1

1

Prąd elektryczny

2

Rozwa

ż

amy ruch ładunków tzw. no

ś

ników ładunku:

- w metalicznych przewodnikach s

ą

to poruszaj

ą

ce si

ę

swobodnie elektrony tzw.

elektrony przewodnictwa,
- w półprzewodnikach obok elektronów no

ś

nikami s

ą

dziury (no

ś

niki dodatnie),

- w gazach i cieczach elektrony oraz jony dodatnie (kationy) i jony ujemne
(aniony).

Bez pola elektrycznego te elektrony poruszaj

ą

si

ę

chaotycznie (dzi

ę

ki energii

cieplnej) przypadkowo we wszystkich kierunkach zachowuj

ą

c si

ę

tak jak cz

ą

steczki

gazu zamkni

ę

te w zbiorniku. Ruchowi chaotycznemu nie towarzyszy przepływ

pr

ą

du.

Pr

ą

d elektryczny

Przyło

ż

enie napi

ę

cia

U

pomi

ę

dzy ko

ń

cami

przewodnika wytwarza pole

E

, które działa

sił

ą

na ładunki, powoduj

ą

c ich ruch w

okre

ś

lonym kierunku w przewodniku. Ruch

chaotyczny ka

ż

dego elektronu zostaje

zmodyfikowany.

Pod wpływem przyło

ż

onego napi

ę

cia w przewodniku płynie pr

ą

d elektryczny.

2

3

t

Q

I

=

Jednostk

ą

nat

ęż

enie pr

ą

du jest amper (A); 1A = 1C/s.

dt

dQ

I

=

Nat

ęż

enie pr

ą

du elektrycznego

Nat

ęż

enie pr

ą

du elektrycznego definiujemy jako ilo

ść

ładunku jaka przepływa

przez przekrój poprzeczny przewodnika w jednostce czasu.

S

I

j

=

G

ę

sto

ść

pr

ą

du jest wektorem, kierunek

i zwrot s

ą

zgodne z wektorem pr

ę

dko

ś

ci

ładunków dodatnich (umowa).

G

ę

sto

ść

pr

ą

du elektrycznego definiowana jest jako nat

ęż

enie pr

ą

du na jednostk

ę

powierzchni przekroju poprzecznego przewodnika.

4

Rozwa

ż

my przewodnik o długo

ś

ci

l

i przekroju poprzecznym

S, n

- koncentracja

elektronów:

nlSe

Q

=

u

v

l

t

=

v

u

ś

rednia pr

ę

dko

ść

unoszenia

elektronów w zewn

ę

trznym polu

elektrycznym

t

Q

I

=

u

u

nSev

v

l

nSle

t

Q

I

=

=

=

u

u

v

ρ

nev

S

I

j

=

=

=

ρ

jest g

ę

sto

ś

ci

ą

ładunku

3

5

Przykład:

W drucie z miedzi o przekroju 1 mm

2

płynie pr

ą

d nat

ęż

eniu 1A. Jaka jest v

u

elektronów przewodnictwa ? Masa molowa miedzi

µ

= 63.8 g/mol, g

ę

sto

ść

ρ

Cu

= 8.9

g/cm

3

, N

A

=6.022 10

23

mol

-1

oraz e = 1.6·10

-19

C .

nSe

I

v

u

=

3

28

m

elektr.

10

4

.

8

⋅

=

=

µ

ρ

v

A

N

n

(Cu

+1

)

v

u

= 7.4·10

−

5

m/s = 0.074 mm/s

Dlaczego ta pr

ę

dko

ść

jest taka mała? Dla porównania: pr

ę

dko

ść

elektronu

przyspieszanego napi

ę

ciem 230V na drodze 1m wynosi 9000 km/s.

odp. W przewodniku ładunki s

ą

rozpraszane

opór elektryczny

Jak przy tak znikomo małej pr

ę

dko

ś

ci elektronów mo

ż

liwe jest błyskawiczne

przenoszenie sygnałów elektrycznych np. w sieci telefonicznej ??

6

I

U

I

V

R

=

∆

=

opór elektryczny

Ź

ródłem oporu elektrycznego w przewodnikach jest rozpraszanie no

ś

ników ładunku

na defektach sieci i drganiach sieci (fononach).

Prawo Ohma

Stosunek napi

ę

cia przyło

ż

onego do przewodnika do nat

ęż

enia pr

ą

du przepływaj

ą

cego

przez ten przewodnik jest stały i nie zale

ż

y ani od napi

ę

cia ani od nat

ęż

enia pr

ą

du.

Jednostk

ą

oporu jest ohm (

Ω

); 1

Ω

= 1V/A.

4

7

Wyprowadzenie prawa Ohma

Elektrony poruszaj

ą

si

ę

pod wpływem pola

E

a

ż

zostan

ą

rozproszone (na drganiach sieci lub jej

defektach.
Mi

ę

dzy zderzeniami przyspieszany elektron

przebywa odległo

ść

λ

(

ś

rednia droga swobodna)

w czasie

∆

t.

W zderzeniu elektron „traci pamięć” ruchu i
przyspieszanie zaczyna się na nowo.

Na ka

ż

dy elektron działa siła

F = −eE

, która modyfikuje pr

ę

dko

ść

pr

ę

dko

ś

ci

ą

ruchu

chaotycznego (cieplnego) elektronów

elektron uzyskuje pr

ę

dko

ść

unoszenia

v

u.

mul

λSU

ne

mu

λSE

ne

nSev

I

u

2

2

=

=

=

S

l

ne

mu

I

U

R

λ

2

=

=

S

l

R

ρ

=

eE

t

u

m

=

∆

∆

u

t

λ

=

∆

mu

E

eλ

v

u

=

m

eE

t

v

∆u

u

∆

=

=

Stał

ą

ρ

nazywamy oporem wła

ś

ciwym (rezystywno

ś

ci

ą

), a jej odwrotno

ść

σ

= 1/

ρ

przewodno

ś

ci

ą

wła

ś

ciw

ą

.

8

10

10

- 10

14

szkło

2.5·10

3

krzem

1.1·10

-7

platyna

5.3·10

-8

wolfram

2.8·10

-8

glin

1.7·10

-8

miedź

1.6·10

-8

srebro

Opór właściwy w

T = 300K

(Ωm)

Materiał

ρ

E

RS

El

RS

U

S

I

j

=

=

=

=

S

l

R

ρ

=

E

j

σ

=

w postaci wektorowej
(wektorowa posta

ć

prawa Ohma):

E

j

σ

=

ρ

σ

1

=

5

9

Prawo Ohma jest słuszne pod warunkiem,

ż

e przewodnik znajduje si

ę

w stałej

temperaturze.

t

ne

m

ne

mu

∆

=

=

2

2

λ

ρ

Opór wła

ś

ciwy zale

ż

y od czasu relaksacji (pr

ę

dko

ś

ci

no

ś

ników ładunku i ich drogi swobodnej), masy

no

ś

ników ładunku i koncentracji ładunków.

im wy

ż

sza T tym

wi

ę

ksze drgania sieci,

opór ro

ś

nie z T

(droga swobodna maleje)

im wy

ż

sza T tym

wi

ę

cej no

ś

ników,

opór maleje z T

(ro

ś

nie koncentracja

ładunków)

w dostatecznie niskich T
całkowity zanik oporu

(elektrony tworz

ą

pary

nieoddziałuj

ą

ce z sieci

ą

)

10

Z prawa Ohma wnioskujemy,

ż

e nat

ęż

enie pr

ą

du jest wprost

proporcjonalne do przyło

ż

onego napi

ę

cia.

I

U

I

V

R

=

∆

=

Jest to słuszne dla wi

ę

kszo

ś

ci przewodników (przy niewielkich napi

ę

ciach i nat

ęż

eniach

pr

ą

du).

Istniej

ą

układ, które nie spełniaj

ą

prawa Ohma. S

ą

to mi

ę

dzy innymi półprzewodnikowe

elementy elektroniczne takie jak diody i tranzystory.

6

11

Elektron w zderzeniach z sieci

ą

traci

nadwy

ż

k

ę

energii

dW = U dq

jak

ą

uzyskał przyspieszany w polu
elektrycznym i cała ta energia jest
przekazywana do sieci, co powoduje jej
podgrzanie.

dq

U

dW

=

UI

dt

dq

U

dt

dW

=

=

UI

P

=

R

I

P

2

=

R

U

P

2

=

Przemiana energii elektrycznej na energi

ę

ciepln

ą

, (ciepło Joule'a).

Praca i moc pr

ą

du, straty cieplne

12

Siła elektromotoryczna

Aby w obwodzie elektrycznym utrzyma

ć

pr

ą

d potrzebujemy

ź

ródła energii

elektrycznej, które „przywróci” ładunkom utracon

ą

energi

ę

.

Takimi

ź

ródłami s

ą

np. baterie (energia chemiczna) i generatory elektryczne (energia

mechaniczna). Nazywamy je

ź

ródłami siły elektromotorycznej SEM.

Siła elektromotoryczna

ε

okre

ś

la energi

ę

elektryczn

ą

dW

przekazywan

ą

jednostkowemu ładunkowi

dq

w

ź

ródle SEM

dq

dW

ε

=

Obwody pr

ą

du stałego

Miar

ą

SEM jest ró

ż

nica potencjałów (napi

ę

cie) na biegunach

ź

ródła pr

ą

du w

warunkach, kiedy przez ogniwo nie płynie pr

ą

d (ogniwo otwarte).

7

13

0

1

=

∑

=

n

i

i

I

(zachowanie ładunku)

Prawa Kirchhoffa

Pierwsze prawo Kirchhoffa: Twierdzenie o punkcie rozgał

ę

zienia. Algebraiczna

suma nat

ęż

e

ń

pr

ą

dów przepływaj

ą

cych przez punkt rozgał

ę

zienia (w

ę

zeł) jest

równa zeru.

0

1

=

∑

=

n

i

i

q

dt

d

Drugie prawo Kirchhoffa: Twierdzenie o obwodzie zamkni

ę

tym. Algebraiczna suma

sił elektromotorycznych i spadków napi

ęć

w dowolnym obwodzie zamkni

ę

tym (lub

p

ę

tli) jest równa zeru.

0

1

1

=

+

∑

∑

=

=

m

i

i

i

n

i

i

R

I

ε

(zachowanie energii)

0

1

1

=

+

∑

∑

=

=

m

i

i

n

i

i

U

dq

dq

ε

14

Ka

ż

de rzeczywiste

ź

ródło napi

ę

cia

posiada opór wewn

ę

trzny

r

Napi

ę

cie zasilania jest mniejsze od SEM

o spadek potencjału na oporze wewn

ę

trznym

5 – 100 kΩ

ogniwo słoneczne

ok. 600 Ω

mikrofon

1 - 3 Ω

bateria typu R20

1 - 50 mΩ

stabilizator sieciowy

kilka mΩ

akumulator

Opór wewnętrzny

Źródło prądu

Ir

U

z

−

=

ε

Zgodnie z prawem Ohma U

z

= IR

)

(

R

r

I

+

=

ε

Opór wewn

ę

trzny

8

15

Zastosowanie praw Kirchhoffa:
1. Zakładamy jaki

ś

kierunek pr

ą

du i jego nat

ęż

enie

w ka

ż

dej gał

ę

zi.

2. Zaznaczamy zmiany potencjału w obwodzie:
spadek napi

ę

cia pojawia si

ę

gdy "przechodzimy"

przez opornik w kierunku zgodnym z przyj

ę

tym

kierunkiem pr

ą

du, a przyrost napi

ę

cia gdy

przechodzimy przez

ź

ródło SEM w kierunku od "-"

do "+".
3. Stosujemy prawa Kirchhoffa dla dowolnych p

ę

tli

(oczek) i w

ę

złów.

Przykład 1:

0

2

1

2

1

=

+

+

+

+

−

ε

ε

ir

iR

ir

np. obchodzimy obwód „w lewo” pocz

ą

wszy od

punktu a

R

r

r

i

+

+

−

=

2

1

2

1

ε

ε

Je

ż

eli w wyniku oblicze

ń

otrzymamy ujemne

nat

ęż

enie pr

ą

du to znaczy,

ż

e rzeczywisty

kierunek pr

ą

du jest przeciwny do przyj

ę

tego.

16

dla zewn

ę

trznej "du

ż

ej" p

ę

tli

0

1

3

2

2

2

=

−

−

R

I

R

I

ε

dla wewn

ę

trznej "małej" p

ę

tli

0

1

3

1

=

−

R

I

ε

1

1

3

R

I

ε

=

0

2

2

1

2

=

−

−

R

I

ε

ε

2

1

2

2

R

I

ε

ε

−

=

0

3

2

1

=

−

+

I

I

I

dla w

ę

zła P

2

2

2

1

1

2

1

2

1

1

2

3

1

1

1

R

R

R

R

R

I

I

I

ε

ε

ε

ε

ε

−













+

=

−

−

=

−

=

Przykład 2:

9

17













+

+

=

=

+

+

=

+

+

=

3

2

1

3

2

1

3

2

1

1

1

1

R

R

R

U

R

U

R

U

R

U

I

I

I

I

poł

ą

czenie równoległe

3

2

1

1

1

1

1

R

R

R

R

+

+

=

Ł

ą

czenie oporników

poł

ą

czenie szeregowe

)

(

3

2

1

3

2

1

3

2

1

R

R

R

I

IR

IR

IR

U

U

U

U

+

+

=

=

+

+

=

+

+

=

3

2

1

R

R

R

R

+

+

=

18

C

R

U

U

+

=

ε

Wył

ą

cznik w pozycji a (ładowanie kondensatora)

C

Q

IR

+

=

ε

C

Q

R

dt

dQ

ε

+

=

dt

dQ

I

=

Obwód RC

Wył

ą

cznik w pozycji b (rozładowanie

kondensatora)

C

Q

R

dt

dQ

+

=

0

Rozwi

ą

zanie:

RC

t

e

Q

t

Q

/

0

)

(

−

=

t/RC

e

RC

Q

dt

dQ

I

−

−

=

=

0

stała czasowa RC

)

1

(

)

(

/ RC

t

e

C

t

Q

−

−

=

ε

Rozwi

ą

zanie:

t/RC

e

R

ε

dt

dQ

I

−

=

=

stała czasowa RC