Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa
w Ciechanowie
Wydział Ekonomii
Modelowanie gospodarcze
WYKA
AD 3
dr Renata Dzik
Modelowanie tendencji rozwojowych  model
trendu liniowego
Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa
w Ciechanowie
Wydział Ekonomii
Modelowanie tendencji rozwojowych-model trendu
liniowego
Plan wykładu:
" Analiza szeregów czasowych
" Wahania w szeregu czasowym
" Analiza trendu liniowego
Analiza szeregów czasowych
Szereg czasowy powstaje w wyniku
obserwacji mierzalnego zjawiska w
kolejnych momentach lub okresach. Szereg
czasowy tworzą na przykład dane o liczbie
ludności Polski na koniec roku w kolejnych
latach pewnego okresu, dane o rocznym
produkcie krajowym brutto w ciągu kilku lat
itp.
Analiza szeregów czasowych
Zmiany zjawiska w czasie mogą podlegać
pewnym prawidłowościom, których wykrycie i opis
jest przedmiotem analizy szeregów czasowych. Jeśli
zastosowana metoda analizy prowadzi do
zbudowania formalnego modelu opisującego rozwój
zjawiska w czasie, to możliwe staje się
prognozowanie. Metody analizy służą na ogół do
wyodrębniania i opisu poszczególnych składników
szeregu czasowego. Z tego względu określa się je
jako metody dekompozycji szeregu czasowego.
Model trendu (tendencji rozwojowej)
Tendencja rozwojowa, zwana trendem,
jest długookresową skłonnością do
jednokierunkowych zmian (wzrostu lub
spadku) wartości badanej zmiennej. Jest
rozpatrywana jako konsekwencja działania
stałego zestawu czynników, tj. np. w
przypadku sprzedaży  liczba potencjalnych
klientów, ich dochody, czy preferencje.
Może być wyznaczana, gdy dysponuje się
długim ciągiem obserwacji.
Wahania sezonowe i cykliczne
Stały (przeciętny) poziom prognozowanej zmiennej występuje
wówczas, gdy w szeregu czasowym wartości prognozowanej zmiennej
oscylują wokół pewnego (stałego) poziomu.
Wahania sezonowe (okresowe), czyli regularne, powtarzające się
zmiany poziomu zjawiska, wywoływane czynnikami przyrodniczymi.
Wahania te powtarzają się w przedziale czasu nie przekraczającym
jednego roku. Powstają na skutek zmian pór roku, przyjętej konwencji
podziału roku na kwartały, miesiące itd. oraz zwyczajów związanych z
tymi faktami (wyjazdy na urlopy latem, wzmożone zakupy w okresie
świąt itp.)
Wahania cykliczne można obserwować na przestrzeni wielu lat i
mającymi różną długość cyklu i nieregularny charakter. Wahania tego
typu są obserwowane w ekonomicznych szeregach czasowych i noszą
nazwę cyklu koniunkturalnego. Wyróżnia się w nich okresy recesji,
depresji i ożywienia.
Wahania przypadkowe
W szeregu czasowym występują także
wahania przypadkowe. Są to nieregularne
odchylenia wielkości zjawiska od poziomu,
jakiego oczekiwalibyśmy na podstawie
działania innych czynników (trendu, wahań
sezonowych i cyklicznych). Natura wahań
przypadkowych jest trudna do określenia.
Mogą być one skutkiem przypadkowego
różnokierunkowego oddziaływania
czynników nie uwzględnionych w analizie.
Analiza szeregu czasowego
Podstawowym zadaniem analizy szeregu
czasowego jest wykrycie i pomiar
wymienionych składników szeregu
czasowego. Celem analizy może być
zbudowanie formalnego modelu
pozwalającego przewidywać przyszły
poziom zjawiska.
Model tendencji rozwojowej
Wykorzystanie klasycznych modeli tendencji
rozwojowej do prognozowania średnio i
długookresowego (tj. do 5 lat i powyżej 5 lat) daje
dobre wyniki, gdy rozwój zjawiska w czasie
wykazuje bardzo trwałe i systematyczne zmiany
jednokierunkowe, przy jednocześnie ograniczonym
oddziaływaniu losowości. Przykładem takich
zjawisk jest kształtowanie się podstawowych
wielkości makroekonomicznych, takich jak: PKB,
wydajność pracy, poziom zatrudnienia, liczba
ludności i inne.
Analiza trendu
Trend zjawiska można określić poprzez
 wygładzenie szeregu czasowego. W tym
celu oblicza się średnie ruchome lub
dopasowuje się do danych, za pomocą
metody najmniejszych kwadratów (MNK),
wybraną linię trendu.
Analiza trendu liniowego-MNK
Model tendencji rozwojowej z liniową funkcją trendu
przyjmuje postać:
w
t =� at +� b
Nieznane parametry a i b zostały wyliczone na
podstawie danych z szeregu czasowego według
następujących wzorów:
n
(t -� t )( y -� y )
�� t
t =�1
a =�
b =� y -� at
n
2
(t -� t )
��
t =�1
gdzie:
a - oznacza okresowe tempo wzrostu (a>0) lub ubytku (a<0)
wielkości badanego zjawiska,
b - oznacza stan zjawiska w okresie wyjściowym.
Model trendu liniowego-przykład
Oszacowanie trendu liniowego dla cen energii elektrycznej w
Polsce w latach 1994-2004
Tabela 1. Wyliczenie trendu liniowego ceny energii elektrycznej
Trend liniowy-dopasowanie
W celu przeprowadzenia oceny dopasowania
linii trendu do rzeczywistych danych służy
2
współczynnik zbieżności ( ):
j�
n
��(y -� w
t )2
t
2
t=�1 2
j� =�
0 Ł� j� Ł� 1
n
gdzie
��(y -� y)2
t
t=�1
Trend liniowy-dopasowanie
Inną miarą dopasowania jest współczynnik
determinacji ( ):
R2
2
gdzie
R2 =� 1-�j�
0 Ł� R2 Ł�1
Im R2 jest bliższy 1, tym dopasowanie
jest lepsze.
Trend liniowy - przykład
Tabela 2. Wielkości miar rozproszenia oraz miar do oceny
dopasowania linii trendu do danych empirycznych
w
t =� 0,015t +� 0,18
Liniowa funkcja trendu wygładzająca wahania
przypadkowe opisuje kształtowanie się ceny energii elektrycznej w 98%
( ). Wartość współczynnika determinacji jest bliska 1, stąd
R2 =� 0,9795
wniosek, że dopasowanie jest na wysokim poziomie.
Trend liniowy- przykład
Wyznaczony model można wykorzystać również
do prognozowania ceny energii elektrycznej w roku
2005. W przyjętym systemie numeracji rok ten ma
numer 11, więc t=11, a prognoza wyniesie:
^
y11 =� 0,015 ��11+� 0,18 =� 0,34
Trend liniowy
Na zakończenie rozważań, można stwierdzić, że
budowa modelu i na jego podstawie oszacowania
prognozy zmiennej y na okresy przyszłe na
podstawie modelu trendu wymaga spełnienia
zasady ceteris paribus (przy pozostałych
czynnikach niezmienionych) , dla okresu na który
się prognozuje. Zasada ta zakłada stałość
analitycznej postaci modelu trendu, jak i
niezmienności wartości jego parametrów. Wymogi
te, jeśli nie są spełnione, zmniejszają wydatnie
dokładność prognoz, a nawet uniemożliwiają ich
opracowanie.
Zadania do rozwiązania
Zadanie 1.
Na podstawie poniższych danych o liczbie zarejestrowanych
samochodów na 1000 mieszkańców Polski w latach 1990-1997
należy oszacować metodą najmniejszych kwadratów parametry
liniowej funkcji trendu liczby zarejestrowanych samochodów,
przyjmując przy tym t=1,2,...,8
Lata 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
Liczba 138 159 169 176 185 195 208 221
samochodów
Oblicz współczynnik determinacji, oraz podaj prognozę zarejestrowanych
samochodów w roku 1998.
Zadania do rozwiązania
Zadanie 2.
Produkcja piwa (w mln hl) w Polsce w latach 1990-1998 kształtowała
się następująco:
1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
Lata
Produkcja 11,3 13,6 14,1 12,6 14,1 15,2 16,7 19,3 21
Oszacuj parametry liniowej funkcji trendu produkcji piwa.
Oblicz współczynnik zbieżności, na tej podstawie oszacuj
dopasowanie. Podaj przewidywaną produkcję piwa w 2000
roku.
Dziękuję za uwagę