Metody wyznaczania
pól powierzchni

wykłady z przedmiotu
„Geodezja i kartografia”

Dr hab. inż. Andrzej Kobryń

Kataster



Obliczanie pola powierzchni figur geometrycznych związane jest z

katastrem nieruchomości –instytucją o wielkim znaczeniu dla sprawnego

funkcjonowania państwa, gdyż jest podstawą do ustalania podatku
gruntowego.



Pierwsze znaki zakładania i prowadzenia katastru sięgają okresu

starożytności i odnoszą się do ludów Chaldei, Egiptu oraz Rzymu



Kataster gruntowy określa dla danego obszaru: granicami stan własności

(posiadanie), sytuację, użytkowanie gruntów, ich obszar, klasyfikację,

wartość.



Dane te zebrane są w tzw. operacie katastralnym, zakładanym i
prowadzonym dla jednostek katastralnych.



Na mapach katastralnych przedstawione są:



granice własności użytków gruntowych,



konturów klasyfikacyjnych,



rzuty poziome obiektów stałych (budynki, mosty).



figury zamknięte granicami własności i użytków, odpowiednio

ponumerowane na mapie, stanowią tzw. parcele.

Mapa katastralna

Metody obliczenia pola powierzchni
wykorzystywane w geodezji



analityczna

Na podstawie miar kątowych i liniowych uzyskanych w terenie lub

współrzędnych obliczonych z tych miar.



graficzna

Na podstawie miar uzyskanych z mapy przez pomiar np. długości

lub współrzędnych.



mechaniczna

Przy użyciu przyrządów mechanicznych, zwanych planimetrami
wodzikowymi.



kombinowana (mieszana lub analityczno-graficzna)

Na podstawie miar uzyskanych częściowo w terenie, częściowo zaś

na mapie (zapewnia wyższą dokładność niż metoda graficzna).



automatyczna (=analityczna, ale komputerowo)

Z wykorzystaniem map numerycznych lub map analogowych i

odpowiednich urządzeń elektronicznych (digitizery, planimetry

elektroniczne) wyposażonych w odpowiednie oprogramowanie.

Dokładności poszczególnych metod
obliczania pól powierzchni



najmniej dokładne



metoda graficzna i mechaniczna (błąd względny w
przedziale od 1:100 do 1:300)



nieco bardziej dokładna, lecz bardziej pracochłonna
jest metoda graficzna



metoda mechaniczna niezastąpiona jest przy

obliczaniu pól figur o bardzo nieregularnych obrysach



niska dokładność jest wynikiem nałożenia się błędów

pomiaru graficznego i błędów samej mapy



najbardziej dokładna



metoda analityczna (dokładność zależna od

dokładności pomiarów elementów terenowych)

Pomiary liniowe na mapie



podziałka transwersalna (poprzeczna)

Obliczenie pól prostych figur



dane: długość podstawy i wysokość

trójkąta



dane: dwa boki i kąt między nimi



dane: bok i dwa przyległe do niego kąty



dane: trzy boki trójkąta

c

b

a

ch

bh

ah

P

2

1

2

1

2

1













sin

2

1

sin

2

1

sin

2

1



















c

b

c

a

b

a

P







sin

sin

sin

2

1

2

b

P



)

)(

)(

(

c

p

b

p

a

p

p

P













c

b

a

p







2

1

Obliczenie pól prostych figur



prostokąt



równoległobok

b

a

P







sin

2

1

2

d

P



h

a

P







sin







b

a

P

Obliczenie pól prostych figur



trapez



dowolny czworobok

h

c

P









h

b

a

P





2

1





2

1

2

1

h

h

p

P







sin

2

1







q

p

P

Obliczenie pól prostych figur



podział graficzny na trójkąty



metoda kombinowana

Obliczenie pól prostych figur



zamiana na trójkąt równoważny

Pole wieloboku zdjętego metodą
ortogonalną



z podobieństwa trójkątów wynika



stąd



zatem pole I





)

)(

(

2

1

)

(

2

1

2

1

4

1

4

1

4

1

4

1

.

.

l

l

h

h

x

l

l

h

x

h

P

P

P

zew

I

wew

I

I























4

1

4

1

)

(

h

h

x

l

l

x







)

(

)

(

4

1

1

4

1

h

h

h

l

l

x







)

(

)

(

)

(

)

(

4

1

1

4

1

4

1

4

1

h

h

h

l

l

l

l

x

l

l













Pole wieloboku zdjętego metodą
ortogonalną



wielobok 1-2-3-

4 podzielony linią

pomiarową i liniami domiarów

prostokątnych na trapezy I, II, III i IV,

których pola można obliczyć na

podstawie miar rzędnych i odciętych



różnice rzędnych l są równe

wysokościom



rzędne h są równe podstawom

trapezów



dla trapezów I i III,

których

podstawy są położone po
przeciwnych stronach linii
pomiarowej

,

rzędnej położonej na

zewnątrz wieloboku przypisuje

się znak minus













)

(

)

(

)

)(

(

)

(

2

1

2

1

4

3

2

2

3

4

3

4

3

1

4

1

4

l

l

h

h

l

l

h

h

l

l

h

h

l

l

h

h

P



























Pole wieloboku zdjętego metodą
biegunową

czyli:

Stąd wynika:

Kontrola:

)

sin(

2

1

)

sin(

2

1

)

sin(

2

1

)

sin(

2

1

1

4

1

4

3

4

3

4

2

3

2

3

1

2

1

2



































r

r

r

r

r

r

r

r

P

)

sin(

)

sin(

)

sin(

)

sin(

2

4

1

4

1

3

4

4

3

2

3

3

2

1

2

2

1



































r

r

r

r

r

r

r

r

P













n

i

i

i

i

i

r

r

P

1

1

1

)

sin(

2















n

i

i

i

1

1

0

)

(





Pole wieloboku ze współrzędnych
prostokątnych

Suma pól odpowiednich trapezów

o podstawach równoległych do
osi X:

stąd:

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

2

4

1

4

1

4

3

3

4

3

2

2

3

1

2

1

2

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

P









































n

i

i

i

i

i

y

y

x

x

P

1

1

1

)

)(

(

2

Pole wieloboku ze współrzędnych
prostokątnych

Suma pól odpowiednich trapezów

o podstawach równoległych do
osi Y:

stąd:

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

)

)(

(

2

4

1

4

1

3

4

3

4

3

2

2

3

2

1

2

1

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

P











































n

i

i

i

i

i

x

x

y

y

P

1

1

1

)

)(

(

2

Pole wieloboku ze współrzędnych
prostokątnych – wzory Gaussa

Po wymnożeniu wyrazów w
nawiasach i uporządkowaniu:

oraz:













n

i

i

i

i

y

y

x

P

1

1

1

)

(

2















n

i

i

i

i

x

x

y

P

1

1

1

)

(

2

Obliczanie pól metodą mechaniczną



planimetry

Budowa planimetru

Planimetrowanie z biegunem na
zewnątrz



pole cząstkowe dP (ograniczone
punktami O

1

,W

1

, W

2

, O

2

) złożone z



równoległoboku (

kolor niebieski

)



wycinka kołowego (

kolor zielony

)



suma tych pól



droga kółka całkującego podczas
ruchu z W

1

do W

2

stąd:

2

2

1

r

d

dh

r

dP













d

r

dh

dl







'



d

r

dl

dh







'

Planimetrowanie z biegunem na
zewnątrz (c.d.)



po podstawieniu do równania
wyjściowego

stąd:

(*)



suma wszystkich pól cząstkowych (po
obwiedzeniu całej figury)



ponieważ



więc

2

2

1

)

'

(

r

d

d

r

dl

r

dP

















)

2

1

'

(

2

r

r

r

d

dl

r

dP





























)

2

1

'

(

2

r

r

r

d

dl

r

dP

P



0







d





dl

r

P

Planimetrowanie z biegunem na
zewnątrz (c.d.)



wielkość

S

dl jest całkowitą drogą

odpowiadającą efektywnemu obrotowi
kółka całkującego



drogę

S

dl można wyrazić jako

k-

liniowa wartość jednostki odczytu,

czyli 0,001 obwodu kółka



stąd



ponieważ k oraz r nie zmieniają się
podczas planimetrowania, więc







k

n

n

dl

)

(

1

2

)

(

1

2

n

n

r

k

P







)

(

1

2

1

n

n

C

P





Planimetrowanie z biegunem
wewnątrz



cały planimetr (łącznie z
biegunem) znajduje się w
granicach konturu
planimetrowanej (dużej) figury.



ramię biegunowe zakreśla
koło o promieniu R.



drugą część figury zakreśla
ramię wodzące
(powierzchnia między
kołem a obwodem figury)

Planimetrowanie z biegunem
wewnątrz (c.d.)



łączne pole (suma pola
wyrażonego wzorem (*) oraz
pola koła o promieniu R)



ponieważ

oraz

więc

stąd:

2

2

)

2

1

'

(

R

r

r

r

d

dl

r

P

























2



d

)

(

1

2

1

n

n

C

dl

r







2

2

1

2

1

)

2

1

'

(

2

)

(

R

r

r

r

n

n

C

P

















)

'

2

(

)

(

2

2

1

2

1

r

r

r

R

n

n

C

P















Planimetrowanie z biegunem
wewnątrz (c.d.)



stała dodawania



stałą dodawania można
interpretować jako pole koła
obojętnego o promieniu R’:

gdzie:



ostatecznie:

)

'

2

(

2

2

2

r

r

r

R

C











2

1

2

1

)

(

C

n

n

C

P







2

2

'

R

C





rR

R

r

R

2

'

2

2

2







Wyznaczanie stałych planimetru



wyznaczenie



poprzez wielokrotne obwiedzenie z biegunem na zewnątrz
jednego lub dwóch kwadratów siatki kartograficznej



na tej podstawie wyznaczymy rzeczywistą wartość stałej C

1

,

która odpowiada aktualnej długości promienia wodzącego r’



zgodnie ze wzorem (*)

długość ramienia wodzącego r jest proporcjonalna do stałej C

1



pożądaną długość ramienia r odpowiadającą „

okrągłej

” stałej C

1

obliczymy więc na podstawie proporcji



stąd wynika:

1

1

'

:

'

:

c

c

r

r







1

1

'

:

'

c

c

r

r



















)

2

1

'

(

2

r

r

r

d

dl

r

dP

P



)

(

1

2

1

n

n

P

C





Planimetrowanie