Analiza matematyczna 1 Analiza matematyczna 1
II kolokwium, semestr zimowy 2005/2006 II kolokwium, semestr zimowy 2005/2006
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma 1 2 3 4 Suma
Q1 R1
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwią-
ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y dokładnie zanie ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Stosując regułę de L'Hospitala obliczyć granicę
1. Uzasadnić, \
e dla ka\
dego x < 1 zachodzi wzór
1 + x Ą
lim x ( 31/x - 3-1/x ).
arctg x + arcctg 1 - x = 4 . x -"
2. Wyznaczyć przedziały, w których funkcja
2. Badając ekstremum odpowiedniej funkcji znalez
ć odległość punktu
1
B = (4, -3, 2) od prostej
f ( x ) = x2 ln
x
jest wypukła i rosnąca.
k : x = t + 3, y = -4, z = t, gdzie t " R.
3. Obliczyć całkę
3. Obliczyć całkę
cos x ( 2 sin2x - 1 )
sin2ln x
dx.
dx.
+"
+"
x
sin x + 3
4. Stosując całkę oznaczoną obliczyć pole powierzchni powstałej przy
x2 y2
4. Obliczyć pole obszaru D ograniczonego elipsą + = 1. Przy
obrocie wokół osi Ox odcinka o końcach ( 1, 2 ), ( 4, 1 ).
4 25
Narysować tę powierzchnię.
obliczaniu całki zastosować podstawienie x = 2 sin t.
ex
Zadanie dodatkowe. Wybrać mniejszą z liczb e2,73 , 2, 73e po zbada-
Zadanie dodatkowe. Po zbadaniu monotoniczności funkcji f ( x ) = xe
xe
niu monotoniczności funkcji g ( x ) = .
wybrać większą z liczb 2, 69e , e2,69 .
ex
Analiza matematyczna 1 Analiza matematyczna 1
II kolokwium, semestr zimowy 2005/2006 II kolokwium, semestr zimowy 2005/2006
Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolokwium, Na pierwszej stronie pracy proszę napisać nazwę kursu, z którego odbywa się kolok-
swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię i nazwisko wium, swoje imię i nazwisko, numer indeksu, wydział, kierunek, rok studiów, imię
wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą tabelkę. Po- i nazwisko wykładowcy (osoby prowadzącej ćwiczenia), datę oraz sporządzić poni\
szą
nadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy. tabelkę. Ponadto proszę ponumerować i podpisać wszystkie pozostałe kartki pracy.
1 2 3 4 Suma 1 2 3 4 Suma
S1 T1
Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y napi- Treści zadań proszę nie przepisywać. Rozwiązanie zadania o numerze n nale\
y na-
sać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwiązanie pisać na n-tej kartce pracy. Na rozwiązanie zadań przeznaczono 60 minut, za rozwią-
ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y dokładnie zanie ka\
dego zadania mo\
na otrzymać od 0 do 5 punktów. W rozwiązaniach nale\
y
opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje i twierdzenia, dokładnie opisywać przebieg rozumowania, tzn. formułować wykorzystywane definicje
przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto proszę sporządzać twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski. Ponadto pro-
staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia! szę sporządzać staranne rysunki z pełnym opisem. Powodzenia!
Teresa Jurlewicz Teresa Jurlewicz
ZADANIA ZADANIA
1. Oszacować dokładność wzoru przybli\
onego
1. Napisać wielomian Taylora stopnia 4 w punkcie x0 = Ą dla funkcji
3
1 1
sin2x H" x2- x4 dla x2 d" 2 .
f ( x ) = cos2x.
3
2. Tokarz ma wytoczyć ze sto\
ka o promieniu podstawy R i wysokości 2. Znalez
ć wszystkie przedziały, na których funkcja
H walec. W jakiej odległości od podstawy sto\
ka powinna znajdować
g ( x ) = ( x2 - 3 ) ex
się górna podstawa walca, aby ilość zeszlifowanego materiału była
mo\
liwie najmniejsza.
jest jednocześnie wklęsła i malejąca.
5x - 1
x dx
3. Obliczyć całkę dx.
3. Stosując podstawienie x = 3 + sin t obliczyć całkę .
+"
+"
x2 + 3x + 3
4x - x2 - 3
4. Obszar
4. Obliczyć pole figury ograniczonej wykresami funkcji
D = { ( x, y ) : 0 d" x d" 3 , 0 d" y d" arctg x }
y = x2, y = x2 - 1
obraca się wokół osi Oy. Podać objętość otrzymanej w ten sposób
oraz prostymi x = 1, y = 9 i poło\
onej się w półpłaszczyz
nie x e" 0.
bryły obrotowej V.
ex
Zadanie dodatkowe. Po zbadaniu monotoniczności funkcji f ( x ) = xe
Zadanie dodatkowe. Wybrać mniejszą z liczb e2,68 , 2, 68e po zbadaniu
xe
wybrać większą z liczb 2, 74e , e2,74 .
monotoniczności funkcji g ( x ) = ex .