S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

1

1. Pojęcia podstawowe

1.1. Stosowane pojęcia

Proces – dowolne zjawisko fizyczne, w którym zostały wyróżnione wielkości przyczynowe 𝑥 (𝑡) oraz

skutkowe 𝑦 (𝑡) – rys.1.1.

x(t)

y(t)

PROCES

(układ, obiekt sterowania itp.)

Rys.1.1. Ogólny schemat procesu

𝒙 (𝑡) – wektor wielkości przyczynowych: wejść; wejściowych wymuszeń; sygnałów.

𝒚 (𝑡) – wektor wielkości skutkowych: wyjść, sygnałów wyjściowych, odpowiedzi.

Sygnał (wejściowy, wyjściowy, zakłócający) – nośnik informacji zawarty w przebiegu dowolnej wielkości

fizycznej (wszelkie zjawiska zmienne w czasie), np. temperatura, ciśnienie, wydatek, napięcie, prąd,

itd.; sygnał może mieć charakter naturalny wynikający ze zmian obserwowanej wielkości fizycznej lub

też może być wygenerowany wg określonego standardu przez stosowne urządzenia elektroniczne i

może to być np. napięcie o modulowanej częstotliwości, amplitudzie, fala radiowa, itd.

Sygnał ciągły (analogowy) – rozumiany w sensie ciągłości czasu.

Sygnał dyskretny (cyfrowy) – określony na przeliczalnym zbiorze wartości czasu.

Model procesu matematyczny – związek 𝑥 (𝑡) i 𝑦 (𝑡) opisujący w czasie rozpatrywany proces.

Model matematyczny makroskopowy – odzwierciedlający jedynie zjawiska zasadnicze.

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

2

Model matematyczny mikroskopowy – model o dużej liczbie równań, szczegółowy, wyjaśniający przez

fizyków określone zjawisko.

Teoria identyfikacji – naukowa metoda konstruowania modeli.

Informacja – wiedza o procesie, może być dana w sposób analityczny lub graficznie za pomocą

charakterystyk statycznych i dynamicznych. Informacja dzieli się na początkową (znaną na etapie

syntezy układu sterowania) i roboczą (pozyskiwaną przez układ sterowania podczas jego

funkcjonowania).

Parametr fizyczny – miara określająca określoną właściwość fizyczną, np. ilość materii – masa 𝑚,

sztywność 𝑘, opór 𝑐, … .

Parametr dynamiczny – miara utworzona z parametrów fizycznych, określająca właściwości

dynamiczne procesu, wyróżniane na przebiegach czasowych, charakterystykach częstotliwościowych,

np. nietłumiona częstość drgań własnych 𝜔

𝑜

= √𝑘/𝑚, względny wsp. tłumienia 𝜉 = 0.5 𝑐√𝑚𝑘 , stała

czasowa 𝑇 =

𝑐

𝑘

.

Obiekt sterowania - proces będący przedmiotem sterowania.

Model obiektu sterowania – proces będący przedmiotem sterowania, dla którego z pośród wektora

przyczynowego 𝒙 (𝑡) wyróżniono:

𝒖 (𝑡) – wielkości wejściowe (przyczynowe nastawiające), za pomocą których będzie następować

oddziaływanie na rozpatrywany proces (nastawianie procesu),

𝜶 – parametry, wejścia procesu, które podczas sterowania będą posiadały wartości stałe,

𝒛 (𝑡) – zakłócenia, wejścia procesu nie wykorzystane podczas sterowania, zakłócające sterowanie,

𝒚 (𝑡) – wyjścia procesu (wielkości nastawiane), które są ważne z punktu widzenia sterowania i dla

których określane są wymagania związane z jakością sterowania.

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

3

u(t)

y(t)

z(t)



OBIEKT STEROWANIA

Rys.1.2. Ogólny schemat obiektu sterowania

Matematyczny model obiektu określają przede wszystkim relacje 𝒖 (𝑡) i 𝒚 (𝑡); opisuje zarówno

właściwości sterowanego procesu (technologicznego) jak i właściwości części aparaturowej niezbędnej

do realizacji sterowania.

Cel sterowania – sformułowanie ogólnych wymagań dotyczących oczekiwanych rezultatów związanych

z budową układu sterowania.

Sterowanie – generowanie sygnału 𝒖 (𝑡) o takim przebiegu, by uzyskać oczekiwany przebieg sygnału

𝒚 (𝑡).

Proces jednowymiarowy, sterowanie jednowymiarowe – sygnały 𝒙 (𝑡) lub 𝒖 (𝑡) i 𝒚 (𝑡) są

jednowymiarowe.

Sterowanie wielowymiarowe – zarówno sygnał 𝒖 (𝑡) jak i 𝒚 (𝑡) są większe od jedności (są to wektory).

Jakość sterowania – wymagania związane z celem sterowania, formułowane w stosunku do przebiegu

wielkości 𝒚 (𝑡), wyrażona przez stosowne miary w postaci kryteriów.

Wartość zadana – oznaczana często przez 𝑦

0

(𝑡), określa oczekiwany (pożądany) przebieg wielkości

wyjściowej 𝒚 (𝑡) sterowanego procesu. Można to rozumieć jako pewien wzorzec przebiegu wielkości

wyjściowej procesu, którą chce się osiągnąć. Oznacza to, że sterowanie powinno zapewnić relację

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

4

𝑦

0

(𝑡) ≡ 𝑦(𝑡), przy czym 𝑦

0

(𝑡) – jest pewną abstrakcją, wzorcem a 𝑦 (𝑡) jest przebiegiem konkretnej

wielkości fizycznej.

Błąd sterowania (uchyb) – w ogólnym przypadku 𝑒 (𝑡) = 𝑦

0

(𝑡) − 𝑦 (𝑡) – jest to funkcja (sygnał), która

przedstawia zaistniałe w czasie 𝑡 odchylenia wielkości wyjściowej 𝑦 (𝑡) sterowanego procesu od

wartości zadanej 𝑦

0

(𝑡) (od oczekiwanego wzorca).

Miary jakości sterowania (kryteria sterowania) formułowane są głównie na podstawie przebiegu 𝑦(𝑡),

a także w odniesieniu do sygnału 𝑒(𝑡) i są podstawą do budowy określonej struktury sterowania oraz

algorytmów urządzeń decyzyjnych.

Struktura procesu, algorytmu, układu sterowania – postać matematyczna procesu, algorytmu lub

schemat obiegu informacji w układzie sterowania.

Układ (proces, model) liniowy – opisany za pomocą równań liniowych; o stałych współczynnikach, w

szczególności zależności statyczne między przyczynami i skutkami są wyrażone przez równania

prostych, np. masa i stała sprężyny (układ mechaniczny) są niezależne od siły i przesunięcia.

Układ (proces, model) nieliniowy - opisany za pomocą równań nieliniowych; np. wsp. sprężystości

zmienia się w zależności od odkształcenia.

Model o parametrach skupionych - opisany za pomocą równań różniczkowych o stałych

współczynnikach; masa w postaci punktowej, sprężyna bez masy – układ złożony z tak

wyidealizowanych elementów z rozdzielonymi efektami.

Model o parametrach rozłożonych – przeciwieństwo modeli skupionych – opisany za pomocą równań

różniczkowych cząstkowych; np. pręt zawiera nieskończenie małe elementy bezwładności i

sprężystości.

Układ niestacjonarny lub zmienny w czasie – parametry układu zmieniają się w czasie.

Układ stacjonarny – parametry w rozpatrywanym czasie przyjmowane są jako stałe.

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

5

Zmienne (sygnały) przypadkowe –przedstawione w sensie probabilistycznym.

Zmienna (współrzędna) stanu – zmienna reprezentująca sumę informacji przeszłej, potrzebnej do

określenia aktualnej zmiany stanu i odpowiedzi układu. Wektor stanu powinien zawierać najmniejszą

liczbę zmiennych (współrzędnych) wystarczających do opisania układu w każdej chwili czasu. W

metodzie transmitancji zmienne stanu nie występują. Najczęściej przyjmuje się za zmienną stanu

wyjścia z elementów całkujących.

Wykres (rysunek) – forma graficznego zapisu, w szczególności dowolnych zależności.

Charakterystyka – forma graficznego zapisu zależności (statycznych, w funkcji czasu, w funkcji

częstotliwości), dla jednoznacznego opisu właściwości, zgodna z przyjętym układem i postacią zawartą

w unormowaniach międzynarodowych,.

Postacie charakterystyk dynamicznych dają wyobrażenie o właściwościach dynamicznych procesów,

definiują podstawowe parametry dynamiczne oraz mogą być wykorzystane jako metoda identyfikacji

właściwości procesów.

Charakterystyka statyczna – zależność między wielkością przyczynową (oś rzędnych) i skutkową (oś

odciętych) w stanie ustalonym. Charakterystyka statyczna określa liniowość procesu, zakresy wejść i

wyjść, współczynnik wzmocnienia statycznego oraz błąd nieliniowości i niejednoznaczności. W

przypadku przyrządów pomiarowych określa klasę przyrządu obliczoną na podstawie błędów

nieliniowości i niejednoznaczności.

Charakterystyki dynamiczne – czasowe i częstotliwościowe:



Charakterystyka czasowa - przebieg sygnału wyjściowego, otrzymany w wyniku wprowadzenia

do procesu znajdującego się w stanie ustalonym wymuszenia „typowego”. „Typowe”

wymuszenia to: wymuszenie impulsowe, wymuszenie skokowe, wymuszenie liniowo

narastające, wymuszenie paraboliczne.

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

6



W przypadku charakterystyk częstotliwościowych wymuszenie ma postać sinusoidalną.

Charakterystyka częstotliwościowa może być przedstawiana jako przebieg modułu 20

log(Ay/Ax) w funkcji log 𝜔 oraz przebieg fazy 𝜑 w funkcji log 𝜔. Zbiór punktów tworzących

przebiegi modułów i fazy otrzymuje się w wyniku wprowadzania wymuszeń 𝑥 (𝑡) = 𝐴𝑥 sin 𝜔𝑡

i rejestracji 𝑦 (𝑡) = 𝐴𝑦 sin(𝜔𝑡 + 𝜑), dla 𝜔 = 𝜔

𝑚𝑖𝑛

÷ 𝜔

𝑚𝑎𝑥

;

𝜔

𝑚𝑖𝑛

, 𝜔

𝑚𝑎𝑥

– interesujący badacza zakres częstości.

Metoda sporządzania charakterystyk częstotliwościowych przedstawiona została opisowo, w

praktyce korzysta się z algorytmu FFT.

Monitorowanie (ang. monitoring) – jest działaniem mającym na celu pokazywanie określonych zdarzeń

występujących w obserwowanym procesie (należy je zdefiniować, mogą to być zakłócenia powodujące

przesuwanie charakterystyk jakości – np. zmiana wymiaru części obrabianych na maszynach CNC), w

najprostszym przypadku może sprowadzać się do rejestracji wielkości fizycznych, ważnych dla procesu.

Tymi zdarzeniami mogą być, np. wartości graniczne niebezpieczne dla procesu. Układy monitorujące

mogą być wyposażone w urządzenia alarmowe i blokujące dalszy przebieg procesu. Takie rozwiązanie

jest także nazywane zabezpieczaniem (ang. protection).

Diagnostyka procesów – rozpoznawanie zmian stanów technicznych – zazwyczaj nie chodzi o

dynamiczne zmienne stanu procesu.

SCADA (ang.Supervisory Control and Data Acvnisition) – system informatyczny do monitorowania

przebiegu procesu – różnie rozumiane: rejestracja sygnałów lub działania obiektu a nazywane

monitorowaniem stanu obiektu (procesu).

DCS (ang. Distributed Control Systems) – system informacyjny do monitorowania i archiwizowania

zmiennych procesu, także sygnalizacji alarmów oraz wizualizacji przebiegu procesów.

Diagnozowanie – działanie związane z rozpoznawaniem stanu technicznego obiektu, którego celem

jest określenie aktualnego stanu (technicznego) obiektu.

Genezowanie – działanie rozpoznawania stanu technicznego obiektu związane z określaniem stanów

wcześniejszych.

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

7

Prognozowanie – określenie przyszłych wartości (modele matematyczne) lub przyszłych stanów

obiektów (modele diagnostyczne).

Nadzorowanie – rodzaj sterowania mający na celu zapewnienie poprawnego przebiegu procesu.

Najczęściej dotyczy procesów częściowo zautomatyzowanych, w których operator ma podstawie

wyników monitorowania wprowadza działania korygujące do procesu.

1.2. Relacje w układzie

Ogólną zależność w układzie wielowymiarowym opisuje relacja:

𝑭 (𝒚, 𝒙, 𝒙̇, 𝒖, 𝒛, ∝, 𝑱, 𝒕) = 0.

(1.1)

𝑭 – zależność macierzowa (wektorowa),

𝒚 – wektor wyjść (macierzowy),

𝒙 – wektor stanu (wewnętrzna zmienna opisu układu, nie występuje w opisie metodą transmitancji),

𝒖 – wektor sterowania (wejść),

𝒛 – wektor zakłóceń (szumów),

∝ - parametry układu,

𝑱 – wskaźnik jakości,

𝒕 – czas.

u(t)

y

z

sterowanie

Obiekt

a

t

x, x

Rys.1.3. Schemat ilustrujący sterowanie i występujące relacje w układzie

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

8

W układzie jednowymiarowym (pierwszego rzędu) wektory stają się skalarami. Podstawowe relacje w

układzie przedstawia tablica 1.1.

Tablica 1.1.

Problem

𝛼

z

u

x

y

J

t

Transmitancja

Obserwowalność

Sterowanie

Niezmienniczość

Wrażliwość

na

zmiany parametrów

Optymalizacja

1.3. Zadania syntezy sterowania



Określenie obiektu, celu sterowania oraz jakości sterowania (na podstawie jakości

technologicznej procesu);



Analiza istoty sterowanego procesu fizycznego i reprezentujących ten proces wielkości

przyczynowych (wejść) 𝒙 oraz skutkowych 𝒚, definicja obiektu sterowania wraz z wyborem i

określeniem jego wielkości: sterujących 𝒖, sterowanych 𝒚, parametrów ∝, zakłóceń 𝒛 ;



Wyróżnienie (zaprojektowanie) części obiektu w postaci urządzeń, do których będą

doprowadzane wielkości sterujące i w wyniku czego będzie możliwe oddziaływanie na przebieg

procesu fizycznego będącego przedmiotem sterowania;



Dobór urządzeń pomiarowych, niezbędnych do dostarczania informacji o wielkościach

sterowanych 𝒚 oraz kompensowanych zakłóceniach 𝒛;



Określenie wymaganych przebiegów zadanych 𝑦

0

(𝑡), które mają być osiągnięte w wyniku

sterowania;

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

9



Wybór kryteriów jakości, przeprowadzenie analizy wrażliwości i niezmienniczości obiektu

sterowania,



Opracowanie modelu układu sterowania oraz opracowanie schematu obiegu informacji (wybór

struktury sterowania) w rozpatrywanym układzie sterowania;



Opracowanie algorytmu sterowania dla urządzenia decyzyjnego, który ma generować wielkości

sterujące 𝒖;



Dobór urządzeń technicznych, za pomocą których zostanie fizycznie zbudowane urządzenie

decyzyjne, urządzenie generujące wartości zadane, urządzenie przesyłające wielkości

pomiarowe i sterujące (sygnały), ew. urządzenie monitorujące, zabezpieczające i

dokumentujące przebieg sterowania;



Zbudowanie układu sterowania, wykonanie oprogramowania, uruchomienie, dostrajanie

parametrów algorytmu sterowania.

1.4. Opis matematyczny procesów

Procesy są zdefiniowane przez dochodzące i wychodzące z nich sygnały. Zatem modele

sygnałów tworzą modele procesów.

Dla potrzeb sterowania wiedza o procesie może być dana w sposób analityczny lub też graficzny

– za pomocą charakterystyk statycznych oraz dynamicznych (czasowych i częstotliwościowych)

otrzymywanych w wyniku wykonanego eksperymentu.

Modele analityczne procesów powinny mieć charakter makroskopowy, „oszczędny”.

„Oszczędność” oznacza liczbę zawartych w modelach procesów parametrów, która nie powinna

przekraczać 3 (max 4). Model bardziej rozbudowany nie jest przydatny dla sterowania. Korzystniej jest

stosować model procesu „oszczędny” oraz dostrajać automatycznie przez układ sterowania jego

parametry, niż posługiwać się wieloma, najczęściej nieokreślonymi bliżej parametrami.

Modele analityczne procesów liniowych mogą być przedstawione w sposób scharakteryzowany dalej.

Modele procesów mogą być otrzymywane w wyniku stosownego eksperymentu składającego się na

metodę identyfikacji lub też otrzymywane w wyniku postępowania analitycznego wynikającego z praw

fizyki. W przypadku pierwszym wykorzystywane są modele matematyczne sygnałów a w drugim

podobieństwa fizykalne procesów.

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

10

1. Modele w postaci liniowych równań różniczkowych (wyrażonych w dziedzinie czasu) o parametrach

skupionych lub też ich odpowiedników w postaci równań różnicowych.

2. Modele w postaci równań stanu i wyjść (z czasem ciągłym lub dyskretnym) o postaci:

𝒙̇(𝒕) = 𝑨𝒙(𝑡) + 𝑩𝒖(𝑡),

𝒚(𝑡) = 𝑪𝒙(𝑡) + 𝑫𝒖(𝑡),

(1.2)

gdzie:

𝒙(𝑡) – wektor stanu,

𝒖(𝑡) – wektor wejść,

𝒚(𝑡) – wektor wyjść,

𝑨 – macierz procesu o wymiarze (𝑛 𝑥 𝑛),

𝑩 – macierz sterowania (wejść) o wymiarze (𝑛 𝑥 𝑝),

𝑪 – macierz odpowiedzi (wyjść) o wymiarze (𝑞 𝑥 𝑛),

𝑫 – macierz o wymiarze (𝑞 𝑥 𝑝).

Równania stanu można otrzymać posługując się podczas opisu procesu równaniami różniczkowymi

pierwszego rzędu.

Przykład 1.1

Modelowanie analityczne, proces – zbiornik z cieczą wypływającą swobodnie; wielkość przyczynowa

(sygnał wejściowy), dopływ 𝑢(𝑡) (wydatek objętościowy), wielkość skutkowa (sygnał wyjściowy),

położenie poziomu cieczy 𝑥(𝑡).

u(t)

zmiana poziomu
x(t)

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

11

Ze schematu wynika, że zmiana poziomu

𝑑

𝑑𝑡

𝑥(𝑡) jest funkcją położenia poziomu 𝑥(𝑡) oraz dopływu

𝑢(𝑡) i czasu 𝑡.

𝑑

𝑑𝑡

𝑥(𝑡) = 𝑓 (𝑥(𝑡), 𝑢(𝑡)).

(1.3)

Dla małych odchyleń sygnałów 𝑢(𝑡) i 𝑥(𝑡) od stanu równowagi otrzyma się zależność zlinearyzowaną:

𝑓 (𝑥 (𝑡), 𝑢 (𝑡)) ≈ 𝐴(𝑡) 𝑥 (𝑡) + 𝐵(𝑡) 𝑢 (𝑡)

(1.4)

gdzie:

𝐴(𝑡) =

𝜕 𝑓 (𝑥

1

𝑢

1

𝑡)

𝜕𝑥

|

𝑢=0, 𝑥=0

𝐵(𝑡) =

𝜕 𝑡 (𝑥

1

𝑢

1

𝑡)

𝜕𝑢

|

𝑢=0, 𝑥=0

.

(1.5)

Daje to:

𝑑

𝑑𝑡

𝑥(𝑡) = 𝐴(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡).

(1.6)

Jeżeli A i B są stałymi, to zależność (1.4) przyjmuje postać:

𝑑

𝑑𝑡

𝑥(𝑡) = 𝐴𝑥(𝑡) + 𝐵𝑢(𝑡).

(1.7)

Jest to równanie liniowe, stacjonarne układu pierwszego rzędu. W zależności od pojedynczej

zmiennej stanu 𝑥(𝑡) i wejścia układu 𝑢(𝑡), postać kanoniczna rozpatrywanego równania przedstawiona

jest w sposób:

𝑑

𝑑𝑡

𝑥(𝑡) = 𝑎 𝑥(𝑡) + 𝑏 𝑢(𝑡).

(1.8)

Odpowiedź układu jest funkcją liniową zmiennych 𝑥(𝑡) i 𝑢(𝑡)

𝑦(𝑡) = 𝑐 𝑥(𝑡) + 𝑑 𝑢(𝑡),

(1.9)

𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 – są stałymi współczynnikami.

Równania różniczkowe ze zmienną 𝑦(𝑡) można otrzymać przez wyeliminowanie 𝑥(𝑡) z równań (1.8)

i (1.9):

𝑑

𝑑𝑡

𝑦(𝑡) = 𝑎𝑦(𝑡) + 𝑑

𝑑

𝑑𝑡

𝑢(𝑡) + (𝑏𝑐 − 𝑎𝑑) 𝑢(𝑡).

(1.10)

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

12

Dla powiązania wejścia 𝑢(𝑡) z wyjściem 𝑦(𝑡) należy ustalić trzy niezależne wielkości: 𝑎, 𝑑 i (𝑏𝑐 −

𝑎𝑑). Dla danej zależności ustalony jest jedynie iloczyn 𝑏𝑐. Zmienną stanu układu wyznacza się przez

przyjęcie 𝑏 lub 𝑐. Podobny wynik otrzyma się również dla układu wielowymiarowego.

Przykład 1.2.

Modelowanie analityczne, proces – dwa zbiorniki połączone ze sobą (𝑐

1

, 𝑐

2

– pow. przekrojów

poprzecznych zbiorników 1 i 2).

Q (t)

0

C

1

R

1

Q

1

Q

2

R

2

C

2

h

1

h

2

Z równania ciągłości przepływów w zależności od poziomów cieczy ℎ

1

i ℎ

2

wynika:

𝑐

1

𝑑ℎ

1

𝑑𝑡

= −

ℎ

1

−ℎ

2

𝑅

1

+ 𝑄

0

(𝑡)

𝑐

2

𝑑ℎ

2

𝑑𝑡

=

ℎ

1

−ℎ

2

𝑅

2

−

ℎ

2

𝑅

2

}.

(1.11)

Po uporządkowaniu (1.11) otrzyma się:

𝑑

𝑑𝑡

ℎ

1

= −

1

𝑅

1

𝑐

1

ℎ

1

+

1

𝑅

1`

𝑐

1

ℎ

2

+

1

𝑐

1

𝑄

0

(𝑡)

𝑑

𝑑𝑡

ℎ

2

= −

1

𝑅

2

𝑐

2

ℎ

2

+ (

1

𝑅

1`

𝑐

2

+

1

𝑅

2

𝑐

1

) ℎ

2

}

(1.12)

𝒙(𝑡) = [

ℎ

1

ℎ

2

].

𝑨 = [

−

1

𝑅

1

𝑐

1

1

𝑅

1

𝑐

1

1

𝑅

1

𝑐

2

−(

1

𝑅

1

𝑐

2

+ 1/𝑅

2

𝑐

1

)

],

𝑪 = [

1

𝑅

1

−

1

𝑅

1

]

.

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

13

𝑫 = 0 .

𝑩 = [

1/𝑐

1

0

] 𝑢(𝑡) = 𝑄

0

(𝑡).

Typowa postać macierzowa dla danego procesu jest wyrażona w sposób:

𝑄

1

= [

1

𝑅

1

, − 1/𝑅

1

] [

ℎ

1

ℎ

2

] + 0 𝑄

0

(𝑡) .

3. Modele w postaci równań operatorowych, otrzymanych z równań różniczkowych lub równań stanu

w wyniku przekształcenia Laplace’a, Fouriera lub 𝑍 (dotyczy również różnicowych) – metoda

transmitancji operatorowej.

Podane dalej przekształcenia operatorowe „zamieniają” oryginały funkcji z dziedziny czasu „t”

w transformaty zmiennej zespolonej „s”; równania różniczkowe stają się łatwymi do obliczeń

równaniami algebraicznymi.

Przekształcenie Laplace’a - 𝐿 (jednostronne):

𝑋(𝑠) = ∫

𝑥(𝑡) 𝑒̅

𝑠𝑡

𝑑𝑡

+∞

0

,

(1.13)

𝑥(𝑡) – oryginał funkcji,

𝑋(𝑠) – transformata 𝐿 (dalej stosowane jest oznaczenie 𝑋

𝐿

(𝑠)),

𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔,

𝜎 – część rzeczywista,

𝑗𝜔 – część urojona (𝑗 = √−1, 𝜔 – pulsacja, częstość [

1
𝑠

]).

Odwrotne przekształcenie Laplace’a:

𝐿

−1

[(𝑠)] =

1

2 𝜋

=

1

2𝜋

∫ 𝒙(𝑠) 𝑒̅

𝑠𝑡

𝑑𝑠

∞

0

Dla zbioru sygnałów stosowanych w automatyce 𝜎 = 0 i można przyjąć 𝑠 = 𝑗𝜔, wobec czego

transformaty Laplace’a i Fouriera są ze sobą wzajemnie związane zależnościami:

𝑋

𝐿

(𝑠)=𝑋

𝐹

(𝑗𝜔)

|

𝜔=

𝑠
𝑗

,

𝑋

𝐹

(𝜔)=𝑋

𝐿

(𝑠)

|

𝑠=𝑗𝜔

.

(1.14)

Transformata 𝑍 ciągu {𝑥

𝑛

}:

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

14

𝑋

𝑍

(𝑧) = ∑

𝑥

𝑛

𝑧

−𝑛

∞

𝑛=0

|𝑧| ≥ 𝜌

𝑛,

𝑥

𝑛

=

1

2 𝜋𝑗

∫ 𝑋

𝑍

(𝑧

𝑛

)

2𝜋

0

𝑑𝜑 dla 𝜌𝜖Λ.

(1.15)

4. Modele losowe wyrażone za pomocą liniowych (nieliniowych) zależności parametrycznych

(o parametrach jawnych) wyznaczonych z sygnałów losowych.

Najczęściej w tej grupie rozpatruje się modele dyskretne jednowymiarowe. Są to modele:

AR – auto-regresyjne z zakłóceniem niemierzalnym w postaci białego szumu,

ARX – auto-regresyjne w postaci szumu kolorowego,

MA (FIR) – średniej ruchomej z zakłóceniem niemierzalnym w postaci białego szumu,

MAX - średniej ruchomej z zakłóceniem niemierzalnym w postaci szumu kolorowego,

ARMA – połączone AR i MA,

ARMAX - połączone AR i MA z kolorowym szumem.

Modele wielowymiarowe - MISO o strukturze ARMAX.

Modele nieliniowe NARMA – o strukturze ARMAX z uwzględnieniem czynników w postaci funkcji

wielowymiarowych drugiego i trzeciego stopnia.

5. Modele parametryzowane za pomocą zbiorów rozmytych. Zbiory rozmyte określają sposób

podziału zakresu zmienności wybranej wielkości fizycznej na obszary określone lingwistycznie (np.

zimno, chłodno, letnio, ciepło, gorąco). Granice przedziałów są ustalone nieostro (w sposób rozmyty) z

wykorzystaniem tzw. funkcji przynależności.

6. Modele w formie sztucznych sieci neuronowych (SSN). Są to modele parametryczne, teoretycznie

o nieskończonej liczbie parametrów, które nie są jawnie wyrażone. Wartości parametrów są ustalone

podczas uczenia sieci. W pewnym sensie są podobne do modeli z pkt.1.4.4. – tamte były modelami

„oszczędnymi” w sensie liczby parametrów występujących jawnie.

1.5. Opis graficzny procesów

Na opis graficzny składają się charakterystyki:

a) statyczne,

b) dynamiczne czasowe i częstotliwościowe.

S.Płaska. Prawa autorskie zastrzeżone. Udostępnione studentom roku akademickiego 2015/2016

15

Charakterystyki wyznacza się eksperymentalnie. Dla pokazania związku wyniku otrzymanego z

eksperymentu z zależnościami matematycznymi, dla potrzeb dydaktycznych i wykazania ścisłego ich

związku z zapisem matematycznym i podstawami teoretycznymi, przedstawione zostaną metody

wyznaczania charakterystyk z opisów analitycznych.