06 Wyznaczniki


WYZNACZNIKI

1o Definicja wyznaczników:

Wyznacznik stopnia I definiujemy następująco :

0x01 graphic
0x08 graphic

np:

0x01 graphic

0x01 graphic

Wyznacznikiem stopnia II nazywamy wyrażenie postaci :

0x08 graphic

0x01 graphic

np:

0x08 graphic

0x08 graphic

Wyznaczniki stopnia III określamy metodą Sarrusa :

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Wyznacznik stopnia n - tego definiujemy metodą Laplace'a w następujący sposób :

0x08 graphic

0x08 graphic

przy czym

0x01 graphic
są dopełnieniami algebraicznymi elementów aik, a Mik są podwyznacznikami (minorami) otrzymanymi z wyznacznika W przez skreślenie w nim i - tego wiersza i k - tej kolumny.

Przykład 1

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Metoda Sarrusa

Uwaga

Z definicji Laplace'a wynika że :

α) wyznacznik stopnia n - tego sprowadza się do n - wyznaczników stopnia (n-1) -ego,

β) im więcej zer w wybranym wierszu (kolumnie), tym mniej minorów potrzebnych do wyliczenia ,

χ) jeżeli wiersz składa się z samych zer, to wartość wyznacznika wynosi 0,

δ) wartość wyznacznika nie ulega zmianie bez względu na wybór wiersza lub kolumny,

ε) zamiana dwóch wierszy (kolumn) powoduje zmianę znaku wykładnika ,

φ) zamiana wierszy na kolumny i odwrotnie nie odgrywa roli.

Wniosek 1

W celu obliczenia wyznacznika należy go tak przekształcić, aby w wybranym wierszu (kolumnie) uzyskać jak największa ilość zer; w tym celu wykorzystujemy twierdzenie:

TWE 1

Pomnożenie wiersza (kolumny) przez jakąś liczbę i dodanie go do innego wiersza (kolumny) nie zmienia wartości wyznacznika

Wniosek 2

Wartość wyznacznika wynosi zero, jeżeli 2 wiersze (kolumny) są równe lub proporcjonalne.

Przykład 2

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

Przykład 3

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

Przykład 4

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

1.Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie jeżeli dowolny wiersz lub kolumnę pomnożymy przez jakąś liczbę i dodamy do innego wiersza lub kolumny lub odejmiemy .

2.Wartość wyznacznika zmieni znak jeżeli przestawimy ze sobą dwa sąsiednie wiersze lub kolumny.

3.Wspólny czynnik danego wiersza lub kolumny można wyłączyć przed znak wyznacznika .

4.Wartość wyznacznika wynosi zero jeżeli :

a . Wszystkie elementy danego wiersza lub kolumny są zerami .

  1. Gdy wiersze lub kolumny są jednakowe.

  2. Gdy wiersze lub kolumny są proporcjonalne.

5.Przestawienie wszystkich wierszy wyznacznika na miejsce jego kolumn i odwrotnie , bez zmiany ich porządku nie zmienia wartości wyznacznika.

Uwaga :

Znajomość działania zgodnie z własnościami wyznaczników pozwala na właściwe działania na macierzach , a co za tym idzie możliwość rozwiązywania równań z wieloma niewiadomymi .

Np. Wyznacznik utworzony ze współczynników przy niewiadomych nazywany wyznacznikiem charakterystycznym układu pozwala na zastosowanie w twierdzeniach opracowanych przez wybitnego matematyka Cramera wzory, które wprowadził do nauk matematycznych , pozwalają na sprawne rozwiązywanie równań o wielu niewiadomych.

Przykład 5

Mamy równanie o dwóch niewiadomych .

0x08 graphic

x + 2y = 3

2x - y = 1

Tworzymy wyznacznik główny przy niewiadomych .

0x08 graphic
0x08 graphic

1 2

W = = 1 x (-1) - 2 x 2 = -5

2 -1

Następnie tworzymy wyznaczniki przy niewiadomych x , y .

W tym przypadku zastępujemy kolumnę przy niewiadomych kolumną wyrazów wolnych .

0x08 graphic
0x08 graphic
3 2

Wx = = 3 x (-1) - 1 x 2 = -5

1 -1

0x08 graphic
0x08 graphic
1 3

Wy = = 1 x 1 - 2 x 3 = -5

2 1

Następnie zgodnie z wzorami Cramera obliczamy niewiadome x i y .

Wx Wy

x = ------- y = ---------

W W

Podobnie postępujemy gdy mamy równania o większej liczbie niewiadomych .

- 71 -

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

(-2)

(-1)

-1

-1

1

-2

Rozwiniecie Laplace'a

względem I wiersza

0x01 graphic

1

2

-3

0x01 graphic

-1

Bo wiersze 1 i 3 są jednakowe

0x01 graphic

0x01 graphic

Przepisujemy pierwsze dwa wiersze

-1

-1



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
06 Wyznaczanie ogniskowych soczewek ze wzoru soczewkowego i metodą?ssela
06 Wyznaczanie rzeczywistych wymiarˇw w przestrzeni
06 Wyznaczanie rzeczywistych wymiarów w przestrzeni
Instrukcja 06 Wyznaczenie charakterystyki sta
Cw 06 - Wyznaczanie ogniskowych soczewek ze wzoru soczewkowego i metodą Bessela, Sprawozdania fizyka
06 Wyznaczanie parametrów czwórnika
06 Wyznaczanie ogniskowych soczewek ze wzoru soczewkowego i metodą?ssela
06 Wyznaczanie rzeczywistych wymiarˇw w przestrzeni
Instrukcja 06 Wyznaczenie charakterystyki statycznej siłownika pneumatycznego
06 Metody wyznaczania pol powierzchni
Cw 06 (26) Wyznaczanie pojemności kondensatora
06, WNIOSKI1, Pr˙dko˙˙ d˙wi˙ku wyznaczona w tym ˙wiczeniu za pomoc˙ fali stoj˙cej
MT st w 06
Kosci, kregoslup 28[1][1][1] 10 06 dla studentow
06 Kwestia potencjalności Aid 6191 ppt

więcej podobnych podstron