1

1. Prędkość w ruchu płaskim

10. Ruch płaski ciała sztywnego

A



A



x

y

O



B



s





A



B



B/A







A



B



A’



B’

l

Metody wyznaczania prędkości w ruchu płaskim

1. Analitycznie

Dane: 

A

, 

Szukane: 

B

































A

B

A

B

A

B

/

/

2. Na podstawie położenia

chwilowego środka prędkości

Dane: 

A

,  lub 

A

i położenie s



Szukane: 

B

3. Na podstawie rzutów prędkości

na kierunek wspólnej prostej

Dane: 

A

, kierunek l

prędkości punktu B
Szukane: 

B

'

'

B

A

















A

A



B

B



 

chwilowy środek prędkości

2

Wyznaczyć prędkość punktów A, B, C i D toczącego się
bez poślizgu krążka o promieniu r. Dana jest prędkość
środka krążka 

O

.



O

A

B

C

D

r

O

Zadanie 1

W mechanizmie korbowym korba OA o długości r obraca się z prędkością kątową 

0

wokół

nieruchomej osi. Wyznaczyć prędkość suwaka B oraz prędkość kątową  korbowodu AB w
położeniach mechanizmu pokazanych na rysunku. Długość korbowodu AB równa jest l.

O

A

r



0

l

B

B

A

r

l

O



0

B

A

r

l

O



0

a)

c)

b)

Odp.:

0

0











r

B

2

2

0

2

2

0

l

r

l

r

l

r

B















l

r

B

0

0











Zadanie 2

3

Szpula o promieniach r i 2r
toczy się bez poślizgu po
prostej.

Prędkość

środka

szpuli wynosi 

0

. Ze szpulą

związany jest przegubowo
pręt AB o długości 6r, któ-
rego koniec B ślizga się po
wspomnianej prostej.

Wyznaczyć prędkość

końca B pręta w położeniach
pokazanych na rysunku.

r

2r



0

a)

c)

b)

r

2r



0

r

2r



0

A

B

A

6r

B

A

B

Zadanie 3

Odp.:

0

3



 

B

0









B

















35

2

1

0





B

Mechanizm planetarny składa się z koła centralnego 1 o promieniu
r

1

, satelity 2 o promieniu r

2

, jarzma 3 oraz koła zewnętrznego 4.

Dane Szukane

a) 

1

=0 

4



3

=

0



A

r

1

r

2

O

1

O

2

1

2

3

4



1



2



4



3

A

b) 

1

= 

0



4



3

=–

0



A

c) 

4

= 0



3



1

=

0



A

Zadanie 4





2

1

0

2

1

2

1

0

4

2

2

2

)

r

r

r

r

r

r

a

A



















Odp.:

2

2

2

)

1

0

2

1

1

0

3

r

r

r

r

c

A























2

2

1

2

2

1

0

2

1

2

1

0

4

2

2

2

3

)

r

r

r

r

r

r

r

r

b

A























4

Pręt AB o długości l ślizga się po dwóch prostych nachylonych
pod kątem .

Wyznaczyć prędkość końca B oraz prędkość kątową pręta jeśli

tworzy on z prostą poziomą kąt  (<) zaś prędkość końca A
wynosi 

A

.

Zadanie 5





B

A



A

l





































cos

sin

cos

cos

l

A

A

B

Odp.:

Pręt AB o długości l ślizga się po poziomej prostej oraz po narożu C.
Koniec A pręta posiada prędkość 

A

.

Wyznaczyć prędkość końca B oraz prędkość kątową pręta jeśli

tworzy on z prostą poziomą kąt . Dany jest wymiar h.

B

A



A



C

h

Zadanie 6

Odp.:















2

3

4

2

2

sin

sin

2

sin

h

hl

l

h

h

A

A

B









5

Ze szpuli o promieniach R i r odwinięto nić o długości l. Koniec
nici ciągnięty jest z prędkością .
Po jakim czasie nić nawinie się na szpulkę?

R

r

l



Odp.:

















r

r

R

l

t



Zadanie 7

Szpula o promieniach r i R toczy się bez poślizgu między dwiema
równoległymi listwami posiadającymi prędkości 

1

oraz 

2

.

Wyznaczyć prędkość kątową szpuli oraz prędkości punktów A i B.



1

R

r

A

B



2

Odp.:





R

r

e

r

e

r

B

A















2

1

2

2















2

1

1

2















r

R

e

gdzie:

Zadanie 8

6

Mechanizm składa się z 3 prę-
tów połączonych przegubowo.
Pręty O

1

A oraz O

2

B mogą obra-

cać się wokół nieruchomych osi
O

1

i O

2

. Pręt O

1

A obraca się z

prędkością kątową 

0

.

Wyznaczyć

prędkość

kątową

pręta O

2

B.

Zadanie 9

O

1

O

2

A

B

a

a

a

a



0

2

0







Odp.:

Zadanie 10

O

1

O

2

A

B



A

60°

60°

Mechanizm składa się z 3 prętów połączonych przegubowo.
Pręty O

1

A oraz O

2

B mogą obracać się wokół nieruchomych osi

O

1

i O

2

. Punkt A posiada prędkość 

A

.

Wyznaczyć prędkość punktu B.

A

B





2



Odp.:

7

Pręty AC i BC połączono przegubo-
wo w punkcie C. Końce prętów
ślizgają się wzdłuż wzajemnie
prostopadłych prostych z prędko-
ściami 

A

oraz 

B

.

Wyznaczyć prędkość punktu C w
położeniu mechanizmu pokazanym
na rysunku.

Zadanie 11

60°



B



A

A

C

B

2

2

2

1

B

A

C











Odp.:

Zadanie 12

Koniec A pręta AB o długości 3r ślizga się z prędkością 

A

po

powierzchni walcowej o promieniu r. Równocześnie pręt opiera
się o naroże C.
Wyznaczyć prędkość końca B oraz prędkość kątową pręta w
pokazanym położeniu.

r

B

C

A



A

r

A

A

B

2

2

2

6

13















Odp.:

8

Zadanie 13

Koła o promieniach r

1

i r

2

, z których pierwsze jest nieruchome,

opasano nierozciągliwą, szorstką taśmą zaś ich środki połączono
przegubowym prętem. Obliczyć prędkość kątową



2

drugiego

koła, jeśli prętowi nadano prędkość kątową



0

.

O

1

O

2

r

1

r

2



0



2

1

2

2

0

2

r

r

r









Odp.:

Zadanie 14

Środki trzech kół, mogących toczyć się po sobie bez poślizgu,
połączono listwą, której nadano prędkość kątową



0

. Obliczyć

prędkości kątowe drugiego i trzeciego koła, jeśli koło pierwsze
zostało unieruchomione. Dane są promienie kół.

Odp.:

1

2

2

0

2

1

2

3

3

0

3

r

r

r

r

r

r

r



















O

1

O

2

r

1

r

2



0

r

3

O

3



2



3

9

Zadanie 15

Zagięty pod kątem

=60

o

cienki pręt ślizga się po powierzchni

nieruchomego walca w płaszczyźnie prostopadłej do jego osi.
Punkt A pręta, w którym styka się on z walcem, posiada prędkość


A

. Obliczyć prędkość



B

naroża B pręta.

Odp.:

2

B

A







A



B

Zadanie 16

Ciężar C podnoszony jest za pomocą
mechanizmu wielokrążkowego pokaza-
nego na rysunku.
Jaka będzie prędkość



C

ciężaru, jeśli

koniec liny pociągniemy z prędkością

 ?

Odp.:

1

4

C











C

C

10

Zadanie 17

Na dwóch walcach, o promieniach r

1

i r

2

, ułożono deskę, po czym

środkowi pierwszego walca nadano prędkość



1

.

Obliczyć prędkość



2

środka drugiego walca oraz prędkość

kątową

 deski, jeśli w układzie nie ma poślizgu.

Odp.:

2

1

0











r

1

r

2



1



2

