Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
19 grudnia 2012
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy 19 grudnia 2012
1 / 1
Spis tre±ci
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy 19 grudnia 2012
2 / 1
Przestrze« Wektorowa (liniowa)
De nijca Przestrzeni Wektorowej
Przestrzeni¡ wektorow¡ (rozpi¦t¡ nad ciaªami liczb rzeczywistych)
nazywamy struktur¦ algebraiczn¡ (V , R,
L
,
J
)
zlozon¡ ze zbioruV ,
ciaªa liczb rzeczywistych R , oraz dwóch dziaªa«: dodawania
wewn¦trznego
L
:
V xV → V i mno»enia zewn¦trznego
J
: RxV → V . Elementy ciala R nazywamy skalarami a elementy
zbioru V wektorami.
Dziaªania maj¡ nast¦puj¡ce wªasno±ci:
Zbiór V jest grup¡ abelow¡ wzgl¦dem dodawania.
Dziaªanie zewn¦trzne jest rozdzielne wzgl¦dem dziaªania
wewn¦trznego, to znaczy dla wszystkich x, y ∈ V i c
1
,
c
2
∈ R
zachodz¡ równo±ci:
c(x + y) = cx + cy
x(c
1
c
2
) = (
xc
2
)
c
1
(
c
1
+
c
2
)
x = c
1
x + c
2
u
1x = x
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy 19 grudnia 2012
3 / 1
Przestrze« Wektorowa (liniowa)
Bardziej zrozumiaªy sposób wyja±nienia poj¦cia Przestrzeni
Wektorowej
Przestrze« wektorow¡ mo»emy przedstawi¢ jako p¦k (lub zestaw)
wektorów. Aby p¦k ten byª rzeczywi±cie przestrzeni¡ musz¡ by¢ speªnione
nast¦puj¡ce warunki:
Je±li wezm¦ dwa dowolne wektory nale»¡ce do tego p¦ku i dodam do
siebie to wynik tego dziaªania równie» musi do niego nale»e¢.
Wynik dodawania v+w nale»y do przestrzeni tych wektorów.
Mog¦ pomno»y¢ dowolny wektor nale»¡cy do tego p¦ku przez jak¡±
staª¡ (skalar) to wynik tego dziaªania równie» musi do niego nale»e¢.
Wynik mno»enie wektora przez skalar cv nale»y do przestrzeni tego
wektora.
Wniosek
P¦k wektorów jest przestrzeni¡ liniow¡ je±li wszystkie kombinacje liniowe
wektorów cv+dw nale»¡ do tego p¦ku.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy 19 grudnia 2012
4 / 1
Przykªady przestrzeni Wektorowych R
2
Poni»szy schemat przedstawia dodawanie dwóch dowolnych wektorów z
przestrzeni R
2
Wydaje si¦, »e ¢wiartka I jest przestrzeni¡ wektorow¡ R
2
poniewa» suma
dwóch dowolnych wektorów nale»y do tej ¢wiartki.Zatem pierwszy warunek
jest speªniony.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy 19 grudnia 2012
5 / 1
Przykªady przestrzeni Wektorowych R
2
Poni»szy schemat przedstawia dodawanie dwóch dowolnych wektorów z
przestrzeni R
2
i mno»enie przez dowolny skalar.
Jednak jak wida¢ na powy»szym obrazku wynik mno»enia przez skalar mo»e
znajdowa¢ si¦ w innej ¢wiartce.
Wniosek
wiartka I nie mo»e by¢ przestrzeni¡ wektorow¡ R
2
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy 19 grudnia 2012
6 / 1
Prawidªowa przestrze« wektorowa R
2
Poni»szy schemat przedstawia dodawanie dwóch dowolnych wektorów z
przestrzeni R
2
i mno»enie przez dowolny skalar.
Wniosek
Przestrzeni¡ Wektorow¡ R
2
s¡ wszystkie cztery ¢wiartki. Poniewa» tylko
wtedy mo»liwe jest dodawanie wektorów i mno»enie ich przez skalar.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy 19 grudnia 2012
7 / 1
Liniowa niezale»no±¢ wektorów
Wektory liniowe niezale»ne
Kombinacj¡ liniow¡ wektorów v
1
,
v
2
, ...,
v
k
o wspóªczynnikach
a
1
,
a
2
, ...,
a
k
,
a
i
∈ Ri = 1, 2, ..., k, nazywamy wektor:
v = a
1
v
1
+
a
2
v
2
+ ... +
a
k
v
k
Ukªad wektorów (ci¡g wektorów - je±li uporz¡dkowany)
v
1
,
v
2
, ...,
v
k
,
v
i
∈
V
nazywamy liniowo niezale»nym, je»eli zachodzi z równo±ci:
λ
1
v
1
+ ... + λ
k
v
k
=
0
wynika, »e liczby λ
i
s¡ równe zero:
λ
1
= λ
2
= ... = λ
k
=
0
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy 19 grudnia 2012
8 / 1
Liniowa niezale»no±¢ wektorów
Bardziej zrozumiaªa de nicja
Zatem je±li liczby λ
i
przedstawione w poprzedniej de nicji speªniaj¡
nast¦puj¡cy warunek:
λ
1
= λ
2
= ... = λ
k
=
0
To dwie kombinacje liniowe o ró»nych wspóªczynnikach wektorów tego
ukªadu s¡ równe, zatem pewna ich kombinacja liniowa, w której nie
wszystkie wspóªczynniki s¡ zerami, jest równa zeru.
Ci¡g wektorów v
1
, ...,
v
n
jest liniowo niezale»ny je±li jedyn¡ kombinacj¡,
która daje w wyniku wektor zerowy jest 0v
1
+
0v
2
+ ... +
0v
n
.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy 19 grudnia 2012
9 / 1
Liniowa zale»no±¢
Liniowa zale»no±¢
Je»eli ukªad wektorów nie jest liniowo niezale»ny, to mówimy, »e jest liniowo
zale»ny.
Liniowa zale»no±¢ - wªasno±ci
Je±li jeden z wektorów ukªadu v
1
, ...,
v
k
jest wektorem zerowym, to
ukªad ten jest liniowo zale»ny. Przykªad:
Zaªó»my, »e v
1
=
0 wtedy otrzymamy tak¡ kombinacj¦ liniow¡ tych
wektorów:
1v
1
+
0v2 + ... + 0v
k
=
0
Zatem wektory nie mog¡ by¢ niezale»ne poniewa» kombinacja, która w
wyniku daje wektor zerowy nie skªada si¦ z samych zer.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
10 / 1
Wymiar Przestrzeni Wektorowej
De nicja
Przestrze« wektorow¡ V nazywamy n wymiarow¡, je»eli istnieje w niej
tylko n liniowo niezale»nych wektorów. Je»eli mo»na znale¹¢ dowoln¡ liczb¦
wektorów niezale»nych, wówczas przestrze« nazywamy niesko«czenie
wymiarow¡.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
11 / 1
Podprzestrzenie
Podprzestrzenie czyli nasz gªówny temat
Podprzestrze« przestrzeni wektorowej (liniowej) jest to zbiór wektorów
z danej przestrzeni, które nadal tworz¡ jej przestrze«. Innymi sªowy
jest to przestrze« wewn¡trz przestrzeni wektorowej (np R
3
). Musi
oczywi±cie speªnia¢ takie warunki jak przestrze«, tzn:
wynik dziaªania v + w nale»y do podprzestrzeni,
wynik dziaªania cv nale»y do podprzestrzeni,
Ponadto musi ona tak»e posiada¢ wektor zerowy przechodz¡cy przez
pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych.
Przykªady podprzestrzeni przestrzeni R
3
Ka»da prosta przechodz¡ca przez punkt (0,0,0).
Ka»da pªaszczyzna przechodz¡ca przez punt (0,0,0).
Wektor zerowy (0,0,0)
R
3
caªa przestrze«.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
12 / 1
Przykªad podprzestrzeni R
3
Rysunek przedstawia dwie proste, która s¡ podprzestrzeniami przestrzeni R
3
Proste te s¡ podprzestrzeniami poniewa»: przechodz¡ pocz¡tek ukªadu
wspóªrz¦dnych, wynik dodawania i mno»enia jakichkolwiek wektorów
le»¡cych na tych prostych pozostanie na odpowiedniej prostej.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
13 / 1
Suma mnogo±ciowa (zªo»enie) podprzestrzeni
Przypu±¢my, »e mamy dwie podprzestrzenie: prost¡ L i pªaszczyzn¦ P.
Pytanie
Czy zªo»enie
P ∪ L
pªaszczyzny P i prostej L jest podprzestrzeni¡?
Odpowied¹
Oczywi±cie, »e nie jest poniewa» suma dodawania wektorów nie zawsze
b¦dzie nale»e¢ to tego zªo»enia.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
14 / 1
Dowód, »e zªo»enie pªaszczyzny P i prostej L nie jest
podprzestrzeni¡
Suma mnogo±ciowa (zªo»enie) P ∪L nie mo»e by¢ podprzestrzeni¡,
poniewa» suma dwóch przykªadowych wektorów przedstawionych na
rysunku b¦dzie poza zªo»eniem. Zatem warunek pierwszy ( wynik v + w
musi nale»e¢ do przestrzeni tych wektorów) nie jest speªniony.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
15 / 1
Przypu±¢my, »e mamy dwie podprzestrzenie: prost¡ L i pªaszczyzn¦ P.
Pytanie
Czy ilocznyn mnogo±ciowy ( wspólna cz¦±¢ )
P ∩ L
pªaszczyzny P i prostej L jest podprzestrzeni¡?
Odpowied¹
Tak, poniewa» ich cz¦±ci¡ wspóln¡ jest wektor zerowy. Wektor zerowy jest
podprzestrzeni¡.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
16 / 1
Iloczyn mnogo±ciowy (wspólna cz¦±¢ podprzestrzeni)
Przypu±¢my, »e mamy dwie dowolne podprzestrzenie. Nazwiemy je S i T.
Pytanie
Czy cz¦±¢ wspólna (iloczyn mnogo±ciowy)
S ∩ T
podprzestrzeni S i T jest podprzestrzeni¡ liniow¡?
Odpowied¹
Tak, poniewa» wyniki dodawania i mno»enia wektorów le»¡ zarówno w
przestrzeni S jak i T czyli w ich wspólnej cz¦±ci. Innymi sªowy, kiedy
we¹miemy iloczyn mnogo±ciowy dwóch podprzestrzeni, prawdopodobnie
otrzymamy mniejsz¡ podprzestrze«.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
17 / 1
De nicja
Przestrze« kolumnowa macierzy A zawiera wszystkie kombinacje liniowe jej
kolumn. Oznaczamy j¡ symbolem:
C(A)
Przestrze« kolumnowa macierzy A jest podprzestrzeni¡ m-wymiarowej
przestrzeni R
m
.
Przykªad
A =
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
a
41
a
42
a
43
Przestrze« kolumnow¡ podanej macierzy tworz¡ kombinacje liniowe
wektorów (a
11
,
a
21
,
a
31
,
a
41
), (
a
12
,
a
22
,
a
32
,
a
42
), (
a
13
,
a
23
,
a
33
,
a
43
)
Macierz
A ma wymiary 4x3. Na podstawie wymiaru macierzy mo»na tak»e
stwierdzi¢, »e jej przestrze« kolumnowa jest podprzestrzeni¡ R
4
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
18 / 1
Równanie Ax = b
Przyklad
Rozwa»my równanie Ax = b z przykªadow¡ macierz¡ A.
2 1 3
4 1 5
5 1 6
7 1 8
x
1
x
2
x
3
=
b
1
b
2
b
3
b
4
Czy równianie Ax=b jest rozwi¡zywalny dla ka»dego b?
Odpowied¹
Nie. Poniewa» równanie Ax=b ma cztery równania a tylko trzy niewiadome.
Ma ono rozwi¡zanie tylko dla niektórych b.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
19 / 1
Równanie Ax = b
Przykªad
Rozwa»my równanie Ax = b z przykªadow¡ macierz¡ A.
2 1 3
4 1 5
5 1 6
7 1 8
x
1
x
2
x
3
=
b
1
b
2
b
3
b
4
Jak wiemy równanie Ax=b nie ma rozwi¡zania dla ka»dego b. Zatem dla
jakich b jest ono rozwi¡zywalne?
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
20 / 1
Równanie Ax=b
Przykªad
Rozwa»my równanie Ax = b z przykªadow¡ macierz¡ A.
2 1 3
4 1 5
5 1 6
7 1 8
0
0
0
=
0
0
0
0
Jak wida¢ jednym z tych b dla, których równanie Ax=b ma rozwi¡zanie jest
wektor zerowy.
Wniosek
Ka»de równanie Ax=0 ma rozwi¡zanie. Jest nim x=0.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
21 / 1
Równanie Ax=b
Przykªad
Rozwa»my równanie Ax = b z przykªadow¡ macierz¡ A.
2 1 3
4 1 5
5 1 6
7 1 8
1
0
0
=
2
4
5
7
Jak wida¢ równanie Ax=b ma rozwi¡zanie tak»e je±li wektor b jest jedn¡ z
kolumn macierzy A.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
22 / 1
Równanie Ax=b
Przykªad
Rozwa»my równanie Ax = b z przykªadow¡ macierz¡ A.
1 2 1
1 3 3
1 4 5
1 5 7
0
1
0
=
1
1
1
1
Jak wida¢ równanie Ax=b ma rozwi¡zanie tak»e je±li wektor b jest jedn¡ z
kolumn macierzy A.
Wniosek
Równanie Ax=b ma rozwi¡zanie tylko wtedy gdy b nale»y do przestrzeni
kolumnowej C(A) macierzy A.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
23 / 1
Kolumny osiowe i swobodne
Przykªad
2 1 3
4 1 5
5 1 6
7 1 8
x
1
x
2
x
3
=
b
1
b
2
b
3
b
4
Czy mógªbym usun¡¢ jak¡± kolumn¦ i otrzyma¢ t¦ sam¡ przestrze«?
Odpowied¹
Tak. Mógªbym usun¡¢ trzeci¡ kolumn¦ poniewa» jest ona sum¡ dwóch
poprzednich. Kolumna trzecia jest kolumn¡ swobodn¡ czyli nie zawiera
elementów osiowych.
De nicja
Kolumny zawieraj¡ce elementy osiowe (pivots) s¡ nazywane kolumnami
osiowymi.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
24 / 1
Przestrze« zerowa macierzy
Przykªad
Rozpatrzmy t¡ sam¡ macierz, która analizowali±my w poprzednich
przykªadach.
2 1 3
4 1 5
5 1 6
7 1 8
x
1
x
2
x
3
=
0
0
0
0
Co to jest przestrze« zerowa?
Odpowied¹
Zawiera wszystkie rozwi¡zania równania Ax=0. W naszym przypadku
x
1
,
x
2
,
x
3
. Przestrze« zerow¡ macierzy A oznaczamy symbolem N(A).
Wektor zerowy zawsze jest rozwi¡zaniem Ax=0 zatem zawarty jest w
przestrzeni zerowej.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
25 / 1
Przestrze« zerowa macierzy
Przykªad
Rozpatrzmy macierz o wymiarach 4 x 3
2 1 3
4 1 5
5 1 6
7 1 8
x
1
x
2
x
3
=
0
0
0
0
Ta macierz jest podprzestrzeni¡ jakiej przestrzeni?
Odpowied¹ i Wniosek
Przedstawiona macierz jest podprzestrzeni¡ R
3
.
Przestrze« zerowa macierzy N(A) o wymiarach m x n jest podprzestrzeni¡
n-wymiarowej przestrzeni R
n
.Ponadto liczba kolumn macierzy A w
równaniu Ax=0 mówi nam ile mamy niewiadomych x.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
26 / 1
Przestrze« zerowa macierzy
Przykªad
Rozwa»my równanie z poprzednio analizowan¡ macierz¡ A.
2 1 3
4 1 5
5 1 6
7 1 8
c
c
−
c
=
0
0
0
0
Przestrze« zerowa N(A) zawiera nast¦puj¡ce wektory:
Wektor zerowy
0
0
0
,
1
1
−
1
i ogólnie
c
c
−
c
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
27 / 1
Przestrze« zerowa macierzy
Przykªad
Rozwa»my równanie z poprzednio analizowan¡ macierz¡.
2 1 3
4 1 5
5 1 6
7 1 8
x
1
x
2
x
3
=
0
0
0
0
Spostrze»enie
Ogólnie przestrze« zerowa macierzy A A zawiera wektory okre±lone wzorem:
x
n
=
c
−
1
−
1
1
=
cx
s
przy czym x
s
=
−
1
−
1
1
x
s
oznacza tzw. rozwi¡zanie specjalne, dla którego x
3
=
1 jako zmienna
zale»na od poprzednich.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
28 / 1
Przestrze« zerowa macierzy
Poni»szy rysunek przedstawia prost¡ w przestrzeni R
3
Spostrze»enie
Przestrze« zerowa, która jest podprzestrzeni¡ R
3
jest prost¡ przechodz¡c¡
przez pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych zawieraj¡c¡ wektor
1
1
−
1
. Dlatego
mo»na zapisa¢ ten wektor jako c
1
1
−
1
.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
29 / 1
Przestrze« zerowa macierzy
Przykªad
Sprawd¹my czy przestrze« zerowa rzeczywi±cie speªnia warunki bycia
przestrzeni¡. Musimy wykaza¢, »e je±li x jest rozwi¡zaniem i x
∗
jest
rozwi¡zaniem to ich suma (x+x
∗
) te» jest rozwi¡zaniem. Zatem je±li Ax=0
i Ax
∗
to A(x+x
∗
)=0. Z wªasno±ci mno»enia macierzy wynika, »e mo»emy
to zapisa¢ jako Ax + Ax
∗
co daje nam 0 + 0 = 0. Drugim warunkiem jest
mno»enie przez skalar. Je±li x jest rozwi¡zaniem to cx te» jest
rozwi¡zaniem. Poka»my, »e je±li Ax=0 to A(cx)=0. Znowu skorzystamy z
wªasno±¢i mno»enia macierzy. Zatem mo»emy wyª¡czy¢ skalar przed
macierz i otrzymamy cA(x)= c 0 = 0.
Wniosek
Rozwi¡zania równania Ax=0 zawsze tworz¡ podprzestrze«
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
30 / 1
Rozwi¡zanie równania Ax=b
Przykªad
Rozwa»my poprzednio analizowane równanie
2 1 3
4 1 5
5 1 6
7 1 8
x
1
x
2
x
3
=
b
1
b
2
b
3
b
4
Czy rozwi¡zania równania Ax=b tworz¡ przestrze« wektorow¡?
Odpowied¹
Nie. Poniewa» wektor zerowy nie mo»e by¢ rozwi¡zaniem. Zatem
rozwi¡zania le»¡ na prostej lub pªaszczy¹nie, która nie przechodzi przez
pocz¡tek ukªadu wspóªrz¦dnych.
Kamil Mejsner, Piotr Hemke
Przestrze« Kolumnowa i Przestrze« Zerowa macierzy19 grudnia 2012
31 / 1
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
06 Przestrzeganie przepisow bez Nieznany (2)
06 Przestrzeganie przepisow bez Nieznany (2)
Ćw 3 Tabele przestawne %kolumn, %wiersza, %sumy
gospodarka przestrz 06
Opracowanie ekofizjograficzne, Studia - IŚ - materiały, Semestr 06, Systemy informacji przestrzennej
06 Prace w przestrzeniach zamknietych i niebezpiecznych v1 1
06 Wyznaczanie rzeczywistych wymiarˇw w przestrzeni
06 Wyznaczanie rzeczywistych wymiarów w przestrzeni
6-Witajcie w nowej przestrzeni nowych mozliwosci 26.06.2010, DUCHOWA WIEDZA, Wyższe Wymiary SWIATŁA
06 Prace w przestrzeniach zamknietych i niebezpiecznych
u.1066-06, OŚ, sem II 1 SOWiG, Planowanie Przestrzenne
prawo przestepstwo i jego elementy(z kolumnami)
Scenariusz zajęć grupowych z orientacji w przestrzeni - październik 06, Scenariusze zajęć z uczniem
06 Prace w przestrzeniach zamknietych i niebezpiecznych v1 1id 6363
gospodarka przestrz 06
więcej podobnych podstron