WYZNACZNIKI

1^o Definicja wyznaczników:

• Wyznacznik stopnia I definiujemy następująco :

np:

•Wyznacznikiem stopnia II nazywamy wyrażenie postaci :

np:

•Wyznaczniki stopnia III określamy metodą Sarrusa :

•Wyznacznik stopnia n - tego definiujemy metodą Laplace'a w następujący sposób :

przy czym

są dopełnieniami algebraicznymi elementów a_ik, a M_ik są podwyznacznikami (minorami) otrzymanymi z wyznacznika W przez skreślenie w nim i - tego wiersza i k - tej kolumny.

Przykład 1

Metoda Sarrusa

Uwaga

Z definicji Laplace'a wynika że :

α) wyznacznik stopnia n - tego sprowadza się do n - wyznaczników stopnia (n-1) -ego,

β) im więcej zer w wybranym wierszu (kolumnie), tym mniej minorów potrzebnych do wyliczenia ,

χ) jeżeli wiersz składa się z samych zer, to wartość wyznacznika wynosi 0,

δ) wartość wyznacznika nie ulega zmianie bez względu na wybór wiersza lub kolumny,

ε) zamiana dwóch wierszy (kolumn) powoduje zmianę znaku wykładnika ,

φ) zamiana wierszy na kolumny i odwrotnie nie odgrywa roli.

Wniosek 1

W celu obliczenia wyznacznika należy go tak przekształcić, aby w wybranym wierszu (kolumnie) uzyskać jak największa ilość zer; w tym celu wykorzystujemy twierdzenie:

TWE 1

Pomnożenie wiersza (kolumny) przez jakąś liczbę i dodanie go do innego wiersza (kolumny) nie zmienia wartości wyznacznika

Wniosek 2

Wartość wyznacznika wynosi zero, jeżeli 2 wiersze (kolumny) są równe lub proporcjonalne.

Przykład 2

Przykład 3

Przykład 4

• Własności wyznaczników

1.Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie jeżeli dowolny wiersz lub kolumnę pomnożymy przez jakąś liczbę i dodamy do innego wiersza lub kolumny lub odejmiemy .

2.Wartość wyznacznika zmieni znak jeżeli przestawimy ze sobą dwa sąsiednie wiersze lub kolumny.

3.Wspólny czynnik danego wiersza lub kolumny można wyłączyć przed znak wyznacznika .

4.Wartość wyznacznika wynosi zero jeżeli :

a . Wszystkie elementy danego wiersza lub kolumny są zerami .

2. Gdy wiersze lub kolumny są jednakowe.

3. Gdy wiersze lub kolumny są proporcjonalne.

5.Przestawienie wszystkich wierszy wyznacznika na miejsce jego kolumn i odwrotnie , bez zmiany ich porządku nie zmienia wartości wyznacznika.

Uwaga :

Znajomość działania zgodnie z własnościami wyznaczników pozwala na właściwe działania na macierzach , a co za tym idzie możliwość rozwiązywania równań z wieloma niewiadomymi .

Np. Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych nazywany wyznacznikiem charakterystycznym układu pozwala na zastosowanie w twierdzeniach opracowanych przez wybitnego matematyka Cramera wzory, które wprowadził do nauk matematycznych , pozwalają na sprawne rozwiązywanie równań o wielu niewiadomych.

Przykład 5

Mamy równanie o dwóch niewiadomych .

x + 2y = 3

2x - y = 1

Tworzymy wyznacznik główny przy niewiadomych .

1 2

W = = 1 x (-1) - 2 x 2 = -5

2 -1

Następnie tworzymy wyznaczniki przy niewiadomych x , y .

W tym przypadku zastępujemy kolumnę przy niewiadomych kolumną wyrazów wolnych .

3 2

Wx = = 3 x (-1) - 1 x 2 = -5

1 -1

1 3

Wy = = 1 x 1 - 2 x 3 = -5

2 1

Następnie zgodnie z wzorami Cramera obliczamy niewiadome x i y .

Wx Wy

x = ------- y = ---------

W W

Podobnie postępujemy gdy mamy równania o większej liczbie niewiadomych .

- 71 -

(-2)

(-1)

-1

-1

1

-2

Rozwiniecie Laplace'a

względem I wiersza

1

2

-3

-1

Bo wiersze 1 i 3 są jednakowe

Przepisujemy pierwsze dwa wiersze

-1

-1

---