Definicja i metody obliczania macierzy

odwrotnej

Marcin Detka

Katedra Informatyki Stosowanej

Kielce, Październik 2004

1

Macierz odwrotna - definicja

Definicje uzupełniające (przypomnienie)

Podwyznacznikiem danego wyznacznika nazywamy nazywamy każdy wy-

znacznik, który otrzymujemy usuwając z macierzy danego wyznacznika
pewną liczbę wierszy i taką samą liczbę kolumn, zachowując kolejność
pozostałych elementów.

Minorem wyznacznika przynależnym do elementu a

ij

macierzy nazywamy

podwyznacznik danego wyznacznika, który otrzymamy usuwając z ma-
cierzy danego wyznacznika wiersz oraz kolumnę, na przecięciu których
znajduje się ten element.

Dopełnieniem algebraicznym A

ij

elementu a

ij

wyznacznika nazywamy

iloczym minora tego wyznacznika przynależnego do elementu a

ij

oraz

czynnika (−1)

i+j

Jeżeli poprzez A oznaczymy macierz dopełnień algebraicznych dla danej kwa-
dartowej macierzy A o wyznaczniku detA 6= 0 to definicje macierzy odwrot-
nej możemy zapisać:

A

−1

=

1

detA

(A)

T

(1)

Wartość każdego elementu macierzy odwrotnej możemy zapisać przyjmijmy
że: A

−1

= B

b

ij

=

A

ji

detA

(2)

1

2

MACIERZ ODWROTNA - METODĄ GAUSSA-JORDANA

2

Przykład
Obliczanie macierzy odwrotnej z definicji:

A =






3

1 −1

4

2 −1

−2 −1

1






Wyznacznik macierzy wynosi:









3

1 −1

4

2 −1

−2 −1

1









= 1 6= 0

Obliczamy dopełnienia algebraiczne dla każdego elementu macierzy

A

11

= (−1)

1+1







2 −1

−1

1







= 1

A

21

= (−1)

2+1







1 −1

−1

1







= 0

Po obliczeniu wszystkich (jeszcze 7) dopełnień algebraicznych macierz A wy-
nosi

A =






1 −2 0
0

1 1

1 −1 2






Podstawiając do wzoru 1 otrzymujemy macierz odwrotną

A

−1

=

1

1






1 0

1

−2 1 −1

0 1

2






2

Macierz odwrotna - metodą Gaussa-Jordana

Metoda Gaussa-Jordana oparta jest na następujących równaniach

A

−1

A = I

(3)

A

−1

I = A

−1

(4)

Macierz A oraz macierz jednostkową I poddajemy tej samej sekwencji ope-
racji: z symetri powyższych równań wynika że jeżeli ta sekwencja doprowadzi
do przekształcenia macierzy A w macierz I to przekształcana równolegle ma-
cierz jednostkowa powinna stać się macierzą A

−1

2

MACIERZ ODWROTNA - METODĄ GAUSSA-JORDANA

3

Przykład
Obliczanie macierzy odwrotnej metodą Gaussa-Jordana

A =






2 1 1
1 2 1
1 1 2











1 0 0
0 1 0
0 0 1






aby uzyskać a

11

= 1, dzielimy pierwszy wiersz przez warość elementu a

11

A =






1 1/2 1/2
1

2

1

1

1

2











1/2 0 0

0 1 0
0 0 1






aby uzyskać wartość a

21

= 0 odejmujemy od wiersza 2 wiersz 1 pomnożnony

przez warość a

21

oraz aby uzyskać wartość a

31

= 0 odejmujemy od wiersza 3

wiersz 1 pomnożnony przez warość a

31

A =






1 1/2 1/2
0 3/2 1/2
0 1/2 3/2











1/2 0 0

−1/2 1 0
−1/2 0 1






aby uzyskać wartość 1 na przekątnej tzn. aby a

22

= 1 dzielimy wiersz 2 przez

wartość a

22

, aby uzyskać wartość 0 dla elementu a

12

tak uzyskany wiersz

odejmujemy od wiersza 1 mnożąc go wcześniej przez wartość elementu a

12

aby uzyskać wartość 0 dla elementu a

32

tak uzyskany wiersz odejmujemy od

wiersza 3 mnożąc go wcześniej przez wartość elementu a

32

A =






1 0 1/3
0 1 1/3
0 0 4/3











2/3 −1/3 0

−1/3

2/3 0

−1/3 −1/3 1






aby uzyskać wartość 1 na przekątnej tzn. aby a

33

= 1 dzielimy wiersz 3 przez

wartość a

33

, aby uzyskać wartość 0 dla elementu a

13

tak uzyskany wiersz

odejmujemy od wiersza 1 mnożąc go wcześniej przez wartość elementu a

13

aby uzyskać wartość 0 dla elementu a

23

tak uzyskany wiersz odejmujemy od

wiersza 2 mnożąc go wcześniej przez wartość elementu a

23

A =






1 0 0
0 1 0
0 0 1











3/4 −1/4 −1/4

−1/4

3/4 −1/4

−1/4 −1/4

3/4






Zatem

A

−1

=






3/4 −1/4 −1/4

−1/4

3/4 −1/4

−1/4 −1/4

3/4




