f(x)

x

4

0,8

0,6

0

c/x

2

MITE Zadania domowe seria1

Zadanie 1

Na rysunku pokazano wykres funkcji gęstości
zmiennej losowej X.
Należy:
1. Wyznaczyć stałą c,
2. Wyznaczyć funkcję gęstości,
3. Wyznaczyć dystrybuantę,
4. Obliczyć wartość oczekiwaną,
5. Znaleźć medianę x

1/2

.

Rozwiązanie:
Ad. 1

( )

c

c

f

⋅

=

=

5625

,

1

8

,

0

8

,

0

2

(

)

(

)

c

c

c

x

c

c

dx

x

c

c

3125

,

1

25

,

0

25

,

1

3125

,

0

1

2

,

0

5625

,

1

6

,

0

8

,

0

5625

,

1

1

4

8

,

0

4

8

,

0

2

=

−

+

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

+

⋅

⋅

=

+

−

⋅

⋅

=

∫

7619

,

0

3125

,

1

1

=

=

c

Ad. 2

( )

1905

,

1

8

,

0

7619

,

0

8

,

0

2

=

=

f

( )

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

<

≤

<

≤

<

=

tym

poza

x

dla

x

x

dla

x

dla

x

f

0

4

8

,

0

7619

,

0

8

,

0

6

,

0

1905

,

1

0

0

2

Ad. 3
Dla

8

,

0

6

,

0

<

≤ x

(

)

(

)

6

,

0

1905

,

1

8

,

0

6

,

0

−

=

<

<

x

x

F

;

2381

.

0

2

.

0

1905

.

1

)

8

.

0

(

=

⋅

=

F

Dla 4

8

,

0

<

≤ x

( )

x

t

dt

t

x

F

x

x

1

7619

,

0

1905

,

1

1

7619

,

0

2381

,

0

7619

,

0

2381

,

0

8

,

0

8

,

0

2

−

=

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡−

+

=

+

=

∫

( )

(

)

⎪

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎪

⎨

⎧

≥

<

≤

−

<

≤

−

<

=

4

1

4

8

,

0

1

7619

,

0

1905

,

1

8

,

0

6

,

0

6

,

0

1905

,

1

0

0

x

dla

x

dla

x

x

dla

x

x

dla

x

F

Możemy sprawdzić dla pewności, że

1

4

/

7619

.

0

1905

.

1

)

1

(

=

−

=

F

Ad. 4. Wartość oczekiwana:

( )

( )

(

)

[ ]

(

)

3929

.

1

2262

,

1

1667

.

0

2231

,

0

3863

,

1

7619

,

0

1667

,

0

ln

7619

,

0

6

,

0

8

,

0

5

,

0

1905

,

1

7619

,

0

1905

,

1

4

8

,

0

2

2

4

8

,

0

2

8

,

0

6

,

0

1

=

+

=

+

+

=

+

+

−

⋅

⋅

=

+

=

=

=

=

∫

∫

∫

x

dx

x

x

xdx

dx

x

xf

m

X

E

R

µ

Ad. 5
Ponieważ F(0,8)=0,2381 i F(4) = 1 zatem mediana wypada między x = 0,8 a x = 4.

5

,

0

1

7619

,

0

1905

,

1

2

1

=

−

x

więc

1034

,

1

2

1

=

x

Czyli

( )

X

E

x

79

,

0

2

1

≅

Zadanie 2

Wyznaczyć medianę i kwantyle zmiennej losowej, której gęstość prawdopodobieństwa
wyraża się wzorem:

( )

(

)

2

1

1

x

x

f

+

=

π

zmienna losowa o rozkładzie Cauchy'ego

Rozwiązanie:

( )

( )

[

]

2

1

arctan

1

arctan

1

1

2

+

=

=

+

=

∞

−

∞

−

∫

x

x

t

dt

x

F

x

x

π

π

π

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

⇒

=

+

1

2

2

tan

arctan

1

2

1

p

x

p

x

p

p

π

π

Rozkład Cauchy'ego nie ma wartości oczekiwanej bo:

( )

( )

[

]

2

1

arctan

1

arctan

1

1

2

+

=

=

+

=

∞

−

∞

−

∫

x

x

t

dt

x

F

x

x

π

π

π

Zadanie 3.

Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy:

f(x)=

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

0

>

<

≥

−

λ

λ

λ

,

0

0

0

)

exp(

1

x

dla

x

dla

x

Oblicz medianę.

Rozwiązanie:

To zadanie zostało rozwiązane na wykładzie z MITE

Zadanie 4

Wśród 10 świec samochodowych 4 są złe, reszta dobre. Należy wybrać z nich jedną dobrą.
„Na oko” nie można poznać, które świece są dobre, próbuje się więc kolejno, aż trafi się po
raz pierwszy na świecę dobrą. Niech X liczbę prób potrzebnych do tego celu. Jest to zmienna
losowa. Należy:

1. Podać zbiór wartości, które przyjmuje X,
2. Znaleźć rozkład X i sprawdzić, czy prawdopodobieństwa sumują się do jedności,
3. Znaleźć wartość oczekiwaną.

Założenia

:

W każdej ustalonej próbie każda konkretna świeca, wszystko jedno czy dobra, czy zła ma
jednakową szanse, ze będzie wybrana do próby. Wybory w kolejnych próbach są zdarzeniami
niezależnymi.

Wskazówki:
Aby na przykład X=4 potrzeba i wystarcza, żeby wynik prób był:

zła, zła, zła, dobra

Ze wzrostem liczby kolejnych prób prawdopodobieństwo trafienia na złą świecę maleje, a
trafienia na dobrą rośne.

Rozwiązanie:

1. Oznaczamy wskaźnikiem i kolejny numer próby. Z tematu wynika, że i = 1,2,3,4,5 bo

jeśli cztery kolejne wyniki prób były zła, zła, zła, zła to pozostały same dobre świece.
Zatem w piątej próbie na pewno trafi się po raz pierwszy na dobrą świecę.

2. Dla i=1zachodzi …….. równość:

(

)

6

,

0

10

6

1

=

=

=

X

P

Dla i>1 układamy tabelkę:

1. 2.

3.

4.

i

Prawdopodobieństwo

zdarzenia, że do próby i-1

włącznie znajdowano

tylko złe świece

Prawdopodobieństwo

zdarzenia, że w próbie i

znaleziono dobrą świece

P(X=i)= 2. *3.

2

10

4

9

6

26667

,

0

5040

1344 =

3

9

3

10

4 ⋅

8

6

1

,

0

5040

504 =

4

8

2

9

3

10

4

⋅

⋅

7

6

02857

,

0

5040

144 =

5

7

1

8

2

9

3

10

4

⋅

⋅

⋅

1

6

6 =

00476

,

0

5040

24 =

(

)

∑

=

=

+

=

+

+

+

+

=

=

5

1

1

4

,

0

6

,

0

00476

,

0

02857

,

0

1

,

0

26667

,

0

6

,

0

i

i

X

P

3.

( )

57

,

1

5040

5

24

4

144

3

504

2

1344

1

6

,

0

=

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

+

⋅

=

X

E