Rozwiązywanie układów równań metodą macierzy odwrotnej 

 

Wywodząca  się  z  teorii  macierzy  algebraicznych  metoda  macierzy  odwrotnej  znajduje 

zastosowanie przy wielokrotnym rozwiązywaniu układów równań liniowych 

   

których  macierz  współczynników  A  nie  jest  zmieniana.  Innymi  słowy,  układ  jest  rozwiązywany 

dla róŜnych wartości wyrazów wolnych tworzących wektor B. 

 

Macierz  odwrotna  A

-1

  względem  nieosobliwej  macierzy  kwadratowej  A  (której  wyznacznik  jest 

róŜny od 0) jest równieŜ macierzą kwadratową, nieosobliwą tego samego rzędu. Zapisany poniŜej 

iloczyn 



  



  

jest równy macierzy jednostkowej E, równieŜ tego samego rzędu. 

 

Rozwiązanie  układu  nie  ulegnie  zmianie  w  wyniku  pomnoŜenia  obu  jego  stron  przez  macierz 

odwrotną, tj. 



  



 

  



 

 

Iloczyn macierzy jednostkowej E i wektora kolumnowego X jest toŜsamy  z wektorem X. Dzięki 

tej właściwości mamy: 

  



 

Z  powyŜszej  zaleŜności  wynika,  Ŝe  wektor  X  stanowiący  rozwiązanie  oblicza  się  przez 

pomnoŜenie macierzy odwrotnej A

-1

 przez wektor wyrazów wolnych B. 

 

Zatem  zasadniczym  i  jednocześnie  najtrudniejszym  problemem,  który  naleŜy  rozwiązać  na 

wstępie, jest wyznaczenie macierzy odwrotnej A

-1

. 

 

Jednym ze sposobów jest przekształcenie macierzy 


|



 

do postaci 

 



|



 

Innymi  słowy  na  macierzy  A  wykonujemy  takie  operacje  elementarne  aby  stała  się  ,macierzą 

jednostkową.  Jednocześnie  te  same  operacje  wykonujemy  na  macierzy  jednostkowej.  Metoda  ta 

nazywana jest metodą eliminacji Gaussa-Jordana.