2.

Metody wyznaczania macierzy odwrotnej: metoda wyznacznikowa (za pomocą dopełnień algebraicznych), metoda operacji
elementarnych. Przykłady zastosowań macierzy w zagadnieniach ekonomicznych.

Zadanie 4. [wyznaczanie macierzy odwrotnej]

Macierz jest nieosobliwa jeżeli jej wyznacznik jest różny od zera.

Macierz odwrotna A

-1

do macierzy kwadratowej nie-osobliwej A nazywamy taką macierz, że A

-1

A= A A

-1

. Można dowieść,

ż

e A

-1

=

A

det

1

[A

ik

]

T ,

gdzie [A

ik

]

T

jest transponowaną macierzą dopełnień algebraicznych.(metoda wyznacznikowa)

( )

(

)

( )

1

1

1

~

−

−

−

Ι

=

Ι

⋅

A

A

A

A

I

A

(metoda operacji elementarnych)

a) A =













5

3

2

1

b) A =













5

2

2

1

c) A =













1

3

3

8

d)





















−

−

1

1

2

1

2

4

1

1

3

Zadanie 5. Dla poniższej macierzy znajdź:

a) wyznacznik macierzy,
b)

macierz dopełnień algebraicznych,

c)

macierz transponowaną dopełnień algebraicznych,

d)

macierz odwrotną.

























−

4

2

8

2

1

1

4

1

0

3

2

0

1

2

0

1

Zadanie 6. [rząd macierzy] Znajdź rzędy następujących macierzy:

Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy

(i)

zamianę wierszy (kolumn) ;

(ii)

pomnożenie wiersza (kolumny) przez liczbę różną od 0 ;

(iii)

pomnożenie wybranego wiersza (kolumny) przez pewną liczbę i dodanie do

innego wiersza (kolumny)

Macierze nazywamy równoważnymi, jeżeli jedna powstaje z drugiej przez zastosowanie
działań elementarnych .

Stąd A~B <=> r (A) = r (B) (~)- równoważne

a)

1

3

2

6

1

3

1

0

















−

−









b)

1

2

0 1 2 0

1

2

1

2 0 1 2 0

1

2









−

−

−

−





c)

1

2

3

2

1

0

1

3

3









−









−

−





d)

3

5

5

1

1 0

2

2

2

1

1

3









−

−













e)

1

2

3

4

5

5

4

3

2

1

0

0

0

0

0

1

2

1

0

1









−

−

−

−

−













−





f)

1

2

1

2

1

3

0

0

0

2

1

5

1

0

3

3

0

9

−









−





















−









g)

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

































h)

[

]

0 0 0 0

0 10

Zadanie 7. [równanie macierzowe] Zakładamy, że spełniona jest równość

⋅ =

A X

B

.

Znajdź macierz

1

2

x

x

 

=

 

 

X

, jeżeli

1

2

0

,

2

1

3









=

=









−

−









A

B

.