WYZNACZNIKI
1o Definicja wyznaczników:
• Wyznacznik stopnia I definiujemy następująco :
np:
•Wyznacznikiem stopnia II nazywamy wyrażenie postaci :
np:
•Wyznaczniki stopnia III określamy metodą Sarrusa :
•Wyznacznik stopnia n - tego definiujemy metodą Laplace'a w następujący sposób :
przy czym
są dopełnieniami algebraicznymi elementów aik, a Mik są podwyznacznikami (minorami) otrzymanymi z wyznacznika W przez skreślenie w nim i - tego wiersza i k - tej kolumny.
Przykład 1
Metoda Sarrusa
Uwaga
Z definicji Laplace'a wynika że :
α) wyznacznik stopnia n - tego sprowadza się do n - wyznaczników stopnia (n-1) -ego,
β) im więcej zer w wybranym wierszu (kolumnie), tym mniej minorów potrzebnych do wyliczenia ,
χ) jeżeli wiersz składa się z samych zer, to wartość wyznacznika wynosi 0,
δ) wartość wyznacznika nie ulega zmianie bez względu na wybór wiersza lub kolumny,
ε) zamiana dwóch wierszy (kolumn) powoduje zmianę znaku wykładnika ,
φ) zamiana wierszy na kolumny i odwrotnie nie odgrywa roli.
Wniosek 1
W celu obliczenia wyznacznika należy go tak przekształcić, aby w wybranym wierszu (kolumnie) uzyskać jak największa ilość zer; w tym celu wykorzystujemy twierdzenie:
TWE 1
Pomnożenie wiersza (kolumny) przez jakąś liczbę i dodanie go do innego wiersza (kolumny) nie zmienia wartości wyznacznika
Wniosek 2
Wartość wyznacznika wynosi zero, jeżeli 2 wiersze (kolumny) są równe lub proporcjonalne.
Przykład 2
Przykład 3
Przykład 4
Własności wyznaczników
1.Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie jeżeli dowolny wiersz lub kolumnę pomnożymy przez jakąś liczbę i dodamy do innego wiersza lub kolumny lub odejmiemy .
2.Wartość wyznacznika zmieni znak jeżeli przestawimy ze sobą dwa sąsiednie wiersze lub kolumny.
3.Wspólny czynnik danego wiersza lub kolumny można wyłączyć przed znak wyznacznika .
4.Wartość wyznacznika wynosi zero jeżeli :
a . Wszystkie elementy danego wiersza lub kolumny są zerami .
Gdy wiersze lub kolumny są jednakowe.
Gdy wiersze lub kolumny są proporcjonalne.
5.Przestawienie wszystkich wierszy wyznacznika na miejsce jego kolumn i odwrotnie , bez zmiany ich porządku nie zmienia wartości wyznacznika.
Uwaga :
Znajomość działania zgodnie z własnościami wyznaczników pozwala na właściwe działania na macierzach , a co za tym idzie możliwość rozwiązywania równań z wieloma niewiadomymi .
Np. Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych nazywany wyznacznikiem charakterystycznym układu pozwala na zastosowanie w twierdzeniach opracowanych przez wybitnego matematyka Cramera wzory, które wprowadził do nauk matematycznych , pozwalają na sprawne rozwiązywanie równań o wielu niewiadomych.
Przykład 5
Mamy równanie o dwóch niewiadomych .
x + 2y = 3
2x - y = 1
Tworzymy wyznacznik główny przy niewiadomych .
1 2
W = = 1 x (-1) - 2 x 2 = -5
2 -1
Następnie tworzymy wyznaczniki przy niewiadomych x , y .
W tym przypadku zastępujemy kolumnę przy niewiadomych kolumną wyrazów wolnych .
3 2
Wx = = 3 x (-1) - 1 x 2 = -5
1 -1
1 3
Wy = = 1 x 1 - 2 x 3 = -5
2 1
Następnie zgodnie z wzorami Cramera obliczamy niewiadome x i y .
Wx Wy
x = ------- y = ---------
W W
Podobnie postępujemy gdy mamy równania o większej liczbie niewiadomych .
- 71 -
(-2)
(-1)
-1
-1
1
-2
Rozwiniecie Laplace'a
względem I wiersza
1
2
-3
-1
Bo wiersze 1 i 3 są jednakowe
Przepisujemy pierwsze dwa wiersze
-1
-1