MACIERZ ODWROTNA

Macierz odwrotn do kwadratowej macierzy A nazywamy tak macierz

-1

A , dla której

I

1

-1

====

====

A

A

AA

-

,

gdzie I oznacza macierz jednostkow .

Dowodzi si , e macierz odwrotna istnieje dla ka dej macierzy kwadratowej,

której wyznacznik jest ró ny od zera.

Macierz kwadratow o wyznaczniku ró nym od zera nazywamy macierz

nieosobliw .

Twierdzenie. Je eli A jest macierz kwadratow , której wyznacznik jest

ró ny od zera, czyli

0

|

| ≠≠≠≠

A

, to istnieje dokładnie jedna macierz odwrotna do

macierzy A i jest ona okre lona wzorem:

T

1

|

|

====

∗∗∗∗

−−−−

A

A

A

ik

,

gdzie

|

|

)

1

(

ik

k

i

ik

A

A

++++

∗∗∗∗

−−−−

====

.

∗∗∗∗

ik

A nazywamy dopełnieniem algebraicznym elementu

ik

a

.

Przykład. Znale macierz odwrotn do macierzy

−−−−

−−−−

====

3

2

5

4

3

6

7

5

2

A

.

|A|= – 1 oraz

1

|

3

2

4

3

|

|

|

11

−−−−

====

−−−−

−−−−

====

A

,

38

|

3

5

4

6

|

|

|

12

−−−−

====

−−−−

====

A

,

27

|

2

5

3

6

|

|

|

13

−−−−

====

−−−−

====

A

,

1

|

3

2

7

5

|

|

|

21

−−−−

====

−−−−

−−−−

====

A

,

41

|

3

5

7

2

|

|

|

22

−−−−

====

−−−−

====

A

,

29

|

2

5

5

2

|

|

|

23

−−−−

====

−−−−

====

A

,

1

|

4

3

7

5

|

|

|

31

−−−−

====

====

A

,

34

|

4

6

7

2

|

|

|

32

−−−−

====

====

A

,

24

|

3

6

5

2

|

|

|

33

−−−−

====

====

A

.

Zatem

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

====

−−−−

−−−−

−−−−

−−−−

====

−−−−

24

29

27

34

41

38

1

1

1

24

34

1

29

41

1

27

38

1

T

1

A

.

Układy równa liniowych. Układy Cramera.

Układ n równa liniowych o niewiadomych

n

x

x

x

,...,

,

2

1

zapisujemy w postaci

(1)

====

++++

++++

++++

====

++++

++++

++++

====

++++

++++

++++

.

...

...

...

...

...

...

...

...

...

...

,

...

,

...

2

2

1

1

2

2

2

22

1

21

1

1

2

12

1

11

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

b

x

a

x

a

x

a

Rozwi zaniem tego układu jest n liczb (

n

x

x

x

,...,

,

2

1

) spełniaj cych równania

(1).

Przyjmijmy oznaczenia:

====

nn

n

n

n

n

a

a

a

a

a

a

a

a

a

A

2

1

2

22

21

1

12

11

====

n

b

b

b

B

2

1

Wyznacznik macierzy utworzonej ze współczynników przy niewiadomych

nazywamy wyznacznikiem głównym lub charakterystycznym układu (1).

Twierdzenie Cramera. Je eli wyznacznik główny układu (1) jest ró ny od

zera,

0

|

| ≠≠≠≠

A

, to układ ten ma dokładnie jedno rozwi zanie i jest ono okre lone

wzorami
(2)

|

|

|

|

1

1

A

A

x ====

,

|

|

|

|

2

2

A

A

x ====

, … ,

|

|

|

|

A

A

x

n

n

====

,

gdzie

k

A

, k = 1, 2, …, n, jest macierz powstał z macierzy A przez zast pienie

k-tej kolumny kolumn wyrazów wolnych.

Wzory (2) nazywane s wzorami Cramera.

Je eli w układzie (1)

0

...

2

1

====

====

====

====

n

b

b

b

, to układ taki nazywa si układem

jednorodnym.

Wniosek. Je eli wyznacznik główny układu jednorodnego jest ró ny od zera,

to układ taki ma dokładnie jedno rozwi zanie i jest to rozwi zanie zerowe

0

1

====

x

,

0

2

====

x

, …,

0

====

n

x

.

Przykład. Rozwi za układ równa

====

−−−−

====

++++

++++

====

−−−−

++++

0

5

2

3

1

2

z

x

z

y

x

z

y

x

.

Obliczamy wyznacznik główny układu

0

28

5

0

1

1

1

3

1

2

1

|

|

≠≠≠≠

====

−−−−

−−−−

====

A

oraz

15

5

0

0

1

1

2

1

2

1

|

|

1

====

−−−−

−−−−

====

A

,

8

5

0

1

1

2

3

1

1

1

|

|

2

====

−−−−

−−−−

====

A

,

3

0

0

1

2

1

3

1

2

1

|

|

3

====

====

A

.

St d wynika, e

28

15

====

x

,

7

2

====

y

,

28

3

====

z

.