1
Zastosowania geometryczne całki oznaczonej
(A) Pole obszararu płaskiego
b

|P | = |f(x)| dx
a
Założenie: funkcja f(x) jest ciągła dla x " [a, b] .
2
d

|P | = |f(y)| dy
c
Założenie: funkcja f(y) jest ciągła dla y " [c, d] .
3
b

|P | = ( f(x) - g(x) ) dx
a
Założenie: funkcje f(x) i g(x) są ciągłe dla x " [a, b] oraz dla
każdego x " [a, b] f(x) g(x) .
4
d

|P | = ( f(y) - g(y) ) dy
c
Założenie: funkcje f(y) i g(y) są ciągłe dla y " [c, d] oraz dla
każdego y " [c, d] f(y) g(y) .
5
Przykład Oblicz pola obszarów ograniczonych wykresami funkcji:
a) y = arctg x, y = 1 - ex, x = 1
b) y = ln x, y = -1, y = 1, x = 0
(B) Krzywa płaska zadana parametrycznie
Definicja Zbiór punktów płaszczyzny (x, y) " R2 taki, że
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = x(t) t " [t1, t2]
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y = y(t)
ôÅ‚
ół
gdzie x(t) i y(t) są funkcjami ciągłymi dla t " [t1, t2]
nazywamy krzywą płaską daną parametrycznie.
Punkt (x(t1), y(t1)) nazywamy poczÄ…tkiem krzywej, punkt
(x(t2), y(t2)) - końcem.
6
Przykład
" Prosta przechodząca przez punkt P (x0, y0) i równoległa do
wektora = [a1, a2] ma parametryzacjÄ™:
a
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x(t) = x0 + a1 t t " R
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y(t) = y0 + a2 t
ôÅ‚
ół
Jeżeli y " [t1, t2] , to wzór powyższy przedstawia parametryzację
odcinka o początku w punkcie (x(t1), y(t1)) i końcu w punkcie
(x(t2), y(t2)) .
" Odcinek o początku w punkcie A(xA, yA) i końcu w punkcie
B(xB, yB) ma parametryzacjÄ™:
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x(t) = xA + (xB - xA) t t " [0, 1]
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y(t) = yA + (yB - yA) t
ôÅ‚
ół
7
" Okrąg o środku w punkcie P (x0, y0) i promieniu R > 0 ma
parametryzacjÄ™:
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x(t) = x0 + R cos t t " [0, 2Ä„]
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y(t) = y0 + R sin t
ôÅ‚
ół
y2
x2
" Elipsa o równaniu + = 1 ma parametryzację:
a2 b2
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x(t) = a cos t t " [0, 2Ä„]
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y(t) = b sin t
ôÅ‚
ół
8
(C) Pole obszaru płaskiego pod krzywą zadaną parametrycznie
t2

|P | = | y(t) · x (t) | dt
t1
Założenie: funkcje x(t) , x (t) i y(t) są ciągłe dla t " [t1, t2]
oraz x (t) i y(t) mają stały znak.
9
Przykład Oblicz pole obszaru ograniczonego osią OX i krzywą
zadanÄ… parametrycznie x(t) = t et, y(t) = t e-t, t " [0, 1] .
Przykład Wyprowadz
wzór na pole elipsy o półosiach a i b .
10
(D) Krzywa płaska we współrzędnych biegunowych
WspółrzÄ™dne biegunowe (r, Õ) :
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x = r cos Õ r " [0, +")
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y = r sin Õ Õ " [0, 2Ä„]
ôÅ‚
ół
r2 = x2 + y2
11
Przykład Zapisz równania krzywych we współrzędnych biegunowych:
a) x2 + y2 = R2
b) ( x2 + y2 )2 = a2 ( x2 - y2 ), a > 0
12
(E) Pole obszaru płaskiego pod krzywą zadaną we współrzędnych
biegunowych
²
1
|P | = r2(Õ) dÕ
Ä…
2
ZaÅ‚ożenie: funkcja r(Õ) jest ciÄ…gÅ‚a i nieujemna dla Õ " [Ä…, ²] .
Przykład Oblicz pole obszaru ograniczonego krzywą z punktu b)
z poprzedniego przykładu.
13
(F) Długość łuku wykresu funkcji


b



|L| = 1 + (f (x))2 dx
a
Założenie: funkcje f(x) i f (x) są ciągłe dla x " [a, b] .
x2
Przykład Oblicz długość łuku wykresu funkcji f(x) = -1 ln x
4 2
dla x " [1, e] .
14
(G) Długość łuku krzywej zadanej parametrycznie

t2




|L| = (x (t))2 + (y (t))2 dt
t1
Założenie: funkcje x(t) , x (t) , y(t) i y (t) są ciągłe dla
t " [t1, t2] .
15
Przykład Oblicz długość łuku krzywej zadanej dla t " [-4, -1]
parametrycznie:
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ t

ôÅ‚
cos z
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x(t) = dz
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚
z
-2
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
3
ôÅ‚
sin z
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ y(t) = dz
ôÅ‚
ół
z
t
16
(H) Długość łuku krzywej we współrzędnych biegunowych

²




|L| = (r(Õ))2 + (r (Õ))2 dÕ
Ä…
ZaÅ‚ożenie: funkcje r(Õ) i r (Õ) sÄ… ciÄ…gÅ‚e dla Õ " [Ä…, ²] .
Przykład Oblicz długość łuku krzywej o równaniu
r(Õ) = a(1 + cos Õ) , gdzie a > 0 i Õ " [0, 2Ä„] .
17
(I) Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wykresu funkcji
dookoła osi 0X
b

|V | = Ä„ (f(x))2 dx
a
Założenie: funkcja f(x) jest ciągła dla x " [a, b] .
18
Przykład Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót wykresu
funkcji
1
"
f(x) =
x2 - 3x + 2
dookoła osi 0X dla x " [3, 4] .
Przykład Wyprowadz
wzór na objętość stożka ściętego, powstałego
przez obrót prostej f(x) = cx dookoła osi 0X dla x " [a, b] ,
gdzie stałe a, b, c > 0 .
(J) Objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót krzywej zadanej
parametrycznie dookoła osi 0X
t2

|V | = Ä„ (y(t))2 · | x (t) | dt
t1
19
Założenie: funkcje x(t) , x (t) i y(t) są ciągłe dla t " [t1, t2]
oraz x (t) i y(t) mają stały znak.
Przykład Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej
1 1
x(t) = t2 + t, y(t) = t3 dookoła osi 0X dla t " [0, 1]
2 2
(K) Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej przez obrót
wykresu funkcji dookoła osi 0X


b



|S| = 2Ä„ |f(x)| 1 + (f (x))2 dx
a
Założenie: funkcje f(x) i f (x) są ciągłe dla x " [a, b] .
20
Przykład Wyprowadz
wzór na pole powierzchni sfery o promieniu
R .
(L) Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej powstałej przez obrót
krzywej zadanej parametrycznie dookoła osi 0X

t2




|S| = 2Ä„ |y(t)| (x (t))2 + (y (t))2 dt
t1
Założenie: funkcja x(t), y(t), x (t), y (t) jest ciągła dla t "
[t1, t2] .
21
Przykład Oblicz pole powierzchni powstałej przez obrót dookoła
osi 0X asteroidy:
Å„Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
x(t) = a cos3 t t " [0, 2Ä„]
ôÅ‚
òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
y(t) = a sin3 t
ôÅ‚
ół
Przykład
1
"
" Oblicz pole obszaru zawartego pomiędzy krzywą f(x) =
5
(x-3)2
oraz prostymi x = 3, x = 4, y = 0 .
" Oblicz długość łuku wykresu funkcji:

f(x) = arcsin x + 1 - x2.
" Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi 0X
krzywej f(x) = ln x dla 0 x 1 .
22
" Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi 0X
krzywej f(x) = x e-x dla x 0 .
1
" Oblicz pole obszaru zawartego pomiędzy krzywą f(x) =
1+x2
a osiÄ… 0X.
1
" Krzywa f(x) = , gdzie 1 x +" obraca się wokół
x
osi 0X. Wykazać następujący pardoksalny fakt: pole uzyskanej
powierzchni obrotowej wynosi +" zaś objętość bryły ograniczonej
tÄ… powierzchniÄ… wynosi tylko Ä„ .