Belka MES

a) schemat belki, b) dyskretyzacja, c) globalna numeracja SS

d)lokalna numeracja SS

1. Liczba węzłów (LW=3)

2. liczba elementów (LE=2)

3.Liczba stopni swobody węzła (LSSW=2)

q^e={q(1), q(2)}, q(w)={v(w), φ(w)}

4. Liczba stopni swobody układ (LSSWU=6)

5. Wektor uogólnionych przemieszczeń w ukł. Globalnym

Q={Q₁, Q₂, Q₃, Q_4, Q₅, Q₆}={V(1), φ(1), V(2), φ(2), V(3), φ(3)}

6. Związki między globalnymi i lokalnymi stopniami swobody ES

Elemen1: q={q₁¹, q₂¹, q₃¹, q₄¹} = {Q₁, Q₂, Q₃, Q₄}

Element2: q={ q₁², q₂², q₃², q₄²} = {Q₃, Q₄, Q₅, Q₆}

Macierz sztywnośći ES k^e dla e=1,2	NE=1: EI=20000kN/m^2; L=2m q^1=Q^1={Q1, Q2, Q3, Q4}	NE=2: EI=20000 kN/m^2; L=3m q^2=Q^2{Q3, Q4, Q5, Q5}

1. Globalna macierz sztywności układu K

1. Wektor obciążeń węzłowych P i Z

P={P1, P2, P3, P4, P5, P6} = {0, 0, 0, 1, 4, 0}

Z={Z1, Z2, Z3, Z4, Z5, Z6}
Dla NE=1 wektor zastępników węzłowych
Z¹={Z1, Z2, Z3, Z4}={PyL/2; PyL²/12; PyL/2; - PyL²/12;}={3; 1; 3; -1}

Ostateczny Wektor Z

Z={3,1,3,-1,0,0}; Z+P={3,1,3,0,4,0}

1. Układ równań MES

KQ=Z+R+P

1. Uwzględnienienie warunków brzegowych w węźle 1

NW=1 Q1=V(1)=0; Q2=φ(1)=0

1. Rozwiązanie ukladu równań Q=K^-1(Z+P)
   Q3={0; 0; 0.002133; 0.0019; 0.0009633; 0.0028}

2. Obliczenie reakcji podporowych

3. Powrót do elementów. Uogólnione siły przywęzłowe

Element NE=1 q^1=Q^1={0; 0; 2.133; 1.9}*10^-3 F^1=f^1=k^1*q^1-z^1	Element NE=2 q^2=Q^2={0; 0; 2.133; 1.9}*10^-3 F^2=f^2=k^2*q^2-z^2

1. Ugięcie w dowolnym punkcie belki

$$V\left( \xi \right) = V\left( \frac{x}{L} \right) = N1\left( \xi \right)q1 + N2\left( \xi \right)q2 + N3\left( \xi \right)q3 + N4\left( \xi \right)q4$$

Obliczyć ugięcie dla X=3.5m

Punktowi temu odpowiada $\xi = \frac{x}{L} = 0.5$ drugiego ES

q²={ q₁², q₂², q₃², q₄²}= {Q3, Q4, Q5, Q6}= ….
V(0.5)=0.0554

	i-2	i-1	i	i+1	i+2	Mnożnik
W	0	0	1	0	0	1
W’	1/12	-2/3	0	2/3	-1/12	1/h
W’’	-1/12	4/3	5/2	4/3	-1/12	1/h^2
W’’’	-1/2	1	0	-1	1/2	1/h^3
W’’’’	1	-4	6	-4	1	1/h^4

MRS – Belka wspornikowa

\

1.Równanie różniczkowe

V_i-2 -4V_i-1 +6V₁ -4V_i+1 +1V_i+2=b

Gdzie b =(p_y*h⁴⁾/EI

2. Warunki brzegowe

x=0 V=0 i=0 1*V0=0	V’=0 -1*V-1­+1V1=0
x=L M=0 i=4, V3-2V4+1V50	T=0 -1*V2+2*V3­-2*V5+1*V6=0

3. Uklad równań MRS

1 1*V_-1-1*V₀+6*V₁-4V₂+1V₃=b

2 1*V₀-1*V₁+6*V₂-4V₃+1V₄=b

3 1*V₁-1*V₂+6*V₃-4V₄+1V₅=b

4 1*V₂-1*V₃+6*V₄-4V₅+1V₆=b

5 1*V₀=0

6 -1*V_-1+1*V₁=0

7 1*V₃-2*V₄+2*V₅=0

8 -1*V₂+2*V₃-2V₅+1*V₆=0

4. Macierzowa postać układu MRS AV=B

	-1	0	1	2	3	4	5	6
1	1	-4	6	-4	1
2		1	-4	6	-4	1
3			1	-4	6	-4	1
4				1	-4	6	-4	1
W0 i=0		1
	-1		1
W4 i=4					1	-2	1
				-1	2		-2	1

V-1	=	b
V0		b
V1		b
V2		b
V3		0
V4		0
V5		0
V6		0

5. Rozwiązanie układu

V={4.0b,0.0b,4.0b,12.5b,23.6b,34.0b,45.0b,56.5b}

6 Analiza rozwiązania

a) ugięcie belki

Wartość ugięcia na końcu belki x=L,dla i=4 wynosi:

V^anal(L)=pyL⁴/8EI=0.125 pyL⁴/EI

V^MRS(L)=$V_{4} = 34.0*b + 34*\frac{py*h^{4}}{\text{EI}} = 34*\frac{\text{py}}{\text{EI}}*({\frac{L}{4})}^{4}$=0.1333py*L⁴/EI

b) moment zginający

Wartość momentu zginającego dla brzegu utwierdzonego(x=0,dlai=0)

M^anal=-py*l²/2

M^MRS(0)=$- \text{EI}V_{0}" = - \frac{\text{EI}}{h^{2} - \lambda^{2}}(V_{- 1} - V_{0} - V_{1}) = - \text{EI}(4/l)^{2}*(4 - 0 + 4)*\frac{\text{py}}{\text{EI}}(\frac{L}{4})^{4} = - \frac{py*L^{2}}{2}$