7.05.21

Wyznaczanie rzeczywistych

wymiarów w przestrzeni

Zapis konstrukcji

7.05.21

Odwzorowanie brył w rzutach

2

Wyznaczanie rzeczywistej długości odcinka
Kłady płaszczyzn
Figury płaskie na płaszczyznach
Bryły na płaszczyznach
Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami

7.05.21

Odwzorowanie brył w rzutach

3

Wyznaczanie

rzeczywistej długości odcinka

Metoda obrotu
Metoda kładu trapezowego
Metoda kładu różnicowego

7.05.21

Wyznaczanie rzeczywistej długości odcinka

4





x

Metoda obrotu

B”

A



”

A



=
”



B

A

A



’

A”


’

A’

B’


’

A



”

A”

B”=

”

A



’

A’

B’

AB

=A



B

=A



’B’

x

7.05.21

Wyznaczanie rzeczywistej długości odcinka

5





x

Metoda kładu trapezowego

x

B’

Aº

Bº

A’

Aº

Bº

A”

B”

B

A

Bº

Aº

A’

B’

A”

B”

Bº

Aº

h

A

g

B

g

A

h

B

g

B

g

A

h

A

h

B

7.05.21

Wyznaczanie rzeczywistej długości odcinka

6

Metoda kładu różnicowego

=A
º

x

g

AB

h

AB

g

AB

h

AB

Bº
=

Aº

A”

B”

Bº

A’

B’

7.05.21

7

Kłady płaszczyzn

Płaszczyzna

• dowolna
• pionowo rzutująca
• poziomo rzutująca
• bocznie rzutująca

Prosta

• na płaszczyźnie dowolnej
• na płaszczyźnie bocznie rzutującej

Punkt

• na płaszczyźnie dowolnej – trójkąt obrotu
• na płaszczyźnie dowolnej – prosta pomocnicza

7.05.21

Kłady płaszczyzn

8

Kład płaszczyzny dowolnej

Kładem płaszczyzny na
rzutnię nazywamy obrót
tej płaszczyzny wokół jej
śladu w ten sposób, aby
dana płaszczyzna zajęła
położenie tej rzutni.

Podstawowym celem wykonywania kładów
płaszczyzn jest odnajdywanie rzeczywistych
wymiarów figur leżących na tych
płaszczyznach przedstawionych w rzutach.

Wyznaczanie śladów płaszczyzny
dowolnej w kładzie.

x

=
h



º

h



v



º

v



v



h



A
”

A’

Aº

X



7.05.21

Kłady płaszczyzn

9

Kłady płaszczyzny pionowo

rzutującej

x

h



º

h



v



v



º

=

x

= h



º

h



v



v



º

Kład na rzutnię pionową

Kład na rzutnię poziomą

7.05.21

Kłady płaszczyzn

10

Kłady płaszczyzny poziomo

rzutującej

=
v



º

x

x

= h



º

v



h



h



º

v



h



v



º

Kład na rzutnię pionową

Kład na rzutnię poziomą

7.05.21

Kłady płaszczyzn

11

Kłady płaszczyzny bocznie

rzutującej

=
v



º

x

= h



º

Kład na rzutnię
pionową

Kład na rzutnię
poziomą

z

k



h



v



º

h



º

v



y

y

7.05.21

Kłady prostych

12

Kład prostej płaszczyzny

bocznie rzutującej

=
h



º

x

v



h



v



º

z

y

y

k



a
”

a’

a
º

V

a

”

V

a

H

a

H

a

’

Kład na rzutnię
poziomą

=
H

a

º

V

a

º

7.05.21

Kłady prostych

13

Kład prostej płaszczyzny dowolnej

x

=
h



º

v



h



v



º

Bº

B’

X



B
”

Kład na rzutnię
poziomą

b’

b
”

bº

V

b

º

V

b

V

b

”

H

b

’

H

b

”

=
H

b

º

7.05.21

Kład punktu

14

Kład punktu płaszczyzny dowolnej

przy pomocy prostej

x

=
h



º

v



h



b
”

b’

v



º

Bº

A
”

A’

B’

X



bº

Aº

X

b

B
”

Kład na rzutnię
poziomą

7.05.21

Kład punktu

15

Kład punktu płaszczyzny dowolnej

przy pomocy trójkąta obrotu

x

=
h



º

v



h



w

w

A’

A
”

Aº

Kład na rzutnię
poziomą

v



º

7.05.21

16

Figury płaskie na płaszczyznach

Wyznaczanie wielkości rzeczywistych

• Trójkąt na płaszczyźnie pionowo rzutującej

(1)

• Trójkąt na płaszczyźnie pionowo rzutującej

(2)

• Trójkąt na płaszczyźnie dowolnej

Wykreślanie rzutów

• Prostokąt na płaszczyźnie bocznie rzutującej

7.05.21

Kłady figur płaskich

17

Trójkąt na płaszczyźnie pionowo

rzutującej

x

=
h



º

h



v



v



º

X



Aº

Bº

A
”

B
”

C
”

Cº

B’

A’

C’

Kład na rzutnię
poziomą

7.05.21

Kłady figur płaskich

18

Trójkąt na płaszczyźnie pionowo

rzutującej

x

= v



º

h



v



A
”

B
”

C
”

h



º

X



Aº

Bº

Cº

B’

A’

C’

Kład na rzutnię

pionową

7.05.21

Wyznaczanie rzutów figur płaskich

19

Prostokąt na płaszczyźnie bocznie

rzutującej

=
h



º

x

v



h



v



º

z

y

y

k



a”

a’

b”

b’

D’

C’

A’

B’

A
”

D
”

B
”

C
”

bº

aº

Aº

Bº

Cº

D
º

Rzuty prostokąta danego

punktami ABCD, leżącego

na płaszczyźnie bocznie

rzutującej danej śladami

7.05.21

Kłady figur płaskich

20

Trójkąt na płaszczyźnie dowolnej

x

=
h



º

v



h



v



º

X



Bº

Cº

v



h



Aº

A
”

B
”

C
”

A’

B’

C’

D
º

D’

X

b

Kład na rzutnię
poziomą

7.05.21

21

Bryły na płaszczyznach

Wykreślanie rzutów

• Czworościan na płaszczyźnie bocznie rzutującej

• Sześcian na płaszczyźnie dowolnej

7.05.21

Wyznaczanie rzutów brył

22

Czworościan foremny na

płaszczyźnie bocznie rzutującej

=
h



º

x

v



h



v



º

z

y

y

k



Rzuty czworościanu

foremnego ABCW danego

długością boku, stojącego

na płaszczyźnie bocznie

rzutującej danej śladami.

W
º

aº

Cº

b”

b’

a’

a”

A
”

A’

B
”

C
”

C’

B’

W
”

W’

A”
’

B”
’

C”
’

W”
’

bº

W

TO

Aº

Bº

7.05.21

23

Wyznaczanie odległości pomiędzy

obiektami

• Punkt i prosta
• Proste równoległe
• Proste wichrowate
• Punkt i płaszczyzna – prosta pomocnicza
• Punkt i płaszczyzna – metoda kładu
• Prosta i płaszczyzna
• Dwie płaszczyzny

7.05.21

24

Wzajemne położenia prostych i płaszczyzn

• Płaszczyzny dowolne przecinające się
• Równoległość prostej i płaszczyzny
• Prosta i płaszczyzna w położeniu ogólnym
• Prostopadłość prostej i płaszczyzny

7.05.21

Wzajemne położenia dwu płaszczyzn

25

Płaszczyzny dowolne przecinające się

k – krawędź pomiędzy płaszczyznami

x

h



v



X



k’

k
”

v



h



H

k

V

k

X



7.05.21

Wzajemne połozenia prostej i płaszczyzny

26

Równoległość prostej i płaszczyzny

Prosta m jest równoległa
do płaszczyzny



gdy

jest równoległa do
prostej n należącej do
tej płaszczyzny.

x

h



v



n
”

m’

n’

m”

H

n

V

n





m

n

m

n

m

n









"

"

'

'

7.05.21

Wzajemne połozenia prostej i płaszczyzny

27

Prosta i płaszczyzna

w położeniu ogólnym

x

h



v



k’

m’

m”

H

n

P’

P”

k”

Punkt P jest punktem
przebicia płaszczyzny
przez prostą

X



h



v



V

n

7.05.21

Wzajemne połozenia prostej i płaszczyzny

28

Prostopadłość prostej i płaszczyzny

Prosta jest prostopadła do płaszczyzny gdy jest
prostopadła do co najmniej dwóch prostych
przecinających się, należących do tej płaszczyzny.

Prosta przebija płaszczy-
znę pod kątem prostym,
jeżeli jej rzuty są prosto-
padłe do odpowiednich
śladów płaszczyzny.

Warunek konieczny

i wystarczający.

















b

h

b

v

b

"

'

x

h



v



b
”

b’

h





v



k’

k”

P’

P
”

7.05.21

Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami

29

Odległość punktu i prostej



–

płaszczyzna prostopadła

do prostej

a

i przechodząca

przez punkt

A

B –

punkty przebicia

płaszczyzny



przez prostą

a

odcinek

AB

–

odległość

punktu od prostej

k – krawędź pomiędzy

płaszczyznami



i



x

v

β

a”

b’

b”

h

α

v

α

h

β

a’

k”

A



B





–

płaszczyzna pionowo

rzutująca przechodząca przez

prostą

a

B’

B”

A”

A’

Odległość – odcinek prostopadły

do prostej

a

z punktu

A

7.05.21

Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami

30

Odległość dwóch prostych

równoległych



- płaszczyzna prostopadła

do prostych a i b

a’

b’

v

g

a”

b”

v

α

v

β

h

α

h

β

h

g

A”

B”

A

°

B

°

x

Odległość - odcinek prostopadły

do prostych a i b



i



–

płaszczyzny pionowo

rzutujące przechodzące przez

proste a i b

A

i

B –

punkty przebicia

płaszczyzny



przez proste a i b

odcinek

AB

–

odległość dwóch

prostych równoległych

k

α

’ k

β

’

A’

B’

k – krawędzie pomiędzy

płaszczyznami



i



oraz



7.05.21

Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami

31

Odległość prostych wichrowatych

Odległość –

najmniejszy odcinek

łączący proste

a

i

b

(wzajemnie do nich

prostopadły)

odcinek

CD

–

odległość

dwóch prostych

wichrowatych

x

1

b”

a”

b’

a’

x

2

B

1

’

B

2

’

A

2

’

A

1

’

B

2

”

A

2

’

A

1

”

B

1

”

B

2

”

’

A

2

”’

B

1

”

’

A

1

”

’

a”’

b”’

x

3

B

1

”

”

B

2

”

”

a”
”

C”
’

D”
’

b”
”

C””

D”
”

D
”

C
”

C’

D’

7.05.21

Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami

32

Odległość punktu i płaszczyzny

prosta pomocnicza

Odległość - odcinek prostopadły

do płaszczyzny





–

płaszczyzna pionowo

rzutująca zawierająca prostą

a

B –

punkty przebicia

płaszczyzny



przez prostą

a

odcinek

AB

–

odległość

punktu od płaszczyzny

k – krawędź pomiędzy

płaszczyznami



i



x

h

α

v

α

h

β

v

β

a”

B



a’

k”

A



B’

A’

B”

A”

a

– prosta przechodząca przez A i

prostopadła do



7.05.21

Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami

33

Odległość punktu i płaszczyzny

metoda kładu

Odległość - odcinek prostopadły

do płaszczyzny





–

płaszczyzna pionowo rzutująca

przechodząca przez punkt

A

i

prostopadła do



B –

punkt przebicia

płaszczyzny



przez prostą

zawierającą odcinek AB

odcinek

AB

–

odległość

punktu od płaszczyzny

k – krawędź pomiędzy

płaszczyznami



i



x

h

α

v

α

h

β

k



A



B



A”

k”

v

β

k’

h

β



v

β



B”

A’

B’

7.05.21

Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami

34

b’

Odległość prostej i płaszczyzny

Odległość - odcinek prostopadły

do płaszczyzny



i prostej

a



–

płaszczyzna pionowo

rzutująca przechodząca

przez prostą

b

B –

punkt przebicia

płaszczyzny



przez prostą

b

odcinek

AB

–

odległość

prostej i płaszczyzny

b

– prosta prostopadła do

płaszczyzny



i prostej

a

x

h

α

v

α

h

β

B



b”

v

β

A



a”

a’

k”

A”

A’

B

’

B”

k – krawędź pomiędzy

płaszczyznami



i



7.05.21

Wyznaczanie odległości pomiędzy obiektami

35

Odległość dwóch płaszczyzn

Odległość - odcinek prostopadły

do płaszczyzn



i





–

płaszczyzna pionowo

rzutująca przechodząca

przez prostą

b

A i B –

punkty przebicia

płaszczyzn przez prostą

b

odcinek

AB

–

odległość

punktu od płaszczyzny

b – prosta prostopadła do

płaszczyzn



i



x

h

α

v

α

b’

h



h

β

v

β

b”

v



B



B’

A



A”

A’

B”