Metody wyznaczania
pól powierzchni
wykłady z przedmiotu
„Geodezja i kartografia”
Dr hab. inż. Andrzej Kobryń
Metody wyznaczania
pól powierzchni
wykłady z przedmiotu
„Geodezja i kartografia”
Dr hab. inż. Andrzej Kobryń
Kataster
Obliczanie pola powierzchni figur geometrycznych związane jest z
katastrem nieruchomości –instytucją o wielkim znaczeniu dla sprawnego
funkcjonowania państwa, gdyż jest podstawą do ustalania podatku
gruntowego.
Pierwsze znaki zakładania i prowadzenia katastru sięgają okresu
starożytności i odnoszą się do ludów Chaldei, Egiptu oraz Rzymu
Kataster gruntowy określa dla danego obszaru: granicami stan własności
(posiadanie), sytuację, użytkowanie gruntów, ich obszar, klasyfikację,
wartość.
Dane te zebrane są w tzw. operacie katastralnym, zakładanym i
prowadzonym dla jednostek katastralnych.
Na mapach katastralnych przedstawione są:
granice własności użytków gruntowych,
konturów klasyfikacyjnych,
rzuty poziome obiektów stałych (budynki, mosty).
figury zamknięte granicami własności i użytków, odpowiednio
ponumerowane na mapie, stanowią tzw. parcele.
Mapa katastralna
Metody obliczenia pola powierzchni
wykorzystywane w geodezji
analityczna
Na podstawie miar kątowych i liniowych uzyskanych w terenie lub
współrzędnych obliczonych z tych miar.
graficzna
Na podstawie miar uzyskanych z mapy przez pomiar np. długości
lub współrzędnych.
mechaniczna
Przy użyciu przyrządów mechanicznych, zwanych planimetrami
wodzikowymi.
kombinowana (mieszana lub analityczno-graficzna)
Na podstawie miar uzyskanych częściowo w terenie, częściowo zaś
na mapie (zapewnia wyższą dokładność niż metoda graficzna).
automatyczna (=analityczna, ale komputerowo)
Z wykorzystaniem map numerycznych lub map analogowych i
odpowiednich urządzeń elektronicznych (digitizery, planimetry
elektroniczne) wyposażonych w odpowiednie oprogramowanie.
Dokładności poszczególnych metod
obliczania pól powierzchni
najmniej dokładne
metoda graficzna i mechaniczna (błąd względny w
przedziale od 1:100 do 1:300)
nieco bardziej dokładna, lecz bardziej pracochłonna
jest metoda graficzna
metoda mechaniczna niezastąpiona jest przy
obliczaniu pól figur o bardzo nieregularnych obrysach
niska dokładność jest wynikiem nałożenia się błędów
pomiaru graficznego i błędów samej mapy
najbardziej dokładna
metoda analityczna (dokładność zależna od
dokładności pomiarów elementów terenowych)
Pomiary liniowe na mapie
podziałka transwersalna (poprzeczna)
Obliczenie pól prostych figur
dane: długość podstawy i wysokość
trójkąta
dane: dwa boki i kąt między nimi
dane: bok i dwa przyległe do niego kąty
dane: trzy boki trójkąta
c
b
a
ch
bh
ah
P
2
1
2
1
2
1
sin
2
1
sin
2
1
sin
2
1
c
b
c
a
b
a
P
sin
sin
sin
2
1
2
b
P
)
)(
)(
(
c
p
b
p
a
p
p
P
c
b
a
p
2
1
Obliczenie pól prostych figur
prostokąt
równoległobok
b
a
P
sin
2
1
2
d
P
h
a
P
sin
b
a
P
Obliczenie pól prostych figur
trapez
dowolny czworobok
h
c
P
h
b
a
P
2
1
2
1
2
1
h
h
p
P
sin
2
1
q
p
P
Obliczenie pól prostych figur
podział graficzny na trójkąty
metoda kombinowana
Obliczenie pól prostych figur
zamiana na trójkąt równoważny
Pole wieloboku zdjętego metodą
ortogonalną
z podobieństwa trójkątów wynika
stąd
zatem pole I
)
)(
(
2
1
)
(
2
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
.
.
l
l
h
h
x
l
l
h
x
h
P
P
P
zew
I
wew
I
I
4
1
4
1
)
(
h
h
x
l
l
x
)
(
)
(
4
1
1
4
1
h
h
h
l
l
x
)
(
)
(
)
(
)
(
4
1
1
4
1
4
1
4
1
h
h
h
l
l
l
l
x
l
l
Pole wieloboku zdjętego metodą
ortogonalną
wielobok 1-2-3-
4 podzielony linią
pomiarową i liniami domiarów
prostokątnych na trapezy I, II, III i IV,
których pola można obliczyć na
podstawie miar rzędnych i odciętych
różnice rzędnych l są równe
wysokościom
rzędne h są równe podstawom
trapezów
dla trapezów I i III,
których
podstawy są położone po
przeciwnych stronach linii
pomiarowej
,
rzędnej położonej na
zewnątrz wieloboku przypisuje
się znak minus
)
(
)
(
)
)(
(
)
(
2
1
2
1
4
3
2
2
3
4
3
4
3
1
4
1
4
l
l
h
h
l
l
h
h
l
l
h
h
l
l
h
h
P
Pole wieloboku zdjętego metodą
biegunową
czyli:
Stąd wynika:
Kontrola:
)
sin(
2
1
)
sin(
2
1
)
sin(
2
1
)
sin(
2
1
1
4
1
4
3
4
3
4
2
3
2
3
1
2
1
2
r
r
r
r
r
r
r
r
P
)
sin(
)
sin(
)
sin(
)
sin(
2
4
1
4
1
3
4
4
3
2
3
3
2
1
2
2
1
r
r
r
r
r
r
r
r
P
n
i
i
i
i
i
r
r
P
1
1
1
)
sin(
2
n
i
i
i
1
1
0
)
(
Pole wieloboku ze współrzędnych
prostokątnych
Suma pól odpowiednich trapezów
o podstawach równoległych do
osi X:
stąd:
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
2
4
1
4
1
4
3
3
4
3
2
2
3
1
2
1
2
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
P
n
i
i
i
i
i
y
y
x
x
P
1
1
1
)
)(
(
2
Pole wieloboku ze współrzędnych
prostokątnych
Suma pól odpowiednich trapezów
o podstawach równoległych do
osi Y:
stąd:
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
)
)(
(
2
4
1
4
1
3
4
3
4
3
2
2
3
2
1
2
1
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
P
n
i
i
i
i
i
x
x
y
y
P
1
1
1
)
)(
(
2
Pole wieloboku ze współrzędnych
prostokątnych – wzory Gaussa
Po wymnożeniu wyrazów w
nawiasach i uporządkowaniu:
oraz:
n
i
i
i
i
y
y
x
P
1
1
1
)
(
2
n
i
i
i
i
x
x
y
P
1
1
1
)
(
2
Obliczanie pól metodą mechaniczną
planimetry
Budowa planimetru
Planimetrowanie z biegunem na
zewnątrz
pole cząstkowe dP (ograniczone
punktami O
1
,W
1
, W
2
, O
2
) złożone z
równoległoboku (
kolor niebieski
)
wycinka kołowego (
kolor zielony
)
suma tych pól
droga kółka całkującego podczas
ruchu z W
1
do W
2
stąd:
2
2
1
r
d
dh
r
dP
d
r
dh
dl
'
d
r
dl
dh
'
Planimetrowanie z biegunem na
zewnątrz (c.d.)
po podstawieniu do równania
wyjściowego
stąd:
(*)
suma wszystkich pól cząstkowych (po
obwiedzeniu całej figury)
ponieważ
więc
2
2
1
)
'
(
r
d
d
r
dl
r
dP
)
2
1
'
(
2
r
r
r
d
dl
r
dP
)
2
1
'
(
2
r
r
r
d
dl
r
dP
P
0
d
dl
r
P
Planimetrowanie z biegunem na
zewnątrz (c.d.)
wielkość
S
dl jest całkowitą drogą
odpowiadającą efektywnemu obrotowi
kółka całkującego
drogę
S
dl można wyrazić jako
k-
liniowa wartość jednostki odczytu,
czyli 0,001 obwodu kółka
stąd
ponieważ k oraz r nie zmieniają się
podczas planimetrowania, więc
k
n
n
dl
)
(
1
2
)
(
1
2
n
n
r
k
P
)
(
1
2
1
n
n
C
P
Planimetrowanie z biegunem
wewnątrz
cały planimetr (łącznie z
biegunem) znajduje się w
granicach konturu
planimetrowanej (dużej) figury.
ramię biegunowe zakreśla
koło o promieniu R.
drugą część figury zakreśla
ramię wodzące
(powierzchnia między
kołem a obwodem figury)
Planimetrowanie z biegunem
wewnątrz (c.d.)
łączne pole (suma pola
wyrażonego wzorem (*) oraz
pola koła o promieniu R)
ponieważ
oraz
więc
stąd:
2
2
)
2
1
'
(
R
r
r
r
d
dl
r
P
2
d
)
(
1
2
1
n
n
C
dl
r
2
2
1
2
1
)
2
1
'
(
2
)
(
R
r
r
r
n
n
C
P
)
'
2
(
)
(
2
2
1
2
1
r
r
r
R
n
n
C
P
Planimetrowanie z biegunem
wewnątrz (c.d.)
stała dodawania
stałą dodawania można
interpretować jako pole koła
obojętnego o promieniu R’:
gdzie:
ostatecznie:
)
'
2
(
2
2
2
r
r
r
R
C
2
1
2
1
)
(
C
n
n
C
P
2
2
'
R
C
rR
R
r
R
2
'
2
2
2
Wyznaczanie stałych planimetru
wyznaczenie
poprzez wielokrotne obwiedzenie z biegunem na zewnątrz
jednego lub dwóch kwadratów siatki kartograficznej
na tej podstawie wyznaczymy rzeczywistą wartość stałej C
1
,
która odpowiada aktualnej długości promienia wodzącego r’
zgodnie ze wzorem (*)
długość ramienia wodzącego r jest proporcjonalna do stałej C
1
pożądaną długość ramienia r odpowiadającą „
okrągłej
” stałej C
1
obliczymy więc na podstawie proporcji
stąd wynika:
1
1
'
:
'
:
c
c
r
r
1
1
'
:
'
c
c
r
r
)
2
1
'
(
2
r
r
r
d
dl
r
dP
P
)
(
1
2
1
n
n
P
C
Planimetrowanie