EJ

q

w

dx

d



4

4



w

dx

d

3

3



w

dx

d

2

2



w

dx

d

1. Swobodny koniec

0

2

2



w

dx

d



w

dx

d

2

2

i

i

i

i

i

i

w

w

w

w

w

w

2

0

2

1

1

1

1























0

3

3



w

dx

d

0

2

0

2

2

1

1

2





















i

i

i

i

i

w

w

w

w

w

1

1

2

2

2

2















i

i

i

i

w

w

w

w





i

i

i

i

i

i

i

i

w

w

w

w

w

w

w

w

4

4

2

2

2

1

2

1

1

2

2





























w punkcie w

i-1

i

i

i

w

w

w

2

1

1











w punkcie w

i

i

i

i

w

w

w

2

1

1











i

i

i

i

w

w

w

w

4

4

1

2

2













dla dwóch ostatnich równań

dla dwóch pierwszych równań

wiersz w

i-1

wiersz w

1

wiersz w

i

wiersz w

2

1

3

2

*

h

W

-1

2

0

-2

1

1

-2

1

2

*

h

W

1

-4

6

-4

1

4

-4

1

-8

4

0

-4

0

1

-4

0

1

2

-1

0

1

-4

6

-4

1

EJ

q

h

W 

4

*

w

i+2

w

i

w

i+1

w

i-1

w

i-2

-1

2

0

-2

1

3

2

*

h

W

2

*

h

W

h

W
2

*











































2

1

1

2

i

i

i

i

i

w

w

w

w

w

W

0

1

-2

1

0

0

-1

0

1

0

w

i+2

w

i

w

i+1

w

i-1

w

i-2

w

i+2

w

i

w

i+1

w

i-1

w

i-2

2

-1

0

1

-4

6

-4

1

MET

O

D

A

R

Ó

Ż

N

IC

SKO

Ń

C

Z

O

N

YC

H

1

0

-4

0

-1

2

2. Utwierdzenie z przesuwem

0



w

dx

d



w

dx

d

1

1

1

1

0

0





















i

i

i

i

i

w

w

w

w

w

0

3

3



w

dx

d

0

2

0

2

2

1

1

2





















i

i

i

i

i

w

w

w

w

w

1

1

2

2

2

2















i

i

i

i

w

w

w

w

2

1

1

2

2

2

2



















i

i

i

i

i

w

w

w

w

w

w punkcie w

i-1

1

1







i

i

w

w

w punkcie w

i

1

1







i

i

w

w

2

2







i

i

w

w

dla dwóch ostatnich równań

dla dwóch pierwszych równań

wiersz w

i-1

wiersz w

1

wiersz w

i

wiersz w

2

2

3

2

*

h

W

-1

2

0

-2

1

-1

0

1

2

*

h

W

1

-4

6

-4

1

0

0

1

0

-4

0

0

-4

1

0

-4

1

0

1

0

0

1

0

1

-4

6

-4

1

w

i+2

w

i

w

i+1

w

i-1

w

i-2

w

i+2

w

i

w

i+1

w

i-1

w

i-2

w

i+2

w

i

w

i+1

w

i-1

w

i-2

0

1

0

1

-4

0

3. Pełne utwierdzenie

w

i

= 0

0



w

dx

d



w

dx

d

1

1

1

1

0

0





















i

i

i

i

i

w

w

w

w

w

dla dwóch ostatnich równań

dla dwóch pierwszych równań

wiersz w

i-1

wiersz w

1

wiersz w

i

wiersz w

2

4. Podpora przegubowa

w

i

= 0

0

2

2



w

dx

d



w

dx

d

2

2

1

1

1

1

0

2





















i

i

i

i

i

w

w

w

w

w

dla dwóch ostatnich równań

dla dwóch pierwszych równań

wiersz w

i-1

wiersz w

1

wiersz w

i

wiersz w

2

3

-1

0

1

2

*

h

W

w

i+2

w

i

w

i+1

w

i-1

w

i-2

w

i+2

w

i

w

i+1

w

i-1

w

i-2

1

-2

1

2

*

h

W

0

-4

0

0

1

0

0

1

0

0

-4

0

0

4

0

0

-1

0

0

-1

0

0

4

0

q

3

w

0

w

1

w

2

w

3

w

4

w

5

w

6

w

-2

w

-1

w

7

w

8

 

 

 

x

EI

x

q

x

w

dx

d



4

4

 

4

4

4

1

h

x

w

dx

d



+1 w

-2

–4 w

-1

+6 w

0

–4 w

1

+1 w

2

w

3

w

4

w

5

w

6

w

7

w

8

= h

4

q

0

/EI

0

w

-2

+1 w

-1

–4 w

0

+6 w

1

–4 w

2

+1 w

3

w

4

w

5

w

6

w

7

w

8

= h

4

q

1

/EI

1

w

-2

w

-1

+1 w

0

–4 w

1

+6 w

2

–4 w

3

+1 w

4

w

5

w

6

w

7

w

8

= h

4

q

2

/EI

2

w

-2

w

-1

w

0

+1 w

1

–4 w

2

+6 w

3

–4 w

4

+1 w

5

w

6

w

7

w

8

= h

4

q

3

/EI

3

w

-2

w

-1

w

0

w

1

+1 w

2

–4 w

3

+6 w

4

–4 w

5

+1 w

6

w

7

w

8

= h

4

q

4

/EI

4

w

-2

w

-1

w

0

w

1

w

2

+1 w

3

–4 w

4

+6 w

5

–4 w

6

+1 w

7

w

8

= h

4

q

5

/EI

5

w

-2

w

-1

w

0

w

1

w

2

w

3

+1 w

4

–4 w

5

+6 w

6

–4 w

7

+1 w

8

= h

4

q

6

/EI

6

Warunki brzegowe:

1) swobodny koniec: M=0, Q=0
2) utwierdzenie: w=0,

=0

3) podpora (koniec belki): w=0, M=0
4) podpora (nie na końcu): w=0

ad 1) M=0, czyli

 

0

2

2



x

w

dx

d

, stąd: w

7

=2w

6

-w

5

Q=0, czyli

 

0

3

3



x

w

dx

d

, stąd: w

8

=4w

6

-4w

5+

w

4

ad 2)

=0, czyli

 

0



x

w

dx

d

, stąd: w

-1

=w

1

w=0, czyli odrzucam odpowiedni wiersz i kolumnę

ad 4) odrzucam odpowiedni wiersz i kolumnę

+6 w

0

(–4–4) w

1

+1 w

2

w

3

w

4

w

5

w

6

= h

4

q

0

/EI

0

–4 w

0

(+6+1) w

1

–4 w

2

+1 w

3

w

4

w

5

w

6

= h

4

q

1

/EI

1

+1 w

0

–4

w

1

+6 w

2

–4 w

3

+1

w

4

w

5

w

6

= h

4

q

2

/EI

2

w

0

+1

w

1

–4 w

2

+6 w

3

–4

w

4

+1

w

5

w

6

= h

4

q

3

/EI

3

w

0

w

1

+1 w

2

–4 w

3

+6

w

4

–4

w

5

+1

w

6

= h

4

q

4

/EI

4

w

0

w

1

w

2

+1 w

3

–4

w

4

(+6–1) w

5

(–4+2) w

6

= h

4

q

5

/EI

5

w

0

w

1

w

2

w

3

(+1+1) w

4

(–4+4-4) w

5

(+6-8+4) w

6

= h

4

q

6

/EI

6

+6 –8 +1

w

0

h

4

q

0

/EI

0

–4 +7 –4 +1

w

1

h

4

q

1

/EI

1

+1 –4 +6 –4 +1

w

2

h

4

q

2

/EI

2

+1 –4 +6 –4 +1

w

3

= h

4

q

3

/EI

3

+1 –4 +6 –4 +1

w

4

h

4

q

4

/EI

4

+1 –4 +5 –2

w

5

h

4

q

5

/EI

5

+2 –4 +2

w

6

h

4

q

6

/EI

6

4

1

–

4

6

–

4

1

% liczba węzłów wynosi 17 (od 0 do 16)
% lewy koniec utwierdzeni
% podpora przegubowa w punkcie nr 8
% prawy koniec swobodny

l = 5;

% długość całej belki [m]

E = 205e9;

% moduł Younga [Pa]

% konstruowanie początkowej macierzy współczynników:
L = eye(17)*6;
L(2:17,1:16) = L(2:17,1:16) - 4*eye(16);
L(1:16,2:17) = L(1:16,2:17) - 4*eye(16);
L(3:17,1:15) = L(3:17,1:15) + 1*eye(15);
L(1:15,3:17) = L(1:15,3:17) + 1*eye(15);

% a) utwierdzenie z lewej strony
L(1:2,1:3) = L(1:2,1:3) + [0 -4 0; 0 1 0];
% b) swobodny koniec z prawej strony
L(16:17,15:17) = L(16:17,15:17) + [0 -1 2; 1 4-4 -8+4];

% uwzględnienie w=0 w utwierdzeniu i w podporze
L(9,:)=[]; % podpora w punkcie nr 8, ale to jest 9 wiersz macierzy
L(:,9)=[];
L(1,:)=[]; % utwierdzenie
L(:,1)=[];

% wektor prawych stron: h^4*q/EI
q= -2*ones(17,1);
I= 2*ones(17,1);
P=(l/16)^4 * (q ./ (E*I));
P(9)=[];
P(1)=[];

% L*W=P co odpowiada równaniu linii ugięcia belki: d2/dx2(EI d2w/dx2) =
q
W = inv(L)*P; % W=L\P;

Ugiecia = [0;W(1:7);0;W(8:15)];

figure(1)
plot([0 l],[0 0],':k'); % oś początkowa
hold on;
plot([0:l/16:l],Ugiecia,'-r','linewidth',3); % oś odkształcona
xlabel('Dlugosc [m]')
ylabel('Ugiecie [m]')

5