MiTE Zadania seria 2 wersja 03

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09

 

Strona 1 

MITE Zadania domowe i testowe seria 2

Zadanie 1

Czy twierdzenie Moivre’a - Laplace’a jest szczególnym przypadkiem twierdzenia
Lindeberga-Fellera ?. Uzasadnij szczegółowo.

Rozwiązanie:

Omawiano na wykładzie. Zobacz tekst wykładu.

Zadanie 2

Ogniwa krótkie pewnego łańcucha rolkowego mają wymiar

05

.

0

04

.

0

05

.

20

+

=

k

, ogniwa o średniej

długości mają wymiar

03

.

0

03

.

0

05

.

25

+

=

s

a ogniwa długie wymiar

03

.

0

03

.

0

05

.

27

+

=

d

. Montujemy łańcuch z

20 ogniw krótkich, 25 ogniw średnich i 25 długich.
Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy długość całego łańcucha

1

.

0

1

.

0

1703.6

+

=

L

mm

(przewidzianą normą).
Wskazówka: Oszacować nieznane parametry rozkładów wymiarów poszczególnych ogniw na
podstawie znajomości pola tolerancji korzystając z prawa

σ

3

a następnie wykorzystać CTG

LF (centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Fellera).

Rozwiązanie:


Wartości średnie i odchylenia standardowe (w mm):

055

.

20

2

04

.

0

05

.

20

05

.

0

05

.

20

1

=

+

+

=

μ

,

015

.

0

6

04

.

0

05

.

0

1

=

+

=

σ

05

.

25

2

03

.

0

05

.

25

03

.

0

05

.

25

2

=

+

+

=

μ

,

01

.

0

6

03

.

0

03

.

0

2

=

+

=

σ

05

.

27

2

03

.

0

05

.

27

03

.

0

05

.

27

3

=

+

+

=

μ

,

01

.

0

6

03

.

0

03

.

0

3

=

+

=

σ

Wartości do standaryzacji zmiennej:

6

.

1703

05

.

27

25

05

.

25

25

055

.

20

20

=

+

+

=

μ

,

0975

.

0

01

.

0

25

01

.

0

25

015

.

0

20

2

2

2

=

+

+

=

σ

oraz

=

<

<

=

<

<

)

0975

.

0

6

.

1703

7

.

1703

0975

.

0

6

.

1703

5

.

1703

(

)

7

.

1703

5

.

1703

(

i

i

X

P

X

P

70

.

0

1

848

.

0

2

1

)

03

.

1

(

2

)

03

.

1

03

.

1

(

=

=

Φ

=

<

<

=

Y

P

Dokonano odczytu z tablic rozkładu normalnego.

Uwaga: Sprawdzić powyższe obliczenia !.

Zadanie 3 (podobne do tego wykładu)

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09

 

Strona 2 

Lina spleciona jest z 20 drutów grubych i 70 cienkich. Wytrzymałość drutu grubego ma
rozkład równomierny w przedziale <3.2,4.8> kN. Wytrzymałość drutu cienkiego ma rozkład
równomierny w przedziale <0.8,1.2>. Przyjmując, że wszystkie te zmienne losowe są
niezależne, i że wytrzymałość liny jest sumą wytrzymałości wszystkich drutów, znaleźć
prawdopodobieństwo, że wytrzymałość liny Q jest większa od 145 kN i mniejsza niż 153 kN.

Uwaga: Wartość średnią oraz wariancję dla rozkładu równomiernego na przedziale <a,b>
oblicza się odpowiednio ze wzorów:

2

b

a

+

=

μ

,

12

)

(

2

2

a

b

=

σ

Zadanie 4

Przestudiuj zadanie numer 2.19, str. 58 ze skryptu Jana Oderfelda (zobacz piśmiennictwo w
wykładzie 1)

Zadanie 5

Odczytać wartość kwantyla rzędu 0.90 z tablic rozkładu Studenta dla liczby stopni swobody
r=100 i wartość tego kwantyla z tablic rozkładu N(0.1). Obliczyć względną różnicę
procentową.

Wskazówka: Z tablic rozkładu Studenta odczytuje się wartości krytyczne. Jakiego rzędu
kwantylem jest wartość krytyczna ?

Zadanie 6

Błąd zaokrąglenia przy dodawaniu na kalkulatorze ma rozkład jednostajny w przedziale

8

8

10

,

10

. Oszacować prawdopodobieństwo, że przy dodawaniu 1001 liczb błąd

bezwzględny nie przekroczy

7

10

.


Wskazówka: Wykorzystać CTG LL
Rozwiązanie:

Dodając 1001 liczb wykonamy 1000 działań dodawania. Niech

i

X

oznacza błąd (zmienna losowa) przy

wykonywaniu i-tego dodawania. Zmienna ta rozkład jednostajny więc:

0

2

10

10

)

(

E

8

8

=

+

=

=

i

X

μ

,

0

3

10

2

))

10

(

10

(

)

(

D

2

16

2

8

8

2

>

=

=

=

σ

i

X

Błąd całościowy to

=

=

1000

1

1000

i

i

X

S

. Chcemy oszacować

)

10

(

7

1000

S

P

. Z CTG LL otrzymujemy przybliżenie:

418

.

0

1

7088

.

0

2

1

)

55

.

0

(

2

1

)

3

.

0

(

2

3

/

10

0

10

1000

1000

(

)

10

(

13

7

1000

7

1000

=

=

Φ

Φ

=

σ

μ

S

P

S

P

Wykorzystaliśmy tablice rozkładu normalnego.

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09

 

Strona 3 

Zadanie 7

Należy oszacować czas bezawaryjnej pracy wyprodukowanej partii dysków twardych.
Wiadomo, że czas pracy ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym

σ, które nie jest

znane

. Wylosowana niezależnie z tej partii próba n = 11 dysków dała wyniki pomiarów czasu

ich bezawaryjnej pracy (w tys. godzin): 2630, 2820, 2900, 2810, 2770, 2840, 2700, 2950,
2690, 2720, 2800. Przyjmując poziom ufności 1-

α = 0.98 oszacować metodą przedziałową

średni czas bezawaryjnej pracy tej partii oraz szerokość przedziału ufności.
Uwaga: Proszę przed obliczeniami koniecznie napisać wzór ogólny.

Rozwiązanie:

Średnia z 11 realizacji (jednostki pomijam):

55

.

2784

11

11

1

=

=

=

i

i

x

x

,

Estymator

59

.

90

)

(

11

1

2

=

=

=

n

x

x

s

i

i

oraz

65

.

28

10

/

59

.

90

1

=

=

n

s

Odczyt z tablic studenta t(0.02,10)=2.76 czyli

05

.

79

65

.

28

76

.

2

1

=

=

n

s

t

Czyli przedział ufności:

60

,

2863

;

50

,

2705

05

,

79

55

,

2784

;

05

,

79

55

,

2784

=

+

Szerokość przedziału

10

,

158

05

,

79

2

=

=

L

Zadanie 8


Za pomocą metody największej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru p rozkładu
populacji ogólnej o rozkładzie dwumianowym:

m

x

p

p

x

m

p

x

P

x

m

x

,...,

2

,

1

,

)

1

(

)

,

(

=

⎟⎟

⎜⎜

=


Wyznaczyć, na podstawie n niezależnych pomiarów x

1

,x

2

,...,x

n

, estymator największej

wiarygodności dla p.

Rozwiązanie:

Było na wykładzie. W domu należy sprawdzić, że znalezione rozwiązanie przynosi maksimum funkcji
wiarygodności.

Zadanie 9


Czas pracy elementu jest zmienną losową X o gęstości

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09

 

Strona 4 

>

=

0

,

0

0

),

(

)

(

1

x

gdy

x

gdy

x

exp

x

x

f

a

β

αβ

α

gdzie

α

jest znanym dodatnim parametrem,

β

zaś jest nieznaną dodatnią stałą (jest to gęstość

rozkładu Weibulla). Wyznaczyć, na podstawie niezależnych pomiarów x

1

,x

2

,...,x

n

czasu pracy

elementu, estymator największej wiarygodności dla

β

.

Zadanie 10


Na podstawie n-elementowej próby prostej pobranej z populacji, w której badana cecha X ma
rozkład Poissona:

⎪⎩

>

=

=

=

poza

c

i

e

i

c

i

X

P

c

i

0

0

,...

2

,

1

,

0

!

)

(


należy:

1. Skonstruować estymator parametru c metodą analogii.
2. Skonstruować estymator parametru c metodą największej wiarygodności
3. Wykazać, że estymator według punktu 2 jest nieobciążony.

Zadanie 11

Zmienna losowa określająca populację ma rozkład określony funkcją gęstości

)

0

(

>

λ

:

>

=

poza

x

dla

xe

c

x

f

x

0

0

)

(

2

λ

λ

Należy:
1. Wyznaczyć stałą c.
2. Napisać funkcję dystrybuanty.
3. Wyznaczyć estymator parametru

λ metodą największej wiarygodności.

Zadanie 12

Należy oszacować żywotność (w godzinach świecenia) wyprodukowanej partii świetlówek.
Wiadomo, że czas świecenia świetlówek ma rozkład normalny z odchyleniem standardowym
σ. Wylosowana niezależnie z tej partii próba n = 11 świetlówek dała wyniki pomiarów czasu
ich świecenia (w godzinach): 2630, 2820, 2900, 2810, 2770, 2840, 2700, 2950, 2690, 2720,
2800. Przyjmując poziom ufności 1-

α = 0.98 oszacować metodą przedziałową średni czas

świecenia świetlówek tej partii oraz szerokość przedziału ufności.
Rozważyć trzy przypadki:

a) Odchylenie standardowe jest znane i wynosi

σ=100 godzin.

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09

 

Strona 5 

b) Odchylenie standardowe nie jest znane.

c) Jak zmieniłyby się brzegi przedziału ufności w przypadku 2 gdyby oszacowanie

pierwiastka z wariancji było równe wartości odchylenia z przypadku 1 (tzn.
s=

σ=100) ? Przeliczyć.


Uwaga: W zadaniu proszę przed obliczeniami napisać wzór ogólny.

Rozwiązanie:

a)
Średnia z 11 realizacji (jednostki pomijam):

5

.

2784

11

11

1

=

=

=

i

i

x

x

Jeśli odchylenie standardowe jest znane to:

131

.

70

11

100

326

.

2

99

.

0

=

=

n

x

σ

gdzie

99

.

0

x

jest kwantylem rzędu

2

1

α

rozkładu normalnego tzn. kwantylem rzędu 0.99, który odczytujemy z

tablic i

326

.

2

99

.

0

=

x

w takim razie przedział ufności wynosi: <2784.5-70.131;2784.5+70.131>=<2714.4 ; 2854.7>
Szerokość przedziału ufności wynosi 140.3

b)

Estymator

59

.

90

)

(

11

1

2

=

=

=

n

x

x

s

i

i

Jeśli odchylenie standardowe nie jest znane to:

181

.

79

1

11

59

.

90

764

.

2

)

10

,

02

.

0

(

=

=

r

s

t

gdzie

)

10

,

02

.

0

(

t

jest wartościa krytyczną (kwantylem rzędu

2

1

α

) rozkładu Studenta, którą odczytujemy z

tablic i

764

.

2

)

10

,

02

.

0

(

=

t

w takim razie przedział ufności wynosi: <2784.5-79.181;2784.5+79.181>=<2705.4 ; 2863.7>
Szerokość przedziału ufności wynosi 158.36

c) Powtarzamy obliczenia z punktu b ale zamiast s wstawiamy wartość 100.
Otrzymujemy przedział ufności <2697.1 ; 2871.9> i szerokość przedziału
równą 174.81 a zatem znacznie więcej niż w punkcie a).

Zadanie 13


Zmienna losowa określająca populację ma rozkład Rayleigha określony funkcją

gęstości

)

0

(

>

λ

:

>

=

poza

x

dla

xe

x

f

x

0

0

2

)

(

2

λ

λ

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09

 

Strona 6 

Wyznaczyć estymator parametru

λ metodą największej wiarygodności.


Rozwiązanie:

Funkcja wiarygodności:

i

n

i

x

n

x

i

n

i

x

e

e

x

L

n

i

i

i

Π

Π

=

=

=

=

=

1

1

1

2

2

)

2

(

)

2

(

λ

λ

λ

λ

Czyli:

)

ln(

]

ln

)

2

[ln(

)

ln(

]

ln[

]

)

2

ln[(

))

2

(

ln(

)

ln(

1

1

2

1

1

1

2

2

i

n

i

n

i

i

i

n

i

x

n

x

i

n

i

x

x

n

x

e

e

x

L

n

i

i

i

Π

Π

Π

=

=

=

=

+

+

=

=

+

+

=

=

=

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Obliczamy pochodną lewej strony względem parametru

λ

:

0

))

ln(

)

2

ln(

(

)

ln(

1

2

1

1

2

=

=

=

+

=

=

=

=

Π

n

i

i

i

n

i

n

i

i

x

n

d

x

x

n

d

d

L

d

λ

λ

λ

λ

λ

Zatem:

=

=

n

i

i

x

n

1

2

ˆ

λ

Nie wiemy jeszcze czy to jest maksimum zatem obliczymy druga pochodną:

2

2

2

)

ln(

λ

λ

n

d

L

d

=

Ma ona zawsze znak ujemny bez wględu na to jakie

λ

postawimy.

Zatem estymatorem parametru

λ

otrzymanym MNW jest:

=

Λ

=

n

i

i

X

n

1

2

Zadanie 14


Zmierzono wytrzymałość 10 losowo wybranych gotowych elementów walcowanych i
otrzymano następujące wyniki: 383, 284, 339, 340, 305, 386, 387, 335, 344, 346 [Pa]. Przy
założeniu, że wytrzymałość tych elementów jest zmienną losową

)

,

(

σ

μ

N

o nieznanych

μ

i

σ

, wyznaczyć na podstawie tej próbki 95 % (tzn. przyjąć

α

= 0.05) realizację przedziału

ufności dla

μ

.

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09

 

Strona 7 

Zadanie 15


Zakłada się następujący sposób zdawania egzaminów poprawkowych:
Prawdopodobieństwo niezadania egzaminu poprawkowego (parametr

θ

) jest stałe dla

określonego przedmiotu i jednakowe dla wszystkich studentów w określonej grupie. Ze
względu na sens fizyczny musi być: 0 <

θ

< 1 (parametr

θ

nie zależy od tego po raz który

zdaje się egzamin poprawkowy).
Niech

X oznacza zmienną losową, która jest zdefiniowana jako liczba egzaminów

poprawkowych ustalonego studenta aż do zdania włącznie. W założonym modelu

X ma

rozkład geometryczny:

)

1

(

)

(

1

θ

θ

=

=

k

k

X

P

(k=1,2,...)

W pewnej grupie o liczności n=40 studentów zarejestrowano wynik przedstawiony w tablicy:

Krotność zdawania

k:

Liczba studentów o krotności

k:

1 22
2 8
3 5
4 5

>4 0

Oszacować metoda największej wiarygodności parametr

θ

.


Zadanie 16

Dokonano serii 5 pomiarów rezystancji metodą mostkową. Otrzymano następujące wyniki:
53.2, 53.6, 53.1, 54.9, 53.7 Ω. Obliczyć niepewność standardową typu A u

A

oraz

niepewność rozszerzoną U

A

dla poziomu ufności 0.95.


Rozwiązanie:

Przypominam fragment wykładu, że niepewność standardową obliczamy jako odchylenie standardowe lub
estymatę tego odchylenia.Obliczamy kolejno:

Średnia arytmetyczna serii pomiarów (jednostki pomijam):

7

.

53

5

5

1

=

=

=

i

i

x

x

Jako estymator odchylenia standardowego pojedynczego pomiaru przyjmujemy (zobacz fragment wykładu
dotyczący estymowania wariancji w metodzie analogii):

72

.

0

1

5

)

7

.

53

7

.

53

(

)

7

.

53

9

.

54

(

)

7

.

53

1

.

53

(

)

7

.

53

6

.

53

(

)

7

.

53

3

.

52

(

1

)

(

2

2

2

2

2

5

1

2

=

+

+

+

+

=

=

=

n

x

x

s

i

i

Powyższe jest estymatorem odchylenia standardowego dla pojedynczego pomiaru. Natomiast wiadomo, że
odchylenie standardowe średniej arytmetycznej jest

5

=

n

background image

Prawa zastrzeżone © J.Frączek, Materiał na prawach rękopisu. Kopiowanie bez zgody autora zabronione. W razie wykrycia błędów proszę
o informację.

fraczek@meil.pw.edu.pl

. Wersja 02. Modyfikowana ostatni raz 7.06.09

 

Strona 8 

32

.

0

5

72

.

0

=

=

=

n

s

s

x

A zatem tą wartość przyjmujemy jako niepewność standardową pomiaru to znaczy u

A

=0.32

Ω.

Niepewność rozszerzona jest połową szerokości przedziału ufności dla wartości oczekiwanej na poziomie
ufności 0.95 przy założeniu, że odchylenie standardowe nie jest znane (nie podano w zadaniu).
Oblicza się ja następująco (porównaj rozwiązanie zadania 12b):

32

.

0

776

.

2

)

4

,

05

.

0

(

=

=

x

A

s

t

U

=0.89


gdzie

)

4

,

05

.

0

(

t

jest wartością krytyczną rozkładu studenta o r=4 stopniach swobody, albo jak kto woli

kwantylem rzędu 1-0.05/2. W ocenie niepewności rozszerzonej kwantyl t rozkładu studenta nosi nazwę
współczynnika rozszerzenia i oznacza jako k.


Zadanie 17.

Weźmy pod uwagę zadanie 12 punkt b). Postawimy hipotezę H

0

:

2790

=

μ

przeciwko

hipotezie H

1

:

2790

<

μ

(ta hipoteza jest uzasadniona bo z obliczeń otrzymaliśmy wartość

estymatora wartości oczekiwanej <2790).
Należy zweryfikować hipotezę H

0

na poziomie istotności

05

.

0

=

α

.


Rozwiązanie:
Tworzymy statystykę (odchylenie standardowe nie jest znane):

1

0

n

S

X

μ

i obliczamy jej realizację dla zadanych danych:

192

.

0

10

59

.

90

2790

5

.

2784

1

0

=

=

n

s

x

μ

Tworzymy obszar krytyczny lewostronny dla poziomu istotności

05

.

0

=

α

:

)

,

(

05

.

0

t

U

od

−∞

=

Gdzie t

0.05

jest kwantylem rzędu 0.05 rozkładu Studenta dla 10 stopni swobody. Jest on zatem równy:

)

10

,

1

.

0

(

05

.

0

t

t

=

gdzie t(0.1,10) jest wartością krytyczna rozkładu studenta. Z tablic wartości krytycznych

odczytujemy t(0.1,10)=1.81. Stąd:

)

81

.

1

,

(

−∞

=

od

U

. Zatem

od

U

− 192

.

0

a zatem brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

(stosujemy orzekanie dwuorzeczeniowe).




Uwaga:

Analizując rozwiązania wszystkich zadań należy zawsze sprawdzać obliczenia

i wzory!


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MiTE Zadania seria 2 wersja 03
MiTE Zadania seria 2 wersja 06
MiTE Zadania seria 2 wersja 04 Nieznany
MiTE Zadania seria 1 wersja 01 Nieznany
MiTE Zadania seria 2 wersja 06
MiTE Zadania seria 2 wersja 04 Nieznany
MiTE Zadania seria 2 wersja 04
MiTE Zadania seria 2 wersja 06
MiTE Zadania seria 1 wersja 01
MITE Zadania domowe seria 2
MITE Zadania domowe seria 2
MiTE Zadania domowe seria 1 Nieznany
MITE Zadania domowe seria 3 id Nieznany
MiTE wykL,ad 7 8 wersja 01 id 3 Nieznany
CEIDG 1 wersja 1 03 1

więcej podobnych podstron