem statystycznym. Należy tu

zaznaczyć, iż każde pole tablicy musi być bezwzględnie

wypełnione. Jeśli z różnych względów nie ma możliwości

wypełnienia pola tablicy danymi liczbowymi wówczas

wykorzystywane są odpowiednie znaki umowne.

• Źródło danych wskazuje miejsce pochodzenia danych

zawartych w tablicy (np. rocznik statystyczny, wyniki spisu,

badania własne, sprawozdawczość firmy bądź instytucji0.

Znaki umowne stosowane w tablicach

statystycznych

„ – „ (kreska) -

oznacza, że zjawisko nie występuje,

„ . „ (kropka) - oznacza zupełny brak informacji lub brak informacji
wiarygodnych,
„0” (zero) - oznacza, że zjawisko występuje w niewielkich

ilościach

(mniej niż 50% przyjętej jednostki miary),
„×” (ukośny krzyżyk) - oznacza, że wypełnienie danego pola ze
względu na układ tablicy jest niemożliwe bądź

niecelowe,

„Δ” (pusty trójkąt) - oznacza, że nazwy zostały skrócone w

stosunku do

obowiązującej klasyfikacji,
„▲” (pełny trójkąt) - oznacza, że dane nie mogą być opublikowane

ze względu na konieczność zachowania tajemnicy statystycznej,

„w tym” - oznacza, że nie podaje się wszystkich składników sumy

.

Opis graficzny

Metoda opisu polegająca na graficznej prezentacji
materiału statystycznego w postaci wykresów.
Obejmuje ona następujące typy wykresów:
- powierzchniowe (np. kołowe, wykresy słupkowe),
- bryłowe,
- liniowe (np. diagramy)
- punktowe,
- obrazkowe,
- mapowe
- kombinowane

Wykres liniowy

Wykres bryłowy

Wykres punktowy

Wykres mapowy

Wykres obrazkowy

Wykres słupkowy

(histogram)

Wykres kołowy

Opis parametryczny

Opis parametryczny stanowi jeden z
najczęściej wykorzystywanych sposobów
opisu rozkładu cechy statystycznej
głównie z uwagi na jego syntetyczną i
skróconą postać. Ta forma opisu
wykorzystuje parametry statystyczne,
tj. charakterystyki liczbowe opisujące
określone właściwości rozkładu wartości
badanej cechy w szeregu statystycznym
oraz momenty statystyczne .

Momenty statystyczne

Momenty statystyczne są często wykorzystywanymi

charakterystykami rozkładów cechy statystycznej.
Wśród nich wyróżnia się dwie podstawowe grupy:

•

momenty zwykłe, które są średnimi odchyleń
wartości cechy od punktu zerowego podniesionych
do potęgi k; ich ogólną postać można wyrazić
wzorem:

•

momenty centralne, które są średnimi odchyleń
poszczególnych wartości cechy od ich średniej
arytmetycznej podniesionych do potęgi k; ich
ogólną postać wyraża wzór:





N

n

x

N

n

x

x

M

l

i

i

k

i

l

i

i

k

i

k















1

1

*

*

0

)

(

 





N

n

x

x

x

m

l

i

i

k

i

k









1

*

PARAMETRY STATYSTYCZNE

• Parametry przeciętne
(średnie)

• Parametry zmienności
(rozproszenia)

• Parametry skośności
(asymetrii)
• Parametry
koncentracji

PARAMETRY (MIARY)

ŚREDNIE (PRZECIĘTNE)

służą do analizy przeciętnego

(średniego) poziomu wartości cechy

Podział miar średnich:

klasyczne

pozycyjne

Parametry średnie

Klasyczne miary przeciętne –

średnia

arytmety-

czna

, średnia geometryczna, średnia

harmoniczna,

średnie potęgowe,

Pozycyjne miary przeciętne - mediana,

dominanta

kwartyle, centyle

ŚREDNIA ARYTMETYCZNA

- określa przeciętny poziom wartości
cechy przypadający na jednostkę
zbiorowości.
tzn.

rozkłada

globalny

fundusz

wartości cechy równomiernie między
wszystkie jednostki.
 
Średnia arytmetyczna to często
wielkość abstrakcyjna.
 

Średnia arytmetyczna – sposoby obliczania:

- szereg szczegółowy i surowy materiał
statystyczny

N

x

x

N

i

i







1

- szereg rozdzielczy punktowy

N

n

x

x

k

i

i

i







1

- szereg rozdzielczy przedziałowy

N

n

x

x

k

i

i

i

o







1

i

o

x

- środek przedziału

Własności średniej arytmetycznej

• jako parametr klasyczny ustalana jest na

podstawie wszystkich wartości cechy, a
więc

posiada wysoką wartość poznawczą

(w odróżnieniu np. od parametrów
pozycyjnych),

• suma ważona odchyleń poszczególnych

wartości cechy od ich średniej
arytmetycznej wynosi zawsze zero, co
wynika z faktu, że średnia ta pełni rolę
„środka ciężkości” analizowanego zbioru
wartości cechy. Własność tę można zapisać
relacją:

Własności średniej

arytmetycznej

• ważona suma kwadratów odchyleń poszczególnych

wartości cechy od ich średniej arytmetycznej jest
najmniejsza z możliwych, co można zapisać
następującą zależnością:

• jeśli w szeregu rozdzielczym wszystkie wagi - w

szczególnym przypadku będą to liczebności bądź
częstości - pomnożymy (bądź podzielimy) przez ten
sam czynnik q, to średnia arytmetyczna wartości
cechy z nowym systemem wag będzie identyczna
jak średnia liczona według pierwotnych wag .













min

*

*

2

1

1

2

2

1

























i

k

i

i

k

i

i

i

N

i

i

n

x

x

n

x

x

x

x



Własności średniej arytmetycznej

• jeśli wszystkie wartości cechy X podzielimy (bądź

pomnożymy) przez tę samą wielkość q to średnia
arytmetyczna tak zmienionych wartości cechy
będzie q-krotnie mniejsza (lub q-krotnie większa) od
średniej pierwotnych wartości cechy.

• jeśli do wszystkich wartości cechy X dodamy (bądź

od wszystkich wartości odejmiemy) tę samą
wielkość q to średnia arytmetyczna tak zmienionych
wartości cechy będzie o wielkość q większa (lub o
wielkość q mniejsza) od średniej liczonej dla
pierwotnych wartości cechy.

• jeśli badaną zbiorowość podzielimy na kilka

podzbiorowości to średnia arytmetyczna dla całej
zbiorowości będzie średnią arytmetyczną ze
średnich tych podzbiorowości.

Średniej arytmetycznej nie

oblicza się gdy:

•

w szeregu występują wartości nietypowe,

•

gdy przedziały skrajne są otwarte i nie

można ich domknąć sztucznie,

•

kiedy przedział skrajny ma maksymalną

liczebność (rozkład jest skrajnie
asymetryczny) – zaleca się wówczas
stosowanie miar pozycyjnych.

Dominanta

• Dominanta, oznaczana jako D(x),

zwana również wartością modalną
bądź typową; jest wartością cechy
występującą najczęściej (najliczniej)
w badanej zbiorowości.

Dominanta w szeregu

rozdzielczym przedziałowym

– dolna granica przedziału dominującego,
– rozpiętość przedziału dominującego,
– liczebność (częstość) przedziału dominującego,
– liczebność (częstość) przedziału poprzedzającego
przedział dominujący,
– liczebność (częstość) przedziału następnego po
przedziale dominującym.

0

x

0

h

0

n

1

0

n

1

0

n

Dominanty nie oblicza się,

gdy:

•

w szeregu występuje więcej niż jedno

maksimum,

•

przedziały mają różną rozpiętość,

•

dominanta znajduje się w przedziale

skrajnym, a ten przedział jest otwarty i nie
można go domknąć sztucznie

.

MEDIANA

(KWARTYL

DRUGI,

WARTOŚĆ

ŚRODKOWA)

KWARTYLE – wartości cechy, które dzielą
zbiorowość na cztery równe liczebnościowo
części

Me

Q

2

Q

1

Q

3

MEDIANA - wartość cechy, która dzieli
zbiorowość na dwie równe liczebnościowo części.
Połowa jednostek ma wartości cechy nie większe
od mediany (mniejsze lub równe medianie), a
druga połowa jednostek ma wartości cechy nie
mniejsze od mediany (równe lub większe).

Q

2

nie można obliczyć, jeśli

znajduje się w

skrajnym przedziale, a przedział ten jest otwarty i
nie można go domknąć sztucznie.

Me

Q

2

Q

1

Q

3

Mediana – obliczanie

-szereg szczegółowy i rozdzielczy
punktowy
dla N – nieparzysta

2

1

)

(





N

x

x

Me

medianą jest wartość środkowej jednostki

dla N – parzysta

2

)

(

1

2

2







N

N

x

x

x

Me

medianą jest średnia arytmetyczna z wartości
dwóch środkowych jednostek

-

szereg rozdzielczy przedziałowy

o

o

n

o

h

n

cum

N

x

x

Me

o









 1

2

)

(

o

x

o

n

1



o

n

cum

o

h

- dolna granica przedziału mediany

- skumulowana liczebność przedziału
poprzedniego

- liczebność przedziału mediany

- rozpiętość przedziału mediany

KWARTYL PIERWSZY -

wartość cechy

która dzieli zbiorowość na dwie części. 25%
jednostek ma wartości cechy nie większe od
Q

1

, a 75% jednostek ma wartości cechy nie

mniejsze od Q

1

.

Q

1

nie można obliczyć, jeśli

znajduje się w

skrajnym przedziale, a przedział ten jest otwarty i
nie można go domknąć sztucznie.

Q

1

25%

75%

o

x

o

n

1



o

n

cum

o

h

- dolna granica przedziału kwartyla
pierwszego

- skumulowana liczebność przedziału
poprzedniego

- liczebność przedziału kwartyla
pierwszego

- rozpiętość przedziału kwartyla
pierwszego

Kwartyl pierwszy – obliczenia

- szereg rozdzielczy przedziałowy

o

o

n

o

h

n

cum

N

x

x

Q

o









 1

4

)

(

1

KWARTYL TRZECI -

wartość cechy która

dzieli zbiorowość na dwie części. 75%
jednostek ma wartości cechy nie większe od
Q

3

, a 25% jednostek ma wartości cechy nie

mniejsze od Q

3

.

Q

3

nie można obliczyć, jeśli

znajduje się w

skrajnym przedziale, a przedział ten jest otwarty i
nie można go domknąć sztucznie.

Q

3

75%

25%

o

x

o

n

1



o

n

cum

o

h

- dolna granica przedziału kwartyla
trzeciego

- skumulowana liczebność przedziału
poprzedniego

- liczebność przedziału kwartyla trzeciego

- rozpiętość przedziału kwartyla trzeciego

Kwartyl trzeci – obliczenia

- szereg rozdzielczy przedziałowy

o

o

n

o

h

n

cum

N

x

x

Q

o









 1

4

3

)

(

3