Adam Bednarz
Instytut Matematyki PK

Ci¡gi liczbowe - przykªady

Przykªad 1 Zbada¢ monotoniczno±¢ ci¡gu o wyrazie ogólnym

a

n

=

n + 1

2

n+1

+ 1

.

Rozwi¡zanie. Je±li ci¡g jest rosn¡cy albo malej¡cy, to jest monotoniczny. Ci¡g {a

n

}

jest

rosn¡cy wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówno±¢
a

n+1

− a

n

> 0

, natomiast malej¡cy wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dej liczby naturalnej n

prawdziwa jest nierówno±¢ a

n+1

− a

n

< 0

.

Mamy

a

n+1

− a

n

=

n + 2

2

n+2

+ 1

−

n + 1

2

n+1

+ 1

=

(n + 2)(2

n+1

+ 1) − (n + 1)(2

n+2

+ 1)

(2

n+1

+ 1)(2

n+2

+ 1)

=

=

n2

n+1

+ n + 2

n+2

+ 2 − n2

n+2

− n − 2

n+2

− 1

(2

n+1

+ 1)(2

n+2

+ 1)

=

=

n2

n+1

− n2

n+1

· 2 + 1

(2

n+1

+ 1)(2

n+2

+ 1)

=

1 − n2

n+1

(2

n+1

+ 1)(2

n+2

+ 1)

.

Poniewa» dla ka»dej liczby naturalnej mianownik jest dodatni, a licznik ujemny, wi¦c dla

ka»dej liczby naturalnej a

n+1

− a

n

< 0

, czyli ci¡g jest malej¡cy.

Przykªad 2 . Nie korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach obliczy¢ granic¦

lim

n→∞

n

√

7n

3

+ 3n

2

− 10n + 20.

Rozwi¡zanie. Z wyra»enia pod pierwiastkiem wyci¡gamy n w najwy»szej pot¦dze.

Mamy

lim

n→∞

n

√

7n

3

+ 3n

2

− 10n + 20 = lim

n→∞

n

s

n

3



7 +

3

n

−

10

n

2

+

20

n

3



=

= lim

n→∞

n

√

n

3

·

n

r

7 +

3

n

−

10

n

2

+

20

n

3

!

=

= lim

n→∞

(

n

√

n)

3

·

n

r

7 +

3

n

−

10

n

2

+

20

n

3

!

.

Granice obu czynników istniej¡. Na podstawie granic specjalnych mamy

n

√

n

3

−→

n→∞

1

oraz

n

r

7 +

3

n

−

10

n

2

+

20

n

3

−→

n→∞

1.

Ostatecznie mo»emy skorzysta¢ z twierdzenia o iloczynie granic i otrzymujemy

lim

n→∞

n

√

7n

3

+ 3n

2

− 10n + 20 = lim

n→∞

(

n

√

n)

3

· lim

n→∞

n

r

7 +

3

n

−

10

n

2

+

20

n

3

= 1 · 1 = 1.

1

Przykªad 3 Nie korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach, obliczy¢ poni»sze granic¦ ci¡gu

lim

n→∞

n

√

7

n

+ 30 · 2

n

+ n

3

+ 4 cos n.

Rozwi¡zanie. Z wyra»enia pod pierwiastkiem wyci¡gamy wyra»enie wykªadnicze o najwi¦k-

szej podstawie. Przeksztaªcamy i otrzymujemy

lim

n→∞

n

√

7

n

+ 30 · 2

n

+ n

3

+ 4 cos n = lim

n→∞

n

s

7

n



1 + 30 ·

 2

7



n

+

n

3

7

n

+ 4 ·

1

7

n

· cos n



=

= lim

n→∞

n

√

7

n

·

n

s

1 + 30 ·

 2

7



n

+

n

3

7

n

+ 4 ·

1

7

n

· cos n

!

=

= lim

n→∞

7 ·

n

s

1 + 30 ·

 2

7



n

+

n

3

7

n

+ 4 ·

1

7

n

· cos n

Z wªasno±ci lim

n→∞

n

k

a

n

= 0

dla dowolnego k i dodatniego a, wnioskujemy, »e

n

3

7

n

−→

n→∞

0

.

Oczywiste jest

1

7

n

−→

n→∞

0

i

 2

7



n

−→

n→∞

0

.

Korzystamy te» z wªasno±ci, »e je±li {a

n

}

jest ciagiem ograniczonym, za± {b

n

}

ciagiem

zbie»nym do zera, to lim

n→∞

a

n

b

n

= 0

. St¡d wnioskujemy, »e

1

7

n

· cos n −→

n→∞

0

. Ostatecznie

otrzymujemy, »e lim

n→∞

n

√

7

n

+ 30 · 2

n

+ n

3

+ 4 cos n = 7

.

Przykªad 4 Korzystaj¡c z twierdzenia o trzech ci¡gach obliczy¢ granic¦ ci¡gu

lim

n→∞

n

√

7

n

+ 30 · 2

n

+ n

3

+ 4 cos n.

Rozwi¡zanie. Szacujemy ci¡g od góry i od doªu przez inne dwa ci¡gi (majorant¦ i minornt¦),

które maj¡ te same granice.

n

√

7

n

≤

n

√

7

n

+ 30 · 2

n

+ n

3

+ 4 cos n ≤

n

√

7

n

+ 30 · 7

n

+ 7

n

+ 4 · 7

n

lim

n→∞

n

√

7

n

+ 30 · 7

n

+ 7

n

+ 4 · 7

n

= lim

n→∞

n

√

36 · 7

n

= lim

n→∞

n

√

36 ·

n

√

·7

n

= lim

n→∞

n

√

36 · 7 =

1 · 7 = 7

. Poniewa» majoranta i minoranta naszego ci¡gu d¡»¡ do 7, to na podstawie

twierdzenie o trzech ci¡gach nasz ci¡g równie» jest zbie»ny do 7.

Przykªad 5 Obliczy¢ granic¦ ci¡gu

lim

n→∞



n · sin

2n

1 + n

2



.

Rozwi¡zanie. Zauwa»amy, »e mamy do czynienia z symbolem nieoznaczonym typu [∞ · 0].
Aby skorzysta¢ z granicy specjalnej lim

a

n

→0

sin a

n

a

n

= 1

przeksztaªcamy ogólny wyraz ci¡gu.

Mamy

lim

n→∞



n · sin

2n

1 + n

2



= lim

n→∞

"

n ·

sin

2n

1+n

2

2n

1+n

2

·

2n

1 + n

2

#

= lim

n→∞

"

sin

2n

1+n

2

2n

1+n

2

·

2n

2

1 + n

2

#

= 1 · 2 = 2,

poniewa»

2n

1 + n

2

−→

n→∞

0

, wi¦c pierwszy czynnik d¡»y do 1, z kolei drugi czynnik ma granic¦ 2.

2

Przykªad 6 Obliczy¢ granic¦ ci¡gu o wyrazie ogólnym

a

n

=

n!

n

n

.

Rozwi¡zanie. Wyrazy tego ci¡gu przyjmuj¡ warto±ci dodatnie dla wszystkich liczb natural-

nych. Obliczamy

lim

n→∞

a

n+1

a

n

= lim

n→∞

(n+1)!

(n+1)

n+1

n!

n

n

= lim

n→∞

(n + 1)!

(n + 1)

n+1

n

n

n!

= lim

n→∞

 (n + 1)!

n!

n

n

(n + 1)

n+1



=

= lim

n→∞

 (n + 1) n!

n!

n

n

(n + 1)

n

(n + 1)



= lim

n→∞

n

n

(n + 1)

n

= lim

n→∞



n

n + 1



n

=

= lim

n→∞

 n + 1

n



−n

= lim

n→∞

 n + 1

n



n



−1

= e

−1

=

1

e

< 1.

Korzystamy z twierdzenia, »e dla ci¡gu o wyrazach dodatnich, je±li lim

n→∞

a

n+1

a

n

< 1

, to

lim

n→∞

a

n

= 0

, a je±li lim

n→∞

a

n+1

a

n

> 1

, to lim

n→∞

a

n

= ∞

.

Ostatecznie lim

n→∞

a

n

= lim

n→∞

n!

n

n

= 0

.

3