1
1
Prąd elektryczny
2
Rozwa
Ŝ
amy ruch ładunków tzw. no
ś
ników ładunku:
- w metalicznych przewodnikach s
ą
to poruszaj
ą
ce si
ę
swobodnie elektrony tzw.
elektrony przewodnictwa,
- w półprzewodnikach obok elektronów no
ś
nikami s
ą
dziury (no
ś
niki dodatnie),
- w gazach i cieczach elektrony oraz jony dodatnie (kationy) i jony ujemne
(aniony).
Bez pola elektrycznego te elektrony poruszaj
ą
si
ę
chaotycznie (dzi
ę
ki energii
cieplnej) przypadkowo we wszystkich kierunkach zachowuj
ą
c si
ę
tak jak cz
ą
steczki
gazu zamkni
ę
te w zbiorniku. Ruchowi chaotycznemu nie towarzyszy przepływ
pr
ą
du.
Pr
ą
d elektryczny
Przyło
Ŝ
enie napi
ę
cia
U
pomi
ę
dzy ko
ń
cami
przewodnika wytwarza pole
E
, które działa
sił
ą
na ładunki, powoduj
ą
c ich ruch w
okre
ś
lonym kierunku w przewodniku. Ruch
chaotyczny ka
Ŝ
dego elektronu zostaje
zmodyfikowany.
Pod wpływem przyło
Ŝ
onego napi
ę
cia w przewodniku płynie pr
ą
d elektryczny.
2
3
t
Q
I
=
Jednostk
ą
nat
ęŜ
enie pr
ą
du jest amper (A); 1A = 1C/s.
dt
dQ
I
=
Nat
ęŜ
enie pr
ą
du elektrycznego
Nat
ęŜ
enie pr
ą
du elektrycznego definiujemy jako ilo
ść
ładunku jaka przepływa
przez przekrój poprzeczny przewodnika w jednostce czasu.
S
I
j
=
G
ę
sto
ść
pr
ą
du jest wektorem, kierunek
i zwrot s
ą
zgodne z wektorem pr
ę
dko
ś
ci
ładunków dodatnich (umowa).
G
ę
sto
ść
pr
ą
du elektrycznego definiowana jest jako nat
ęŜ
enie pr
ą
du na jednostk
ę
powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika.
4
Rozwa
Ŝ
my przewodnik o długo
ś
ci
l
i przekroju poprzecznym
S, n
- koncentracja
elektronów:
nlSe
Q
=
u
v
l
t
=
v
u
ś
rednia pr
ę
dko
ść
unoszenia
elektronów w zewn
ę
trznym polu
elektrycznym
t
Q
I
=
u
u
nSev
v
l
nSle
t
Q
I
=
=
=
u
u
v
ρ
nev
S
I
j
=
=
=
ρ
jest g
ę
sto
ś
ci
ą
ładunku
3
5
Przykład:
W drucie z miedzi o przekroju 1 mm
2
płynie pr
ą
d nat
ęŜ
eniu 1A. Jaka jest v
u
elektronów przewodnictwa ? Masa molowa miedzi
µ
= 63.8 g/mol, g
ę
sto
ść
ρ
Cu
= 8.9
g/cm
3
, N
A
=6.022 10
23
mol
-1
oraz e = 1.6·10
-19
C .
nSe
I
v
u
=
3
28
m
elektr.
10
4
.
8
⋅
=
=
µ
ρ
v
A
N
n
(Cu
+1
)
v
u
= 7.4·10
−
5
m/s = 0.074 mm/s
Dlaczego ta pr
ę
dko
ść
jest taka mała? Dla porównania: pr
ę
dko
ść
elektronu
przyspieszanego napi
ę
ciem 230V na drodze 1m wynosi 9000 km/s.
odp. W przewodniku ładunki s
ą
rozpraszane
opór elektryczny
Jak przy tak znikomo małej pr
ę
dko
ś
ci elektronów mo
Ŝ
liwe jest błyskawiczne
przenoszenie sygnałów elektrycznych np. w sieci telefonicznej ??
6
I
U
I
V
R
=
∆
=
opór elektryczny
Ź
ródłem oporu elektrycznego w przewodnikach jest rozpraszanie no
ś
ników ładunku
na defektach sieci i drganiach sieci (fononach).
Prawo Ohma
Stosunek napi
ę
cia przyło
Ŝ
onego do przewodnika do nat
ęŜ
enia pr
ą
du przepływaj
ą
cego
przez ten przewodnik jest stały i nie zale
Ŝ
y ani od napi
ę
cia ani od nat
ęŜ
enia pr
ą
du.
Jednostk
ą
oporu jest ohm (
Ω
); 1
Ω
= 1V/A.
4
7
Wyprowadzenie prawa Ohma
Elektrony poruszaj
ą
si
ę
pod wpływem pola
E
a
Ŝ
zostan
ą
rozproszone (na drganiach sieci lub jej
defektach.
Mi
ę
dzy zderzeniami przyspieszany elektron
przebywa odległo
ść
λ
(
ś
rednia droga swobodna)
w czasie
∆
t.
W zderzeniu elektron „traci pamięć” ruchu i
przyspieszanie zaczyna się na nowo.
Na ka
Ŝ
dy elektron działa siła
F = −eE
, która modyfikuje pr
ę
dko
ść
pr
ę
dko
ś
ci
ą
ruchu
chaotycznego (cieplnego) elektronów
elektron uzyskuje pr
ę
dko
ść
unoszenia
v
u.
mul
λSU
ne
mu
λSE
ne
nSev
I
u
2
2
=
=
=
S
l
ne
mu
I
U
R
λ
2
=
=
S
l
R
ρ
=
eE
t
u
m
=
∆
∆
u
t
λ
=
∆
mu
E
eλ
v
u
=
m
eE
t
v
∆u
u
∆
=
=
Stał
ą
ρ
nazywamy oporem wła
ś
ciwym (rezystywno
ś
ci
ą
), a jej odwrotno
ść
σ
= 1/
ρ
przewodno
ś
ci
ą
wła
ś
ciw
ą
.
8
10
10
- 10
14
szkło
2.5·10
3
krzem
1.1·10
-7
platyna
5.3·10
-8
wolfram
2.8·10
-8
glin
1.7·10
-8
miedź
1.6·10
-8
srebro
Opór właściwy w
T = 300K
(Ωm)
Materiał
ρ
E
RS
El
RS
U
S
I
j
=
=
=
=
S
l
R
ρ
=
E
j
σ
=
w postaci wektorowej
(wektorowa posta
ć
prawa Ohma):
E
j
σ
=
ρ
σ
1
=
5
9
Prawo Ohma jest słuszne pod warunkiem,
Ŝ
e przewodnik znajduje si
ę
w stałej
temperaturze.
t
ne
m
ne
mu
∆
=
=
2
2
λ
ρ
Opór wła
ś
ciwy zale
Ŝ
y od czasu relaksacji (pr
ę
dko
ś
ci
no
ś
ników ładunku i ich drogi swobodnej), masy
no
ś
ników ładunku i koncentracji ładunków.
im wy
Ŝ
sza T tym
wi
ę
ksze drgania sieci,
opór ro
ś
nie z T
(droga swobodna maleje)
im wy
Ŝ
sza T tym
wi
ę
cej no
ś
ników,
opór maleje z T
(ro
ś
nie koncentracja
ładunków)
w dostatecznie niskich T
całkowity zanik oporu
(elektrony tworz
ą
pary
nieoddziałuj
ą
ce z sieci
ą
)
10
Z prawa Ohma wnioskujemy,
Ŝ
e nat
ęŜ
enie pr
ą
du jest wprost
proporcjonalne do przyło
Ŝ
onego napi
ę
cia.
I
U
I
V
R
=
∆
=
Jest to słuszne dla wi
ę
kszo
ś
ci przewodników (przy niewielkich napi
ę
ciach i nat
ęŜ
eniach
pr
ą
du).
Istniej
ą
układ, które nie spełniaj
ą
prawa Ohma. S
ą
to mi
ę
dzy innymi półprzewodnikowe
elementy elektroniczne takie jak diody i tranzystory.
6
11
Elektron w zderzeniach z sieci
ą
traci
nadwy
Ŝ
k
ę
energii
dW = U dq
jak
ą
uzyskał przyspieszany w polu
elektrycznym i cała ta energia jest
przekazywana do sieci, co powoduje jej
podgrzanie.
dq
U
dW
=
UI
dt
dq
U
dt
dW
=
=
UI
P
=
R
I
P
2
=
R
U
P
2
=
Przemiana energii elektrycznej na energi
ę
ciepln
ą
, (ciepło Joule'a).
Praca i moc pr
ą
du, straty cieplne
12
Siła elektromotoryczna
Aby w obwodzie elektrycznym utrzyma
ć
pr
ą
d potrzebujemy
ź
ródła energii
elektrycznej, które „przywróci” ładunkom utracon
ą
energi
ę
.
Takimi
ź
ródłami s
ą
np. baterie (energia chemiczna) i generatory elektryczne (energia
mechaniczna). Nazywamy je
ź
ródłami siły elektromotorycznej SEM.
Siła elektromotoryczna
ε
okre
ś
la energi
ę
elektryczn
ą
dW
przekazywan
ą
jednostkowemu ładunkowi
dq
w
ź
ródle SEM
dq
dW
ε
=
Obwody pr
ą
du stałego
Miar
ą
SEM jest ró
Ŝ
nica potencjałów (napi
ę
cie) na biegunach
ź
ródła pr
ą
du w
warunkach, kiedy przez ogniwo nie płynie pr
ą
d (ogniwo otwarte).
7
13
0
1
=
∑
=
n
i
i
I
(zachowanie ładunku)
Prawa Kirchhoffa
Pierwsze prawo Kirchhoffa: Twierdzenie o punkcie rozgał
ę
zienia. Algebraiczna
suma nat
ęŜ
e
ń
pr
ą
dów przepływaj
ą
cych przez punkt rozgał
ę
zienia (w
ę
zeł) jest
równa zeru.
0
1
=
∑
=
n
i
i
q
dt
d
Drugie prawo Kirchhoffa: Twierdzenie o obwodzie zamkni
ę
tym. Algebraiczna suma
sił elektromotorycznych i spadków napi
ęć
w dowolnym obwodzie zamkni
ę
tym (lub
p
ę
tli) jest równa zeru.
0
1
1
=
+
∑
∑
=
=
m
i
i
i
n
i
i
R
I
ε
(zachowanie energii)
0
1
1
=
+
∑
∑
=
=
m
i
i
n
i
i
U
dq
dq
ε
14
Ka
Ŝ
de rzeczywiste
ź
ródło napi
ę
cia
posiada opór wewn
ę
trzny
r
Napi
ę
cie zasilania jest mniejsze od SEM
o spadek potencjału na oporze wewn
ę
trznym
5 – 100 kΩ
ogniwo słoneczne
ok. 600 Ω
mikrofon
1 - 3 Ω
bateria typu R20
1 - 50 mΩ
stabilizator sieciowy
kilka mΩ
akumulator
Opór wewnętrzny
Źródło prądu
Ir
U
z
−
=
ε
Zgodnie z prawem Ohma U
z
= IR
)
(
R
r
I
+
=
ε
Opór wewn
ę
trzny
8
15
Zastosowanie praw Kirchhoffa:
1. Zakładamy jaki
ś
kierunek pr
ą
du i jego nat
ęŜ
enie
w ka
Ŝ
dej gał
ę
zi.
2. Zaznaczamy zmiany potencjału w obwodzie:
spadek napi
ę
cia pojawia si
ę
gdy "przechodzimy"
przez opornik w kierunku zgodnym z przyj
ę
tym
kierunkiem pr
ą
du, a przyrost napi
ę
cia gdy
przechodzimy przez
ź
ródło SEM w kierunku od "-"
do "+".
3. Stosujemy prawa Kirchhoffa dla dowolnych p
ę
tli
(oczek) i w
ę
złów.
Przykład 1:
0
2
1
2
1
=
+
+
+
+
−
ε
ε
ir
iR
ir
np. obchodzimy obwód „w lewo” pocz
ą
wszy od
punktu a
R
r
r
i
+
+
−
=
2
1
2
1
ε
ε
Je
Ŝ
eli w wyniku oblicze
ń
otrzymamy ujemne
nat
ęŜ
enie pr
ą
du to znaczy,
Ŝ
e rzeczywisty
kierunek pr
ą
du jest przeciwny do przyj
ę
tego.
16
dla zewn
ę
trznej "du
Ŝ
ej" p
ę
tli
0
1
3
2
2
2
=
−
−
R
I
R
I
ε
dla wewn
ę
trznej "małej" p
ę
tli
0
1
3
1
=
−
R
I
ε
1
1
3
R
I
ε
=
0
2
2
1
2
=
−
−
R
I
ε
ε
2
1
2
2
R
I
ε
ε
−
=
0
3
2
1
=
−
+
I
I
I
dla w
ę
zła P
2
2
2
1
1
2
1
2
1
1
2
3
1
1
1
R
R
R
R
R
I
I
I
ε
ε
ε
ε
ε
−
+
=
−
−
=
−
=
Przykład 2:
9
17
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
3
2
1
3
2
1
3
2
1
1
1
1
R
R
R
U
R
U
R
U
R
U
I
I
I
I
poł
ą
czenie równoległe
3
2
1
1
1
1
1
R
R
R
R
+
+
=
Ł
ą
czenie oporników
poł
ą
czenie szeregowe
)
(
3
2
1
3
2
1
3
2
1
R
R
R
I
IR
IR
IR
U
U
U
U
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
3
2
1
R
R
R
R
+
+
=
18
C
R
U
U
+
=
ε
Wył
ą
cznik w pozycji a (ładowanie kondensatora)
C
Q
IR
+
=
ε
C
Q
R
dt
dQ
ε
+
=
dt
dQ
I
=
Obwód RC
Wył
ą
cznik w pozycji b (rozładowanie
kondensatora)
C
Q
R
dt
dQ
+
=
0
Rozwi
ą
zanie:
RC
t
e
Q
t
Q
/
0
)
(
−
=
t/RC
e
RC
Q
dt
dQ
I
−
−
=
=
0
stała czasowa RC
)
1
(
)
(
/ RC
t
e
C
t
Q
−
−
=
ε
Rozwi
ą
zanie:
t/RC
e
R
ε
dt
dQ
I
−
=
=
stała czasowa RC