Wykład II

Testy istotności, 
zastosowanie testu t-
studenta 

Wprowadzenie

Badanie  właściwości  populacji  dokonujemy 

najczęściej na podstawie próby, stanowiącej 

jej  reprezentatywną  część.  Wnioskowanie 

statystyczne  możemy  podzielić  na  dwie 

zasadnicze  grupy:  estymacja  parametrów  i 

testowanie 

hipotez 

statystycznych. 

Estymacja  parametrów  może  być  punktowa 

albo  przedziałowa.  W  estymacji  punktowej 

oceniamy  parametry  takie  jak  na  przykład 

średnia 

arytmetyczna 

czy 

wariancja. 

Estymacja 

przedziałowa 

polega 

na 

wyliczeniu  na  podstawie  wyników  z  próby 

przedziału  liczbowego,  który  z  określonym 

prawdopodobieństwem  obejmować  będzie 

wyznaczony przez nas parametr punktowy.

Weryfikacja hipotez 

Na podstawie zbioru wartości liczbowych 
uzyskanych z pomiarów czy obserwacji 
staramy się odpowiedzieć na pytanie czy np. 
2 badane przez nas odmiany A i B różnią się 
pod względem wysokości plonu ziarna, 
zawartość magnezu w nawozie jest zgodna z 
przewidzianą dla tego produktu normą. Do 
weryfikacji hipotez statystycznych 
wykorzystujemy testy statystyczne. Testem 
statystycznym nazywamy sposób 
postępowania przy pomocy którego możemy 
zadecydować czy postawioną hipotezę należy 
odrzucić czy też jej nie odrzucać. 

Rodzaje hipotez 
statystycznych

Hipoteza zerowa. Zakłada, że średnia nie różni się 

od wzorca lub średnie dla 2 obiektów są takie 
same



 

A

H :

0







A

H :

0

Hipoteza alternatywna . Zakłada, że średnia 
różni się od wzorca lub że średnie dla 2 
obiektów nie są takie same

B

A

H







:

0







A

H :

1

B

A

H







:

1

Przy wnioskowaniu możemy 
popełnić następujące błędy:

Hipoteza

zerowa

DECYZJE

Przyjąć H

0

Odrzucić H

0

Hipoteza 

zerowa jest 

prawdziwa

Decyzja 

prawidłowa

Błąd I-go 

rodzaju ()

Hipoteza 

zerowa jest 

fałszywa

Błąd II-go 

rodzaju ()

Decyzja 

prawidłowa

Zasady wnioskowania

Wnioskowanie w testach istotności 

polega na wyliczeniu na podstawie 

wyników n - elementowej próby 

wartości empirycznej i porównaniu jej z 

wartością krytyczną odczytaną z 

odpowiednich tablic. Jeśli wartość 

empiryczna jest większa o wartości 

krytycznej to hipotezę zerową 

odrzucamy i w jej miejsce przyjmujemy 

hipotezę alternatywną.

Poziom istotności i ufności

Błąd I-go rodzaju () polegający na odrzuceniu 

prawdziwej hipotezy zerowej określamy 
poziomem istotności. W testach istotności 
przyjęto określone niskie wartości tego błędu tak 
aby wnioski formułowane przy nich były 
wystarczająco wiarygodne:
 < 0,05 (5 %) różnice istotne

 < 0,01 (1 %) różnice wysoce istotne

 < 0,001 (0,1 %) różnice bardzo wysoce istotne

Poziomem ufności określa się wartość 1- , 

która oznacza prawdopodobieństwo tego, że nie 
popełniliśmy błędu I-go rodzaju

Kryteria wyboru testu 
istotności

Czy obserwowane zmienne losowe

mają rozkłady normalne ?

TAK

Znane wariancję ?

NIE

Duże próby ?

TAK

Test U

NIE

Równe wariancje ?

TAK

Test Z

NIE

Testy nieparametryczne

Tak

Duża próba?

NIE

Test Cochrana-Coxa

Tak

Test U

NIE

Test t

Zastosowania testu t-
Studenta

Jako test” jakościowy”

do porównania średniej z wzorcem

-

porównania dwóch średnich metodą zmiennych 

niepołączonych,

-

porównania dwóch średnich metodą zmiennych 

połączonych.

Jako test „ilościowy”:

-

określenia przedziału ufności, w którym znajduje się 

prawdziwa średnia populacji (),

-

określenia przedziału ufności w którym znajduje się 

prawdziwa różnica pomiędzy średnimi dwóch 

populacji,

-

określenia minimalnej wielkości próby,

-

oceny błędu szacunku średniej

-

Wykrywania błędów grubych

Porównanie wartości 
średniej z wzorcem 

Interesuje nas porównanie czy średnia z 
próby jest zgodna z pewną hipotetyczną 
średnią populacji

s

n

m

x

s

m

x

t

x

emp

)

( 







Hipotezę zerową odrzucamy, gdy t 
empiryczne jest większe od t przy danym 
poziomie  istotności (0,05, 0,01) i liczbie 
stopni swobody n-1

Wartości krytyczne z rozkładu testu t 
-Studenta

l.s.s

0,2

0,1 0,05 0,02 0,01

1 3,08 6,31

12,7

1

31,8

2

63,6

6

2 1,89 2,92 4,30 6,96 9,92
3 1,64 2,35 3,18 4,54 5,84
4 1,53 2,13 2,78 3,75 4,60
5 1,48 2,02 2,57 3,36 4,03
6 1,44 1,94 2,45 3,14 3,71
7 1,41 1,89 2,36 3,00 3,50
8 1,40 1,86 2,31 2,90 3,36
9 1,38 1,83 2,26 2,82 3,25

10 1,37 1,81 2,23 2,76 3,17

Poziom istotności 

Co decyduje o możliwości 
stwierdzenia różnicy?

Różnica pomiędzy średnią z próby a wzorcem

Rozrzut wyników w obrębie próby

Liczebność próby – im większa tym 
łatwiej

Poziom istotności – im niższy tym 
łatwiej

m

Porównanie dwóch średnich 
metodą zmiennych 
niepołączonych

Metoda służy do określenia na 

podstawie dwóch prób niezależnych, czy 

pochodzą one z populacji o różnych 

wartościach średniej prawdziwej.
Przyjmujemy założenia: średnie mogą 

być zróżnicowane w dowolny sposób, 

obiekty porównywane nie są 

skorelowane parami, materiał badawczy 

jest jednorodny, nie podlega klasyfikacji 

ze względu na zmienność glebową czy 

odmiany roślin, zaś wybór elementów do 

prób przebiega w sposób losowy 

Porównanie dwóch średnich 
metodą zmiennych 
niepołączonych

Ocena zawartości Mg w glebie po uprawie pszenicy i 
kukurydzy

x

x           x

x                 x

         x

                          
x

x                    x

       x         x

x         x     

                   x      

Pole jest jednorodne, nie występuje zmienność 
systematyczna, jedynie zmienność przypadkowa

Porównanie dwóch średnich 
metodą zmiennych 
niepołączonych

. Polega na wyliczeniu 
wartości empirycznej testu i 
porównaniu jej z wartością 
krytyczną.
Jeśli temp jest większe od t 
przy poziomie istotności 0,05  
hipotezę zerową odrzucamy i 
możemy stwierdzić, że 
pomiędzy średnimi jest 
istotna różnica 

2

:

1

1

2

2

2

2

2

2







































B

A

B

A

B

A

B

A

d

B

A

d

d

B

A

emp

n

n

nS

nS

S

gdzie

n

n

n

n

S

S

n

n

n

S

S

S

x

x

t

Porównanie dwóch średnich 
metodą zmiennych 
połączonych



Przedstawiony w poprzednim punkcie sposób 

postępowania jest prawidłowy gdy obiekty 

porównywane są niezależne. Jeśli jednak 

wartości zmiennych są skorelowane dodatnio 

to metodę zmiennych niepołączonych 

powinniśmy zastąpić metodą zmiennych 

połączonych. Z kolejnych obserwacji dla dwóch 

zmiennych A i B tworzymy pary i wyliczamy n 

różnic d=xa-xb. W ten sposób eliminujemy 

zróżnicowanie w wynikach pomiędzy 

poszczególnymi parami.

Porównanie dwóch średnich 
metodą zmiennych 
połączonych

Ocena zawartości Mg w glebie po uprawie pszenicy i 
kukurydzy

x

           x

                          
x

x                 

         x

                          
x

x                    

              x

     x

                x

                           
x

   x

                          

Pole nie jest jednorodne, występuje zmienność 
systematyczna, 

p H 7,0

p H 5,5

Porównanie dwóch średnich 
metodą zmiennych 
połączonych



Hipoteza zerowa 

zakłada, że średnia 

różnic jest zerem. 



Wartość funkcji 

testowej temp 

wyliczamy z 

następującego wzoru 



Jeśli t emp jest > t;  to 

hipotezę o równości 

średnich odrzucamy



















n

d

d

nS

n

d

d

n

n

nS

d

S

d

t

d

d

d

emp

2

2

2

2

)

(

)

1

(

Wnioskowanie na 
podstawie testu t-studenta

Wnioski  na  podstawie  zastosowania  testu  t-Studenta 

mogą być dwóch rodzajów:

a)  W  przypadku  gdy  wartość  empiryczna  testu  jest 

większa od wartości krytycznej stwierdzamy:

Ponieważ  wartość  t

emp

  >  t



  w  związku  z  tym  odrzucam 

hipotezę  zerową  (H

0

)  na  korzyść  (H

1

)  i  z 

prawdopodobieństwem popełnienia błędu mniejszym 

niż    (=0,05;  0,01;  0,001)  stwierdzam,  że 

porównywane próby pochodzą z populacji o: istotnie/ 

wysoce  istotnie/  bardzo  wysoce  istotnie  różnych 

wartościach średnich prawdziwych.

Stwierdzenie  istotności  nie  oznacza  tego,  że 

różnice są duże, ale, że mamy co najmniej 95 % 

pewności tego, że mamy rację – nie mylimy się 

 

Wnioskowanie na 
podstawie testu t-studenta 
c.d.

W  przypadku  gdy  wartość  empiryczna  testu  jest 

mniejsza 

lub 

równa 

wartości 

krytycznej 

stwierdzamy:

Ponieważ wartość t

emp

 <= t



 w związku z tym brak 

jest podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej H

0

Brak  podstaw  do  odrzucenia  hipotezy 

zerowej  (H

0

)  nie  oznacza,  że  jest  ona 

prawdziwa !!!, a jedynie oznacza to, że nie 

mamy  co  najmniej  95  %  pewności,  że 

hipoteza alternatywna (H

1

) jest prawdziwa

Wyliczenie przedziału 
ufności dla średniej testem 
t-Studenta

Przedział ufności dla średniej prawdziwej populacji 

wyliczony na podstawie n elementowej próby 
określamy jako:

gdzie: t

; =n-1

 - oznacza odczyt z tablic testu t-

Studenta dla danego poziomu istotności  i liczby 

stopni swobody =n-1

x

n

x

n

S

t

x

S

t

x

















1

;

1

;







Wyliczenie przedziału ufności 
dla różnicy średnich testem t-
Studenta

Przedział ufności dla prawdziwej różnicy pomiędzy 2 
populacjami  wyliczony na podstawie n elementowych 
prób określamy jako

:

gdzie: t;  - oznacza odczyt z tablic testu t-Studenta dla 

danego poziomu istotności  i liczby stopni swobody 

=n

A

+n

B

-2

B

A

B

A

d

B

A

d

d

n

n

B

A

B

A

d

n

n

B

A

B

A

B

A

B

A

n

n

n

n

S

S

n

n

n

S

S

S

t

x

x

S

t

x

x

L

x

x

L

x

x

B

A

B

A







































































1

1

2

2

2

2

;

2

;





















Podsumowanie

1.

Test t-studenta jest uniwersalnym testem 
umożliwiającym ocenę istotności różnic pomiędzy 
średnią a wzorcem oraz pomiędzy 2 średnimi.

2.

W zależności od stopnia zależności wyników w 
porównywanych próbach należy stosować metodę 
zmiennych niepołączonych lub połączonych

3.

Umożliwia ocenę w jakich granicach mieści się 
prawdziwa średnia i prawdziwa różnica między 
średnimi

4.

Jest przydatny do wykrywania odstających 
obserwacji oraz oceny minimalnej liczebności 
próby