MITE Zadania domowe seria 3

Zadanie 1 (kolokwium PE 27 stycznia 2005)

Na podstawie n-elementowej próby prostej pobranej z populacji, w której badana cecha X ma
rozkład Poissona:

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

=

=

=

−

poza

c

i

e

i

c

i

X

P

c

i

0

0

,...

2

,

1

,

0

!

)

(

należy:

1. Skonstruować estymator parametru c metodą analogii.
2. Skonstruować estymator parametru c metodą największej wiarygodności
3. Wykazać, że estymator według punktu 2 jest nieobciążony.

Szkic rozwiązania:

1. Z własności rozkładu Poissona (zobacz wykład jeśli było) wiadomo, że E(X)=c.

Estymator zbudowany metodą analogii dla wartości oczekiwanej buduje się jako średnią
arytmetyczną tzn:

n

X

C

n

i

i

∑

=

=1

Z wykładu wiadomo także że jest to estymator nieobciążony

2. Funkcja wiarygodności dla zmiennej losowej o rozkładzie Poissona:

∏

∏

=

−

=

−

−

−

−

∑

=

=

⋅

⋅

⋅

=

=

n

i

i

x

cn

n

i

c

i

x

c

n

x

c

x

c

x

x

c

e

e

x

c

e

x

c

e

x

c

e

x

c

L

n

i

i

i

n

1

1

2

1

!

1

)

!

(

!

...

!

!

1

2

1

Logarytmiczna funkcja wiarygodności:

∏

∏

=

=

=

−

−

∑

+

−

=

∑

=

=

n

i

i

n

i

i

n

i

i

x

cn

x

c

x

cn

x

c

e

L

n

i

i

1

1

1

1

)

!

ln(

ln

)

(

)

!

1

ln(

ln

1

Pochodna LFW:

0

)

(

)

(ln

1

=

∑

+

−

=

=

c

x

n

dc

L

d

n

i

i

, czyli

n

x

c

n

i

i

)

(

1

∑

=

=

Druga pochodna:

0

)

(

)

)

(ln

(

2

1

2

2

<

∑

−

=

=

=

=

c

c

n

i

i

c

c

c

x

dc

L

d

czyli w tym punkcie jest maksimum.

Estymator wyraża się wzorem:

n

X

C

n

i

i

∑

=

=1

3. Wynika to z punktu 1 rozwiązania.

Zadanie 2 (kolokwium PE 27 stycznia 2005)


Czas pracy elementu jest zmienną losową X o gęstości

⎩

⎨

⎧

≤

>

−

=

−

0

,

0

0

),

(

)

(

1

x

gdy

x

gdy

x

exp

x

x

f

a

β

αβ

α

gdzie

α

jest znanym dodatnim parametrem,

β

zaś jest nieznaną dodatnią stałą (jest to gęstość

rozkładu Weibulla). Wyznaczyć, na podstawie niezależnych pomiarów x

1

,x

2

,...,x

n

czasu pracy

elementu, estymator największej wiarygodności dla

β

.

Szkic rozwiązania:

Funkcja wiarygodności dla zmiennej losowej o tym rozkładzie:

)

1

(

1

1

1

1

)

)(

exp(

)

)

exp(

(

−

=

=

=

−

∏

∑

∏

−

=

−

=

α

α

α

α

β

β

α

β

αβ

n

i

i

n

i

i

n

n

n

i

i

i

x

x

x

x

L

Logarytmiczna funkcja wiarygodności:

)

)

ln((

)

(

ln

ln

)

)

)(

exp(

ln

ln(

ln

)

1

(

1

1

)

1

(

1

1

−

=

=

−

=

=

∏

∑

∏

∑

+

−

+

=

−

=

α

α

α

α

β

β

α

β

β

α

n

i

i

n

i

i

n

n

i

i

n

i

i

n

n

x

x

n

x

x

n

L

Pochodna LFW:

0

)

(

)

(ln

1

=

+

∑

−

=

=

β

β

α

n

x

d

L

d

n

i

i

, czyli

)

(

1

∑

=

=

n

i

i

x

n

α

β

Druga pochodna:

0

)

(

)

)

(ln

(

2

2

2

<

−

=

=

=

β

β

β

β

β

β

n

d

L

d

czyli w tym punkcie jest maksimum.

Estymator wyraża się wzorem:

∑

=

=

n

i

i

X

n

B

1

α

Zadanie 4 Kolokwium (PE 22 stycznia 2004)

Za pomocą metody największej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru p rozkładu
populacji ogólnej o rozkładzie dwumianowym:

m

x

p

p

x

m

p

x

P

x

m

x

,...,

2

,

1

,

)

1

(

)

,

(

=

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

−

Wyznaczyć, na podstawie n niezależnych pomiarów x

1

,x

2

,...,x

n

, estymator największej

wiarygodności dla p.

Szkic rozwiązania: Proszę rozwiązać samodzielnie




Zadanie 5 (kolokwium PE 27 stycznia 2005)

Ogniwa krótkie pewnego łańcucha rolkowego mają wymiar

05

.

0

04

.

0

05

.

19

+

−

=

k

a ogniwa długie

mają wymiar

03

.

0

03

.

0

05

.

24

+

−

=

d

. Montujemy łańcuch z 20 ogniw krótkich i 25 ogniw długich.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy długość całego łańcucha wynosi

2

.

0

3

.

982

+

=

L

mm (przewidzianą normą).
Wskazówka: Oszacować nieznane parametry rozkładów wymiarów poszczególnych ogniw na
podstawie znajomości pola tolerancji korzystając z prawa

σ

3

a następnie wykorzystać CTG

LF .
Szkic rozwiązania:

Zakładamy, że każde z 45 ogniw ma wymiar który określa zmienna losowa X

i

Nieznane parametry rozkładu wymiaru poszczególnych ogniw szacujemy z prawa

σ

3

(wszystkie wielkości w mm).

055

.

19

2

04

.

0

05

.

19

05

.

0

05

.

19

1

=

−

+

+

=

µ

,

015

.

0

6

)

04

.

0

05

.

19

(

05

.

0

05

.

19

1

=

−

−

+

=

σ

05

.

24

2

03

.

0

05

.

24

03

.

0

05

.

24

2

=

−

+

+

=

µ

,

01

.

0

6

)

03

.

0

05

.

24

(

03

.

0

05

.

24

2

=

−

−

+

=

σ

W takim razie

)

25

20

45

20

5

.

982

25

20

45

20

25

20

45

20

3

.

982

(

)

5

.

982

3

.

982

(

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

45

1

2

2

2

1

2

1

45

1

σ

σ

µ

µ

σ

σ

µ

µ

σ

σ

µ

µ

+

−

−

<

+

−

−

<

+

−

−

=

<

<

∑

∑

=

=

i

i

i

i

X

P

X

P

Zgodnie z CTG możemy przyjąć, że zmienna losowa Y pośrodku ma rozkład

)

1

,

0

(

N

.

Wykonujemy obliczenia:

=

+

−

−

<

<

+

−

−

)

25

20

45

20

5

.

982

25

20

45

20

3

.

982

(

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

σ

σ

µ

µ

σ

σ

µ

µ

Y

P

=

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

−

<

<

⋅

+

⋅

⋅

−

⋅

−

=

)

01

.

0

25

015

.

0

20

05

.

24

25

055

.

19

20

5

.

982

01

.

0

25

015

.

0

20

05

.

24

25

055

.

19

20

3

.

982

(

2

2

2

2

Y

P

689

.

0

1

-

0.726

0.963

1

-

)

60

.

0

(

1.79)

(

))

60

.

0

(

-

(1

-

1.79)

(

)

60

.

0

(

-

1.79)

(

)

1.79

-0.60

(

)

0.0837

982.35

5

.

982

0.0837

982.35

3

.

982

(

=

+

=

Φ

+

Φ

=

Φ

Φ

=

−

Φ

Φ

=

<

<

=

−

<

<

−

=

Y

P

Y

P

Z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego odczytaliśmy

0.963

1.79)

(

=

Φ

oraz

726

.

0

)

60

.

0

(

=

Φ

. Poszukiwane prawdopodobieństwo wynosi w % ok. 69 %.

Zadanie 6 (kolokwium PE 27 stycznia 2005)

Ogniwa krótkie pewnego łańcucha rolkowego mają wymiar

05

.

0

04

.

0

05

.

20

+

−

=

k

a ogniwa długie

mają wymiar

03

.

0

03

.

0

05

.

25

+

−

=

d

. Montujemy łańcuch z 20 ogniw krótkich i 25 ogniw długich.

Obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy długość całego łańcucha

2

.

0

3

.

1027

+

=

L

mm

(przewidzianą normą).
Wskazówka: Oszacować nieznane parametry rozkładów wymiarów poszczególnych ogniw na
podstawie znajomości pola tolerancji korzystając z prawa

σ

3

a następnie wykorzystać CTG

LF .
Szkic rozwiązania:

Zadanie identyczne jak poprzednio trzeba tylko przeliczyć. Odpowiedź to 69 %

Zadanie 7 (kolokwium PE 27 stycznia 2005)

Wyjaśnij co oznacza nieobciążoność i efektywność estymatora. Podaj przykład
nieobciążonego estymatora wariancji.

Szkic rozwiązania: Zobacz wykład. Nieobciążony estymator wariancji to:

2

1

2

1

2

0

2

)

(

1

1

)

(

1

1

1

X

X

n

X

X

n

n

n

S

n

n

S

n

i

i

n

i

i

∑

∑

=

=

−

−

=

−

−

=

−

=

Gdzie:

n

X

X

n

i

i

∑

=

=

1

estymator wartości oczekiwanej.

Zadanie 8 (Maraton MITE styczeń 2006)

Czy twierdzenie Moivre’a - Laplace’a (ML) jest szczególnym przypadkiem twierdzenia
Lindeberga-Fellera (LF)
? Odpowiedź uzasadnij szczegółowo tzn.:

- sformułuj twierdzenie LF
- sformułuj twierdzenie ML
- uzasadnij jak jedno wynika z drugiego.

Szkic rozwiązania: Zobacz wykład. Polecam przemyślenie + konsultacje.