Rozwiązywanie układów równań metodą macierzy odwrotnej

Wywodząca się z teorii macierzy algebraicznych metoda macierzy odwrotnej znajduje

zastosowanie przy wielokrotnym rozwiązywaniu układów równań liniowych

  

których macierz współczynników A nie jest zmieniana. Innymi słowy, układ jest rozwiązywany

dla różnych wartości wyrazów wolnych tworzących wektor B.

Macierz odwrotna A

-1

względem nieosobliwej macierzy kwadratowej A (której wyznacznik jest

różny od 0) jest również macierzą kwadratową, nieosobliwą tego samego rzędu. Zapisany poniżej

iloczyn







 

jest równy macierzy jednostkowej E, również tego samego rzędu.

Rozwiązanie układu nie ulegnie zmianie w wyniku pomnożenia obu jego stron przez macierz

odwrotną, tj.



 





 





Iloczyn macierzy jednostkowej E i wektora kolumnowego X jest tożsamy z wektorem X. Dzięki

tej właściwości mamy:

 





Z powyższej zależności wynika, że wektor X stanowiący rozwiązanie oblicza się przez

pomnożenie macierzy odwrotnej A

-1

przez wektor wyrazów wolnych B.

Zatem zasadniczym i jednocześnie najtrudniejszym problemem, który należy rozwiązać na

wstępie, jest wyznaczenie macierzy odwrotnej A

-1

.

Jednym ze sposobów jest przekształcenie macierzy


|



do postaci

 



|



Innymi słowy na macierzy A wykonujemy takie operacje elementarne aby stała się ,macierzą

jednostkową. Jednocześnie te same operacje wykonujemy na macierzy jednostkowej. Metoda ta

nazywana jest metodą eliminacji Gaussa-Jordana.