www.etrapez.pl

 Krystian Karczyński 

Strona 1 

 

 

Nieparametryczne Testy Istotności 

Wzory 

Nieparametryczne testy istotności – schemat postępowania punkt 
po punkcie 

1.  Formułujemy hipotezę główną

0

H

 odnoszącą się do: 



 

zgodności populacji generalnej z jakimś rozkładem, lub: 



 

losowości próby 

2.  Obliczamy odpowiednią statystykę. 
3.  Tworzymy i rysujemy obszar krytyczny (obu lub jednostronny w zależności od 

1

H

) 

4.  Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy 

hipotezę

0

H

na rzecz hipotezy alternatywnej 

1

H

. Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma 

podstaw do odrzucenia hipotezy

0

H

. 

 

 

 

www.etrapez.pl

 Krystian Karczyński 

Strona 2 

 

I. 

Test zgodności Pearsona 

1. Formułujemy hipotezy: 

0

H

: populacja generalna ma rozkład … 

1

:

H

populacja generalna nie ma tego rozkładu 

2. Obliczamy statystykę: 





2

2

1

r

i

i

i

i

n

np

np











 

gdzie 

r

to liczba przedziałów w szeregu, 

i

n

to liczebności empiryczne w próbce, 

i

p

prawdopodobieństwa/odsetki teoretyczne,  n liczebność ogólna próbki, 

i

np

liczebności 

teoretyczne 



 

Prawdopodobieństwa

i

p

w rozkładzie normalnym odczytujemy odpowiednio 

odczytując tablice 



 

Prawdopodobieństwa

i

p

w rozkładzie Poissona odczytujemy liczymy ze wzoru: 

!

i

x

i

i

p

e

x









, gdzie 



jest średnią rozkładu (najczęściej przyjmujemy tu średnią z 

próbki  X ) 



 

Prawdopodobieństwa

i

p

w rozkładzie Bernoulliego/dwumianowym liczymy ze wzoru: 





1

1

i

i

x

x

i

i

n

p

p

p

x



 





 

 

, gdzie 

p

jest prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej 

próbie 

 

3. Tworzymy i rysujemy prawostronny obszar krytyczny dla rozkładu chi-kwadrat, dla 

1

r

k

 

stopni swobody, gdzie  k oznacza liczbę parametrów w rozkładzie teoretycznym (

2

k



w rozkładzie normalnym, 

1

k



w rozkładach Poissona i dwumianowym/Bernoulliego) 

4. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy 
hipotezę

0

H

na rzecz hipotezy alternatywnej 

1

H

. Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw 

do odrzucenia hipotezy

0

H

. 

 

 

www.etrapez.pl

 Krystian Karczyński 

Strona 3 

 

II. 

Test losowości próby 

II.a Dla małej liczebności próby 

1. Formułujemy hipotezy: 

0

H

: próba ma charakter losowy 

1

:

H

populacja generalna nie ma tego rozkładu 

2. Porządkujemy próbę w kolejności rosnącej i wszystkim wynikom przyporządkowujemy 
literę a , jeśli jest on mniejszy od mediany; b , jeśli większy (jeśli równy – pomijamy). 

3. Ustawiamy z powrotem wyniki otrzymując ciąg znaków aababb… . Liczbę serii oznaczamy 
przez k. Liczby znaków a i b oznaczamy przez

1

n

i

2

n

 . 

4. Z tablic rozkładu serii odczytujemy wartości graniczne

1

k

i

2

k

takie, żeby 





1

2

P k

k







;





2

1

.

2

P k

k





 

 

5. Sprawdzamy, czy k należy do obszaru krytycznego

1

2

k

k

k

k

  

i piszemy odpowiedź. 

 

 

www.etrapez.pl

 Krystian Karczyński 

Strona 4 

 

II.b Dla dużej liczebności próby 

1. Formułujemy hipotezy: 

0

H

: populacja generalna ma rozkład … 

1

:

H

populacja generalna nie ma tego rozkładu 

2. Porządkujemy próbę w kolejności rosnącej i wszystkim wynikom przyporządkowujemy 
literę a , jeśli jest on mniejszy od mediany; b , jeśli większy (jeśli równy – pomijamy). 

3. Ustawiamy z powrotem wyniki otrzymując ciąg znaków aababb… . Liczbę serii oznaczamy 
przez k. Liczby znaków a i b oznaczamy przez

1

n

i

2

n

 . 

4. Obliczamy statystykę: 







 



1 2

1

2

1 2

1 2

1

2

2

2

1

2

2

1

,

2

2

1

n n

k

n

n

Z

n n

n n

n

n

n

n

n

n





















 



 

 

5. Tworzymy i obustronny obszar krytyczny dla rozkładu normalnego. 

6. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy 
hipotezę

0

H

na rzecz hipotezy alternatywnej 

1

H

. Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw 

do odrzucenia hipotezy

0

H

. 

 

 

www.etrapez.pl

 Krystian Karczyński 

Strona 5 

 

III. 

Test zgodności dwóch rozkładów 

III.a Dla małej liczebności próby 

1. Formułujemy hipotezy: 

0

H

: próbki pochodzą z tej samej populacji (o tym samym rozkładzie) 

1

:

H

 próbki pochodzą z tej samej populacji 

2. Porządkujemy wyniki obu próbek w ciąg o kolejności niemalejącej ( w przypadku takich 
samych wartości w obu próbkach najpierw wypisujemy wyniki z pierwszej, a potem z drugiej) 
i wszystkim wynikom z pierwszej próbki przyporządkowujemy literę a , a wszystkim wynikom 
z próbki drugiej literkę b . 

3. Liczbę serii oznaczamy przez k. Liczby znaków a i b oznaczamy przez

1

n

i

2

n

 . 

4. Z tablic rozkładu serii odczytujemy wartość graniczną

1

k

taką, żeby 





1

P k

k







(lewostronny obszar krytyczny). 

5. Sprawdzamy, czy k należy do obszaru krytycznego

1

k

k



i piszemy odpowiedź. 

 

 

www.etrapez.pl

 Krystian Karczyński 

Strona 6 

 

III.b Dla dużej liczebności próby 

1. Formułujemy hipotezy: 

0

H

: próbki pochodzą z tej samej populacji (o tym samym rozkładzie) 

1

:

H

 próbki pochodzą z tej samej populacji 

2. Porządkujemy wyniki obu próbek w ciąg o kolejności niemalejącej ( w przypadku takich 
samych wartości w obu próbkach najpierw wypisujemy wyniki z pierwszej, a potem z drugiej) 
i wszystkim wynikom z pierwszej próbki przyporządkowujemy literę a , a wszystkim wynikom 
z próbki drugiej literkę b . 

3. Obliczamy statystykę: 







 



1 2

1

2

1 2

1 2

1

2

2

2

1

2

2

1

,

2

2

1

n n

k

n

n

Z

n n

n n

n

n

n

n

n

n





















 



 

 

4. Tworzymy i obustronny obszar krytyczny dla rozkładu normalnego. 

5. Sprawdzamy, czy statystyka znalazła się w obszarze krytycznym. Jeśli tak – odrzucamy 
hipotezę

0

H

na rzecz hipotezy alternatywnej 

1

H

. Jeśli nie – stwierdzamy, że nie ma podstaw 

do odrzucenia hipotezy

0

H

.