MACIERZ ODWROTNA
Macierz odwrotn do kwadratowej macierzy A nazywamy tak macierz
-1
A , dla której
I
1
-1
====
====
A
A
AA
-
,
gdzie I oznacza macierz jednostkow .
Dowodzi si , e macierz odwrotna istnieje dla ka dej macierzy kwadratowej,
której wyznacznik jest ró ny od zera.
Macierz kwadratow o wyznaczniku ró nym od zera nazywamy macierz
nieosobliw .
Twierdzenie. Je eli A jest macierz kwadratow , której wyznacznik jest
ró ny od zera, czyli
0
|
| ≠≠≠≠
A
, to istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna do
macierzy A i jest ona okre lona wzorem:
T
1
|
|
====
∗∗∗∗
−−−−
A
A
A
ik
,
gdzie
|
|
)
1
(
ik
k
i
ik
A
A
++++
∗∗∗∗
−−−−
====
.
∗∗∗∗
ik
A nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu
ik
a
.
Przykład. Znale macierz odwrotn do macierzy
−−−−
−−−−
====
3
2
5
4
3
6
7
5
2
A
.
|A|= – 1 oraz
1
|
3
2
4
3
|
|
|
11
−−−−
====
−−−−
−−−−
====
A
,
38
|
3
5
4
6
|
|
|
12
−−−−
====
−−−−
====
A
,
27
|
2
5
3
6
|
|
|
13
−−−−
====
−−−−
====
A
,
1
|
3
2
7
5
|
|
|
21
−−−−
====
−−−−
−−−−
====
A
,
41
|
3
5
7
2
|
|
|
22
−−−−
====
−−−−
====
A
,
29
|
2
5
5
2
|
|
|
23
−−−−
====
−−−−
====
A
,
1
|
4
3
7
5
|
|
|
31
−−−−
====
====
A
,
34
|
4
6
7
2
|
|
|
32
−−−−
====
====
A
,
24
|
3
6
5
2
|
|
|
33
−−−−
====
====
A
.
Zatem
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====
−−−−
−−−−
−−−−
−−−−
====
−−−−
24
29
27
34
41
38
1
1
1
24
34
1
29
41
1
27
38
1
T
1
A
.
Układy równa liniowych. Układy Cramera.
Układ n równa liniowych o niewiadomych
n
x
x
x
,...,
,
2
1
zapisujemy w postaci
(1)
====
++++
++++
++++
====
++++
++++
++++
====
++++
++++
++++
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
,
...
,
...
2
2
1
1
2
2
2
22
1
21
1
1
2
12
1
11
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
Rozwi zaniem tego układu jest n liczb (
n
x
x
x
,...,
,
2
1
) spełniaj cych równania
(1).
Przyjmijmy oznaczenia:
====
nn
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
A
2
1
2
22
21
1
12
11
====
n
b
b
b
B
2
1
Wyznacznik macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych
nazywamy wyznacznikiem głównym lub charakterystycznym układu (1).
Twierdzenie Cramera. Je eli wyznacznik główny układu (1) jest ró ny od
zera,
0
|
| ≠≠≠≠
A
, to układ ten ma dokładnie jedno rozwi zanie i jest ono okre lone
wzorami
(2)
|
|
|
|
1
1
A
A
x ====
,
|
|
|
|
2
2
A
A
x ====
, … ,
|
|
|
|
A
A
x
n
n
====
,
gdzie
k
A
, k = 1, 2, …, n, jest macierz powstał z macierzy A przez zast pienie
k-tej kolumny kolumn wyrazów wolnych.
Wzory (2) nazywane s wzorami Cramera.
Je eli w układzie (1)
0
...
2
1
====
====
====
====
n
b
b
b
, to układ taki nazywa si układem
jednorodnym.
Wniosek. Je eli wyznacznik główny układu jednorodnego jest ró ny od zera,
to układ taki ma dokładnie jedno rozwi zanie i jest to rozwi zanie zerowe
0
1
====
x
,
0
2
====
x
, …,
0
====
n
x
.
Przykład. Rozwi za układ równa
====
−−−−
====
++++
++++
====
−−−−
++++
0
5
2
3
1
2
z
x
z
y
x
z
y
x
.
Obliczamy wyznacznik główny układu
0
28
5
0
1
1
1
3
1
2
1
|
|
≠≠≠≠
====
−−−−
−−−−
====
A
oraz
15
5
0
0
1
1
2
1
2
1
|
|
1
====
−−−−
−−−−
====
A
,
8
5
0
1
1
2
3
1
1
1
|
|
2
====
−−−−
−−−−
====
A
,
3
0
0
1
2
1
3
1
2
1
|
|
3
====
====
A
.
St d wynika, e
28
15
====
x
,
7
2
====
y
,
28
3
====
z
.