07 Pomiary rektastencji i deklinacji

Rozdział 7

Pomiary rektascensji i deklinacji

Streszczenie

Podstawowe tzw. absolutne obserwacje poło˙ze´n gwiazd wykonywane s ˛

a m.in. przy u˙zyciu koła południ-

kowego lub jego odmiany — instrumentu przej´sciowego. Obserwacje te polegaj ˛

a na odczycie momentu

czasu i wysoko´sci w momencie kulminacji górnej gwiazdy. Ze wzgl˛edu na nieuniknione bł˛edy instrumen-
talne surowe obserwacje s ˛

a korygowane z pomoc ˛

a szeregu poprawek jak: poprawka zegara, bł ˛

ad odczytu koła

deklinacyjnego, poprawka nieprostopadło´sci osi optycznej lunety do osi poziomej narz˛edzia, poprawki z racji
niedokładnej orientacji osi instrumentu w stosunku do układu horyzontalnego. Inne poprawki dotycz ˛

a prze-

j´scia topo-geo, a wi˛ec s ˛

a to poprawki na refrakcj˛e, aberracj˛e dobow ˛

a a je´sli trzeba uwzgl˛ednia si˛e poprawk˛e

z tytułu paralaksy geocentrycznej. Wreszcie, poniewa˙z narz˛edzie południkowe ustawiane jest wzgl˛edem
chwilowego bieguna ´swiata podczas redukcji rezultatów obserwacji uwzgl˛edniany jest tzw. ruch biegunów
poci ˛

agaj ˛

acy zmiany szeroko´sci i długo´sci miejsca ustawienia narz˛edzia. (Chodzi tu o efekt przemieszcza-

nia si˛e skorupy ziemskiej wzgl˛edem nieruchomej osi obrotu.) Ze wzgl˛edu na specyfik˛e obserwacji połud-
nikowych (zerowy k ˛

at godzinny obiektu) wyra˙zenia na redukcj˛e obserwowanych warto´sci

;

s ˛

a proste i

mog ˛

a ujmowa´c szereg wpływów jednocze´snie. Inaczej ma si˛e sprawa z kołem wewrtykalnym, gdzie rejestru-

jemy moment czasu i wysoko´s´c gwiazdy w chwili przej´scia przez pierwszy wertykał.
Inne narz˛edzia jak astrolabia Danjon’a i fotograficzny teleskop zenitalny równie˙z nadaj ˛

a si˛e do wyznaczenia

absolutnych poło˙ze´n ciał niebieskich. Instrumenty te cechuje wyj ˛

atkowo niewielki bł ˛

ad powodowany me-

chanicznym ugi˛eciem narz˛edzia. Ale umo˙zliwiaj ˛

a obserwowanie gwiazd poło˙zonych w ograniczonym ob-

szarze sfery. Fotograficzny teleskop zenitalny słu˙zy głównie do badania zmian szeroko´sci i czasu gwiaz-
dowego, zmian powodowanych ruchami biegunów i nieregularno´sci ˛

a wirowania bryły ziemskiej. Astrolabia

Danjon’a doskonale nadaje si˛e do powi ˛

azania poło˙ze´n gwiazd rozrzuconych po całej sferze i wykrywania

systematycznych bł˛edów w fundamentalnych katalogach gwiazd.
Słowa kluczowe: locus apparens, koło południkowe, astrolabia Danjon’a, fotograficzny teleskop zenitalny,
koło wertykalne, ruch biegunów.

Pomiary rektascensji i deklinacji

Rysunek 7.1: Koło południkowe: a) zasada ustawienia monta˙zu koła południkowego: o´s wysoko´s-
ciowa (pozioma) biegnie wzdłu˙z linii wschód-zachód, narz˛edzie nie posiada osi azymytalnej, b)
układ nitek w okularze typowego narz˛edzia południkowego; obraz gwiazdy po naprowadzeniu go
na nitk˛e poziom ˛

a (pomiar

); na skutek ruchu dobowego sfery, obraz gwiazdy przechodzi przez

kolejne nitki pionowe (pomiar

7.1

Wst˛ep

Omówimy sposoby wyznaczania współrz˛ednych równikowych

;

ciał niebieskich za pomoc ˛

a klasycznego

instrumentu astrometrycznego — koła południkowego. Nie podamy jego pełnej teorii, ograniczymy si˛e je-
dynie do przedstawienia zasady obserwacji i kilku podstawowych poprawek instrumentalnych tego narz˛edzia.

Bł˛edy instrumentalne ka˙zdego teleskopu astronomicznego dziel ˛

a si˛e na:

bł˛edy pochodz ˛

ace z niedoskonało´sci samego instrumentu,

bł˛edy wynikaj ˛

ace z niedoskonało´sci monta˙zu.

Te ostatnie maj ˛

a czysto geometryczny charakter i s ˛

a wyznaczane metodami astronomii sferycznej.

Poprawianie obserwacji na bł˛edy instrumentalne robione jest niemal zawsze razem z poprawkami na

refrakcj˛e, aberracj˛e dobow ˛

a i paralaks˛e geocentryczn ˛

a. Skorygowane w taki sposób współrz˛edne geocen-

tryczne ciała okre´slane s ˛

a mianem współrz˛ednych widomych (locus apparens). Ich formalna definicja jest

nast˛epuj ˛

aca: współrz˛edne widome (pozorne) ciała na dany moment czasu

s ˛

a to jego współrz˛edne na sferze

geocentrycznej, odniesione do prawdziwego równika i równonocy na ten sam moment czasu

. A zatem,

jako geocentryczne, s ˛

a to współrz˛edne niezale˙zne od konkretnego obserwatora, zmieniaj ˛

a si˛e jednak z czasem

i to do´s´c szybko, w szczególno´sci z powodu aberracji rocznej i precesji.

Współrz˛edne widome dla 1535 gwiazd s ˛

a publikowane w The Apparent Places of the Fundamental Stars

przez Astronomiczny Instytut Obliczeniowy w Heidelbergu, z przeznaczeniem dla obserwatorów połud-
nikowych. Warto´sci poło˙ze´n podane s ˛

a tam z dziesi˛eciodniowym krokiem.

7.2

Koło południkowe — zasada pomiaru rektascensji i dekli-
nacji

Koło południkowe nale˙zy do grupy instrumentów przej´sciowych. Jest to keplerowska luneta wyposa˙zona w
monta˙z pozwalaj ˛

acy na obrót lunety wokól jednej osi równoległej do horyzontu. Je˙zeli o´s obrotu umieszc-

zona jest wzdłu˙z linii wschód-zachód, instrument nosi nazw˛e koła południkowego (rysunek 7.1a). Nazwa
”instrument przej´sciowy”– w pewnym sensie mówi nam o zasadzie pomiaru jednej ze współrz˛ednych. W
okularze typowego instrumentu przej´sciowego mamy szereg pionowych nitek rozmieszczonych w pewnych
odst˛epach (rysunek 7.1b). Obserwacja polega na rejestrowaniu momentów przej´scia obrazu gwiazdy przez
poszczególne nitki. Warto´s´c ´srednia tych momentów czasu brana jest jako moment przej´scia gwiazdy przez
południk. Moment ´sredni odpowiada przej´sciu przez wirtualn ˛

a nitk˛e ´sredni ˛

a poło˙zon ˛

a bardzo blisko nitki

centralnej okularu koła południkowego.

Niech

b˛edzie czasem gwiazdowym przej´scia gwiazdy przez nitk˛e ´sredni ˛

a wyznaczonym za pomoc ˛

obserwatoryjnego zegara gwiazdowego. Je˙zeli poprawka zegara wynosi

to obserwowana rektascensja

7.2 Koło południkowe — zasada pomiaru rektascensji i deklinacji

Horyzont

Rownik

90-n

90-b

W’

90-m

90+a

W’

90-b

90−φ

90-n

Rysunek 7.2: Bł˛edy ustawienia koła południkowego: o´s instrumentu przebija sfer˛e w punkcie W’
zamiast W; poło˙zenie punktu W’ wzgl˛edem W okre´slone jest par ˛

a małych k ˛

atów

(a;

lub

(m;

równa si˛e

(7.1)

Poprawk˛e

mo˙zna wyznaczy´c porównuj ˛

ac zegar obserwatoryjny z radiowymi sygnałami czasu. Te za´s

emitowane s ˛

a w skali czasu słonecznego UT, st ˛

ad trzeba b˛edzie dokonywa´c zamiany czasu słonecznego na

gwiazdowy w Greenwich, np. korzystaj ˛

ac z odpowiednich tabel Rocznika Astronomicznego. Miejscowy

czas gwiazdowy otrzymamy ze wzoru

(7.2)

gdzie

— czas gwiazdowy w Greenwich,

długo´s´c geograficzna instrumentu. Musimy zatem a priori

zna´c dokładn ˛

a długo´s´c geograficzn ˛

a, czego zasadniczo nie mo˙zna oczekiwa´c, gdy˙z współrz˛edne geograficzne

instrumentu nieustannie doznaj ˛

a drobnych zmian wskutek ruchów biegunów ziemskich.

Kiedy gwiazda przebiega w polu widzenia lunety (rysunek 7.1b) wysoko´s´c instrumentu nale˙zy nastawi´c

w taki sposób by nitka horyzontalna rozdwajała obraz gwiazdy. Gwarantuje to precyzyjny pomiar deklinacji
bowiem w momencie przej´scia przez południk wysoko´s´c gwiazdy jest sum ˛

a jej deklinacji i k ˛

ata

(90

)

(rysunek 7.1a). Dlatego bezpo´srednio z kół podziałowych narz˛edzia mo˙zna odczyta´c deklinacj˛e

gwiazdy.

Ostateczny rezultat dostajemy po uwzgl˛ednieniu poprawki

reprezentuj ˛

acej bł˛edy w ustawieniu koła podzi-

ałowego instrumentu

(7.3)

Podczas obrotu instrumentu przej´sciowego wokół jego osi, ka˙zdy punkt przeci˛ecia nitki poziomej z pio-
nowymi opisuje na sferze niebieskiej krzyw ˛

a. Krzywe te s ˛

a wzajemnie równoległymi małymi kołami o

płaszczyznach prostopadłych do osi rotacji instrumentu. Równoległe do nich koło wielkie definiuje tzw.
płaszczyzn˛e kolimacji instrumentu. Je´sli nitki byłyby uło˙zone idealnie, płaszczyzna ta pokrywałaby si˛e z
nitk ˛

a ´sredni ˛

a. W praktyce tak jednak nie jest i nitka ´srednia przemieszczona jest wzgl˛edem płaszczyzny

kolimacji o mały k ˛

, zwany stał ˛

a kolimacji. Jest on dodatni je´sli ´srednia nitka znajduje si˛e na wschód od

płaszczyzny kolimacji.

Przedłu˙zenie osi instrumentu przebija sfer˛e w dwóch wzajemnie przeciwległych punktach E’ i W’ (punkty

osiowe). W przypadku doskonałego instrumentu pokrywaj ˛

a si˛e one z kardynalnymi punktami wschodu i za-

chodu. Nieprawidłowo´s´c poło˙zenia punktów osiowych instrumentu opisana jest dwoma parametrami: w
azymucie tzw. stał ˛

a azymutaln ˛

, natomiast w kierunku wertykalnym stał ˛

a wysoko´sci

. Na rysunku 7.2,

obie stałe maj ˛

a warto´sci dodatnie. Zdefiniowane s ˛

a jako

(7.4)

Pi˛ecioma błedami

;

zajmiemy si˛e w dalszej dyskusji koła południkowego. Zakładamy o nich

jeszcze, ˙ze s ˛

a to małe wielko´sci, co dla dobrze zjustowanych narz˛edzi rzeczywi´scie ma miejsce.

Pomiary rektascensji i deklinacji

Bł˛edy ustawienia osi instrumentu cz˛esto wygodniej jest wyrazi´c we współrz˛ednych równikowych ani˙zeli

w horyzontalnych. W tym celu wprowadzadzono wielko´sci

, poprawki w rektascensji i deklinacji,

okre´slaj ˛

ace odchylenie punktu W’ od punktu zachodu W.

(7.5)

Oba zestawy poprawek

(m;

(a;

daj ˛

a si˛e powi ˛

aza´c poprzez rozwi ˛

azanie trójk ˛

ata sferycznego PZW’.

Je´sli (patrz rysunek 7.2):

to za pomoc ˛

a cztero-elementowej formuły cotangensowej otrzymamy

(90

)

(90

sin

(90

)

(90

sin

(90

czyli

sin

tan

co redukuje si˛e do

tan

sin

tan

(7.6)

Wielko´s´c

wyznaczymy z trójk ˛

ata PZW’ z rysunku 7.2, ze wzoru cosinusów mamy

sin

(7.7)

a przy zało˙zeniu, ˙ze poprawki

s ˛

a małe, w równaniach (7.6), (7.7) mo˙zna skorzysta´c z przybli˙zenia

małych k ˛

atów i wówczas

sin

(7.8)

Stałe instrumentalne

zwykle wyra˙zone s ˛

a w mierze czasowej bowiem potrzebne s ˛

a przy redukcji

obserwacji współrz˛ednej rektascensji. Jedynie stał ˛

a poprawk˛e deklinacyjn ˛

podaje si˛e w sekundach łuku.

7.3

Usuwanie wpływów instrumentalnych w kole południkowym

Niech

;

b˛ed ˛

a współrz˛ednymi uzyskanymi z obserwowanej rektascensji i deklinacji po uwzgl˛ednieniu

jedynie bł˛edów pomiaru czasu oraz odczytu koła podziałowego,

odpowiednio.

Niech

;

b˛ed ˛

a dokładnymi warto´sciami współrz˛ednych obserwowanej gwiazdy, takimi, które zmier-

zono instrumentem idealnym. W przypadku braku refrakcji byłyby one od razu współrz˛ednymi topocen-
trycznymi. Na rysunku 7.3 przyjmijmy, ˙ze X oznacza poło˙zenie gwiazdy na sferze w momencie jej przej´scia
przez ´sredni ˛

a nitk˛e (południk instrumentu). Jak wida´c, nast ˛

apiło to nieco wcze´sniej ani˙zeli przej´scie przez

południk prawdziwy, mianowicie, o interwał czasu

(7.9)

Wyrazimy

poprzez poprawki

, w tym celu rozwa˙zmy trójk ˛

at sferyczny PXW’. Z definicji stałych

instrumentalnych wynika, ˙ze

7.3 Usuwanie wpływów instrumentalnych w kole południkowym

90−

’

90−

’

90−

W’

90−n

W’

90+c

horyzont

rownik

90−n

90−m+

Rysunek 7.3: Z powodu niedokładnego ustawienia koła południkowego jak i bł˛edu kolimacji
lunety, gwiazda

góruje wzgl˛edem południka instrumentalnego o interwał

za wcze´snie.

Dalej mamy

, a po zastosowaniu wzoru cosinusów do boku

sin

)

co w przybli˙zeniu małych k ˛

atów redukuje si˛e do

tan

(7.10)

Jest to formuła Bessel’a, pozwalaj ˛

aca na obliczenie rektascensji wolnej od bł˛edów instrumentalnych.

Poszukajmy teraz analogicznego zwi ˛

azku na ró˙znic˛e

(Æ

)

. K ˛

at sferyczny PW’X jest w prosty sposób

zwi ˛

azany z odczytem koła deklinacyjnego. Przy odpowiednim wyborze punktu zerowego mo˙zna napisa´c

(7.11)

Wówczas, rzeczywista deklinacja (korzystamy ze wzoru cosinusów) wynosi

sin

(7.12)

Poniewa˙z, jak si˛e za chwil˛e przekonamy,

ró˙zni si˛e od

jedynie wyrazami drugiego rz˛edu, w praktyce jest

wi˛ec oboj˛etne, która z tych deklinacji zostanie podstawiona do wzoru (7.10) na poprawk˛e

Ale podczas wyznaczenia warto´sci samego

mo˙ze by´c koniecznym wprowadzenie wyrazów drugiego

rz˛edu. Dlatego wyznaczymy te wyrazy, i w tym celu w równaniu (7.12) połó˙zymy

sin(Æ

)

sin

rozwijaj ˛

ac funkcje trygonometryczne z k ˛

atami

w szeregi pot˛egowe, bior ˛

ac jedynie po dwa pierwsze

wyrazy

sin

odrzucaj ˛

ac wyrazy rz˛edu wy˙zszego ni˙z drugi ze wzgl˛edu na

, otrzymamy

sin

)

sin

a po podzieleniu stronami przez

sin

b˛edzie

sin

)

Pomiary rektascensji i deklinacji

A je˙zeli

jest dostatecznie małe to

sin

)

tan

0:5

)

tan

Poniewa˙z w rozwini˛eciu u˙zywano radianów, przej´scie do jednostek praktycznych wymaga wprowadzenia
dodatkowych czynników

225

sin

[0:5

)

tan

℄

(7.13)

Równania (7.10), (7.13) wyprowadzono dla normalnych przej´s´c gwiazd przez południk. S ˛

a one wa˙zne tak˙ze

dla górnych kulminacji gwiazd okołopolarnych, ale dla kulminacji dolnych trzeba wprowadzi´c drobne mody-
fikacje. Odpowiedni wzór Bessel’a ma wtedy posta´c

tan

(7.14)

gdzie

ponownie oznacza czas prawdziwego przej´scia minus czas przej´scia rejestrowanego, ale

musi by´c

teraz rozumiana jako miejscowy czas gwiazdowy plus 12 godzin.

Teoria zawarta w równaniach (7.10) do (7.14) pozwala na uwolnienie obserwowanych warto´sci rektas-

censji i deklinacji z głównych bł˛edów instrumentalnych, oczywi´scie pod warunkiem, ˙ze stałe instrumentalne
s ˛

a wcze´sniej znane. Wyznaczenie niektórych z tych stałych wymaga obserwacji gwiazd. Poniewa˙z bardzo

po˙z ˛

adanym jest ci ˛

agłe kalibrowanie instrumentu astrometrycznego, dlatego wyznaczanie tych stałych, zaleca

si˛e wprowadzi´c jako integraln ˛

a cz˛e´s´c programu obserwacji gwiazd.

7.4

Redukcja obserwacji na miejsce widome

Warto´sci obserwowane współrz˛ednych równikowych ciał niebieskich, poprawione na bł˛edy instrumentalne
stanowi ˛

a fundamentalne warto´sci rektascensji i deklinacji. Jest jednak normaln ˛

a praktyk ˛

a dalsza redukcja

obserwacji do poło˙ze´n widomych. Wymaga to wprowadzenia poprawek na refrakcj˛e, aberracj˛e dobow ˛

a i

paralaks˛e geocentryczn ˛

W przypadku obserwacji południkowych wyra˙zenia na te poprawki daj ˛

a si˛e wyra´znie upro´sci´c. Np.

kład ˛

ac w formułach (6.25) na aberracj˛e dobow ˛

a k ˛

at godzinny

, wpływ aberracji na współrz˛edne równi-

kowe wyrazi si˛e nast˛epuj ˛

aco

0213

dÆ

(7.15)

Jak wida´c, wpływ w rektascensji jest podobny do poprawki kolimacji instrumentu w formule Bessel’a — oba
efekty s ˛

a proporcjonalne do

. Mo˙zna zatem poł ˛

aczy´c obie poprawki w jedn ˛

a poprzez podstawienie

0213

(7.16)

Wpływ refrakcji atmosferycznej jest bardziej powa˙zny, bowiem poprawka refrakcyjna ma zwykle najwi˛eksz ˛

warto´s´c. Refrakcja zmniejsza odległo´s´c zenitaln ˛

a pozostawiaj ˛

ac bez zmian azymut. Oznacza to, ˙ze skoro

południk obserwatora jest jednocze´snie kołem wertykalnym, refrakcja zmieniaj ˛

ac deklinacj˛e nie zmienia

momentu czasu przej´scia przez południk.

Wyznaczony np. z tablic refrakcji, k ˛

at refrakcji

trzeba zatem odj ˛

a´c od zmierzonej warto´sci dekli-

nacji, chyba, ˙ze mamy przypadek kulminacji pomi˛edzy biegunem i zenitem, wówczas nale˙zy zmieni´c znak
poprawki.

Poprawka z tytułu paralaksy geocentrycznej, jest w przypadku obserwacji gwiazd zawsze do pomini˛ecia.

Pozostałe poprawki (na refrakcj˛e i aberacj˛e dobow ˛

a) mo˙zna wł ˛

aczy´c do równa´n obserwacyjnych koła po-

łudnikowego. Niech

(

;

)

b˛ed ˛

a współrz˛ednymi obserwowanymi poprawionymi na bł˛edy czasu i odczytu

koła podziałowego, dalej, niech

(;

)

oznaczaj ˛

a współrz˛edne widome gwiazdy, wówczas z dokładno´sci ˛

a do

małych rz˛edu drugiego

tan

(7.17)

7.5 Ruch biegunów

Równania te mo˙zna udokładni´c wł ˛

aczaj ˛

ac człony drugiego rz˛edu np. dla deklinacji wyraz taki dany jest

równaniem (7.13).

Dla obiektów z Układu Słonecznego mo˙ze si˛e okaza´c koniecznym wł ˛

aczenie do równa´n obserwacyjnych

paralaksy geocentrycznej. Podstawiaj ˛

ac w równaniach (6.18) za k ˛

at godzinny warto´s´c

, przekonamy

si˛e, ˙ze poprawka paralaktyczna w rektascensji wynosi zero, natomiast obserwowan ˛

a deklinacj˛e trzeba pow-

i˛ekszy´c o

sin

(

)

gdzie

— geocentryczna odległo´s´c obserwatora,

— geocentryczna odległo´s´c obiektu,

— geocentryczna

szeroko´s´c obserwatora. Znak poprawki zmieniamy je´sli obserwowana kulminacja gwiazdy wypadła mi˛edzy
biegunem i zenitem.

Podej´scie to jest jednak niewystarczaj ˛

ace dla Ksi˛e˙zyca i sztucznych satelitów Ziemi, dla których nie

mo˙zna paralaksy traktowa´c jako wielko´sci małej. Trzeba wówczas post ˛

api´c nast˛epuj ˛

aco:

warto´sci obserwowane poprawiamy za pomoc ˛

a równa´n (7.17) otrzymuj ˛

ac geometryczny kierunek

´zródła wzgl˛edem topocentrycznego obserwatora,

po czym dokonujemy translacji do miejsca geocentrycznego za pomoc ˛

a metody wektorowej podanej

w poprzednim wykładzie.

7.5

Ruch biegunów

Przez poj˛ecie ruch biegunów rozumiemy powolne i niewielkie przemieszczanie si˛e geograficznych biegunów
po powierzchni Ziemi (nie wzgl˛edem gwiazd!). Chwilowy kierunek osi ruchu wirowego definiuje bieguny ro-
tacji na powierzchni Ziemi i prawdziwe bieguny ´swiata na sferze niebieskiej. Bieguny ´swiata przemieszczaj ˛

si˛e na sferze wskutek precesji luni-solarnej i nutacji. Obecnie tego typu ruchem biegunów si˛e nie interesu-
jemy. W dalszych rozwa˙zaniach b˛edziemy traktowa´c o´s rotacji Ziemi jako posiadaj ˛

ac ˛

a niezmienne poło˙ze-

nie wzgl˛edem gwiazd. Interesuje nas pozorny ruch tej osi wzgl˛edem powierzchni Ziemi. Oczywi´scie w
rzeczwisto´sci to bryła ziemska jest w ruchu a nie bieguny rotacyjne.

Wobec tego co powiedziano wy˙zej, skoro ruch biegunów po powierzchni Ziemi nie wpływa na poło˙zenie

biegunów ´swiata, to nie przyczynia si˛e do zmian rektascensji i deklinacji gwiazd. Wpływa jednak na proces
redukcji obserwacji tych współrz˛ednych wykonanych z pomoc ˛

a instrumentów przej´sciowych. Jest tak gdy˙z

monta˙z teleskopu ustawiony jest wzgl˛edem powierzchni Ziemi, a to oznacza, ˙ze na skutek ruchu skorupy
ziemkiej cały zbiór gwiazd jest przesuwany wzgl˛edem instrumentu. W efekcie z powodu ruchu biegunów
zmieniaj ˛

a si˛e stałe instrumentalne narz˛edzia.

Na rysunku 7.4a, naszkicowano obszary polarne widziane ”z lotu ptaka”. Punkt

oznacza chwilowy

biegun rotacji,

jest jego ´srednim poło˙zeniem nazywanym niezbyt trafnie biegunem figury ziemskiej. W

przeciwie´nstwie do chwilowego, biegun figury jest stałym punktem na powierzchni Ziemi. Przemieszczenie

punktu

wzgl˛edem

wynosi około 0

3, co na powierzchni Ziemi odpowiada odległo´sci bliskiej 10

m (patrz rysunek 7.4b). Wschodnia długo´s´c

tego przesuni˛ecia najcz˛e´sciej zwi˛eksza si˛e, a zatem biegun

chwilowy obiega

w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara. Jest to ruch skomplikowany, nie daj ˛

acy

si˛e opisa´c dokładnie, ale jego główne składowe s ˛

a znane. S ˛

a to okres 428 dniowy i okres roczny. Przyczyny

ruchów bieguna s ˛

a niemal w cało´sci natury geofizycznej. Gdyby Ziemia była swobodnie wiruj ˛

ac ˛

a brył ˛

sztywn ˛

a, odchylenie bieguna rotacji od osi symetrii Ziemi spowodowałoby jednostajny ruch kołowy bieguna

chwilowego wokół bieguna figury z okresem 305 dniowym. Ze wzgl˛edu na plastyczno´s´c Ziemi okres ten
uległ silnemu wydłu˙zeniu (okres 428 dniowy jest zmodyfikowanym okresem swobodnego ruchu wirowego
Ziemi). Składowa roczna ruchu biegunów, jest składow ˛

a wymuszon ˛

a narzucon ˛

a przez ulegaj ˛

ace ci ˛

agłej

zmianie warunki geofizyczne.

Przemieszczenie

wzgl˛edem

wyra˙zone jest zwykle za pomoc ˛

a współrz˛ednych prostok ˛

atnych

(x;

)

przy czym o´s

skierowana jest wzdłu˙z południka zerowego, o´s

wzdłu˙z południka o

270

, (patrz

rysunek 7.4a),

sin

(7.18)

Warto´sci

s ˛

a publikowane z pewnym opó´znieniem, przez Mi˛edzynarodow ˛

a Słu˙zb˛e Rotacji Ziemi na min-

ione momenty czasu.

Pomiary rektascensji i deklinacji

λ=0

180+Γ

1961.0

1962.0

1961.5

1960.5

1959.0

1958.0

1958.5

1962.5

1960.0

1959.5

1963.0

-0.2’’

-0.1’’

0.1’’

0.2’’

0.3’’

0.4’’

0.3’’

0.2’’

0.1’’

-0.1’’

-0.2’’

Rysunek 7.4: Ruch biegunów ziemskich: a) poło˙zenie na powierzchni Ziemi chwilowego bieguna

wzgl˛edem bieguna

, opis w trek´scie, b) trajektoria chwilowego bieguna ziemskiego wzgl˛e-

dem bieguna ´sredniego w latach 1958.0 – 1963.0.

90−

90−φ

90−

180-(

λ−Γ)

180+

W’

rownolegle do siebie

Do Greenwich

Rysunek 7.5: Szeroko´s´c i długo´s´c obserwatora wzgl˛edem bieguna figury

i bieguna chwilowego

W rezultacie ruchu biegunów zmienia si˛e szeroko´s´c i długo´s´c danego miejsca obserwacji. Niech

(

;

)

s ˛

a geograficznymi współrz˛ednymi obserwatora wzgl˛edem bieguna figury, natomiast

(;

)

wzgl˛edem bieguna

chwilowego. Definicja szeroko´sci wzgl˛edem

jest bardzo prosta, ale nieco uwagi wymaga okre´slenie ze-

rowego południka dla bieguna

. Na rysunku 7.4a pokazano, ˙ze południk zerowy dla

jest wybrany tak, by

styczna w

le˙z ˛

aca w jego płaszczy´znie biegła równolegle do stycznej w

do głównego południka figury

Ziemi. Obydwa południki przecinaj ˛

a si˛e gdzie´s na równiku, a wi˛ec południk zerowy bieguna rotuj ˛

acego nie

musi przechodzi´c przez punkt odniesienia w Greenwich. Taka definicja oznacza tak˙ze, ˙ze południk o długo´sci

, jest wspólny dla obu systemów. Spójrzmy teraz na rysunek 7.5a. Obserwator znajduje si˛e w ´srodku sfery,

jego zenit b˛edziemy traktowali jako punkt stały, co miałoby miejsce naprawd˛e gdyby punkt

oznaczał zenit

geocentryczny. Stałe instrumentalne s ˛

a jednak wyznaczane w oparciu o zenit astronomiczny, a ten równie˙z

wykazuje drobne ruchy; zenit astronomiczny okre´slony jest kierunkiem lokalnej grawitacji, a m.in. siły pły-
wowe precesji luni-solarnej wnosz ˛

a tu niewielkie zmiany. Wi˛ecej, siły te indukuj ˛

a pewne efekty geofizyczne,

które ponownie zmieniaj ˛

a kierunek widomej grawitacji. Jest to efekt czysto geometryczny i nie zniekształca-

j ˛

acy procesu redukcji obserwacji gwiazd, pod warunkiem, ˙ze stałe instrumentalne b˛ed ˛

a wyznaczane wzgl˛e-

dem stałego kierunku zenitalnego. Dlatego zmiany astronomicznego zenitu zostan ˛

a tu pomini˛ete, i jedynie

b˛ed ˛

a wzi˛ete pod uwag˛e zmiany astronomicznej szeroko´sci i długo´sci

wywołane ruchami bieguna.

Mo˙zemy zatem przej´s´c do wyprowadzenia formuł wi ˛

a˙z ˛

acych współrz˛edne obserwatora podane wzgl˛e-

dem bieguna figury

i bieguna chwilowego. Niech na rysunku 7.5ab,

oznaczaj ˛

a poło˙zenia bieguna

chwiloweg i bieguna figury odpowiednio. Mamy wówczas

, oraz

. Dalej

;

s ˛

a punktami kardynalnymi horyzontu wyznaczonymi w oparciu o

, natomiast

w opar-

ciu o punkt

7.5 Ruch biegunów

Małe koło przechodz ˛

ace przez

przecina łuk

w punkcie

, przy czym

Traktuj ˛

ac trójk ˛

jako płaski i prostok ˛

atny w wierzchołku

, mamy

os(QP

)

Mamy te˙z

jest południkiem o długo´sci

. Zatem

, oraz

(

)

(7.19)

Z drugiej strony,

jest południkiem o dłudo´sci

południkiem o długo´sci

(180

)

, oba wzgl˛edem

bieguna P.

St ˛

ad k ˛

at sferyczny

180

(

)

, a formuła czterocz˛e´sciowa zastosowana do trójk ˛

ata sfer-

ycznego

daje

(180

(

))

sin

(90

)

sin

(

)

(

)

Ze wzgl˛edu na małe warto´sci k ˛

ata

, w przybli˙zeniu mo˙zna napisa´c

tan

sin

(

)

sin

(

)

(

)

(

)

sin

(

)

a korzystaj ˛

ac ze znanych to˙zsamo´sci trygonometrycznych mamy

tan

sin

(

)

(7.20)

Je˙zeli w równaniach (7.19) i (7.20) zastosujemy wzory na sum˛e, ró˙znic˛e sinusa i cosinusa po czym wyko-
rzystamy równanie (7.18), wówczas dostaniemy wyra˙zenia na chwilow ˛

a długo´s´c i szeroko´s´c geograficzn ˛

a w

postaci

sin

)

tan

(7.21)

Mo˙zemy teraz pokaza´c jak ruchy bieguna wpływaj ˛

a na poprawki instrumentalne koła południkowego. Punkt

(rysunek 7.5a), zachodni koniec osi poziomej instrumentu z powodu ruchu bieguna nie zmienia swego

poło˙zenia na sferze. Podobnie nie zmieni si˛e stała kolimacji narz˛edzia. A poniewa˙z zało˙zyli´smy, ˙ze zenit ob-
serwatora jest nieruchomy, warto´s´c stałej wysoko´sci instrumentu równie˙z pozostanie taka sama. Przemieszcze-
nie bieguna zmniejszy jednak wszystkie zachodnie azymuty, w tym stał ˛

a azymutaln ˛

a narz˛edzia o k ˛

a wi˛ec

K ˛

at ten łatwo otrzyma´c z trójk ˛

ata sferycznego

(rysunek 7.5b), mianowicie, stosuj ˛

ac wzór sinusów i

przybli˙zenie małych k ˛

atów dostaniemy

sin

(

)

(7.22)

A za pomoc ˛

a wzoru (7.20)

(7.23)

Zmiana w długo´sci

musi jeszcze zosta´c uwzgl˛edniona w poprawce zegara, z którego pomoc ˛

a mierzono

moment przej´scia gwiazdy przez południk instrumentalny. Oczywistym jest, ˙ze

d(T

)

(7.24)

Wprowadzaj ˛

ac do równania (7.10) wielko´sci dane wzorami (7.1) i (7.8), otrzyma´c mo˙zna alternatyw˛e wzoru

Bessel’a na poprawion ˛

a rektascensj˛e gwiazdy, mianowicie

sin

(

)

(

)

a po zró˙zniczkowaniu, z wystarczaj ˛

ac ˛

a dokładno´sci ˛

a b˛edzie

)

sin

(

)

Pomiary rektascensji i deklinacji

horyzont

rownik

90−φ

90-

δ=φ

Rysunek 7.6: Przej´scie obiektu

przez pierwszy wertykał, opis w tek´scie.

Zauwa˙zaj ˛

ac, ˙ze prawdziwe

;

nie ulegaj ˛

a zmianie z powodu ruchów bieguna, po podstawieniu wzoru (7.23)

b˛edziemy mieli

tan

(7.25)

Jest to zmiana momentu czasu obserwowacji przej´scia gwiazdy przez południk spowodowana ruchami bie-
gunów ziemskich. Zmiana szeroko´sci obserwatora, powoduje odpowiedni ˛

a zmian˛e w odczycie deklinacji z

koła podziałowego.

7.6

Koło wertykalne

Koło południkowe ma sporo zalet, np. pozwala na wyznaczenie

(;

)

wszystkich gwiazd widocznych na

horyzoncie obserwatora gdy tymczasem inne instrumenty maj ˛

a pewne ograniczenia ze wzgl˛edu na dekli-

nacj˛e. Ponadto, obserwacje południkowe w zasadzie bezpo´srednio daj ˛

a rektascensj˛e i deklinacj˛e, t˛e własno´s´c

okre´slamy mianem pomiarów absolutnych. Dlatego jeszcze w pocz ˛

atkowych latach XX stulecia koło połud-

nikowe było podstawowym narz˛edziem słu˙z ˛

acym do wyznaczania absolutnych pozycji gwiazd. Obserwacje

te stanowiły baz˛e do tworzenia fundamentalnych katalogów gwiazd.

Koło południkowe mo˙ze by´c wykorzystywane nie tylko do pracy w południku miejscowym. Rozwa˙zmy

nieco inny wariant, identyczny instrument, ale zorientowany sw ˛

a osi ˛

a poziom ˛

a wzdłu˙z lini północ-południe.

Jak wida´c na rysunku 7.6, taki wertykalny instrument przej´sciowy pozwala na obserwacje gwiazd o deklinac-
jach wył ˛

acznie z przedziału

[0;

℄

. Wszystkie takie gwiazdy maj ˛

a po dwa przej´scia przez pierwszy wertykał,

w momencie których rejestrowany jest miejscowy czas gwiazdowy. ´Srednia z dwóch przej´s´c jest równa
rektascensji gwiazdy. Koła podziałowe pionowe pozwalaj ˛

a na pomiar odległo´sci zenitalnej

przej´scia, a

połowa interwału czasu mi˛edzy dwoma przej´sciami równa jest k ˛

atowi godzinnemu

w chwili przej´scia

przez pierwszy wertykał.

Niech punkt

na rysunku 7.6 b˛edzie poło˙zeniem gwiazdy w momencie zachodniego przej´scia, wówczas

z trójk ˛

ata sferycznego

i wzoru sinusów mamy

sin

(7.26)

Z wzoru cotangensowego zastosowanego do tego trójk ˛

ata (rysunek 7.6) mo˙zemy wyznaczy´c szeroko´s´c ob-

serwatora

tan

(7.27)

Podczas obserwacji w pierwszym wertykale bł˛edy instrumentalne s ˛

a naturalnie takie same jak dla koła połud-

nikowego, ale poprawki jakie trzeba wprowadzi´c do obserwacji s ˛

a znacznie bardziej skomplikowane. Jedyn ˛

przewag ˛

a koła wertykalnego jest mo˙zliwo´s´c niezale˙znych pomiarów szeroko´sci obserwatora.

7.7 Astrolabia Danjon’a

S’

Zenit

Horyzont rteciowy

Ekran

Promienie od gwiazdy

120

S’

z>30

z=30

z<30

S’

Rysunek 7.7: Bieg promieni ´swietlnych w astrolabii Danjon’a. Biegn ˛

ace równolegle promienie

z wi ˛

azki promieni od pewnej gwiazdy wpadaj ˛

a w ró˙zne miiejsca układu optycznnego as-

trollabii. Promie´n

pada bezpo´srednio na pryzmat„ promie´n

dopiero po odbiciu od lustra

rt˛eciowego. Po przej´sciu ró˙znych cz˛e´sci pryzmatu oba promienie zostaj ˛

a skupione np. na ekranie.

W momencie gdy gwiazda znajdowała si˛e na almukantaracie

jej obrazy utworzone przez oba

promienie pokrywaj ˛

a si˛e.

7.7

Astrolabia Danjon’a

Poza niaw ˛

atpliwymi zaletami, koło południkowe ma jednak pewne wady, jedn ˛

a z nich jest problem mechan-

icznego ugi˛ecia lunety, co wi ˛

a˙ze si˛e z niestało´sci ˛

a poprawek instrumentalnych. Zmiany poprawek mog ˛

by´c nieistotne dla małych odległo´sci zenitalnych ale dla du˙zych ju˙z niestety nie. Z powodu elastyczno´sci
monta˙zu narz˛edzia pojawiaj ˛

a si˛e wówczas bł˛edy systematyczne, a zwi ˛

azane z nimi poprawki s ˛

a trudne do

wyznaczenia.

Dlatego zaprojektowano narz˛edzia innego typu, pozwalaj ˛

ace na absolutne pomiary poło˙ze´n ciał niebies-

kich z wi˛eksz ˛

a precyzj ˛

a, s ˛

a to bezosobowa astrolabia Danjon’a i fotograficzny teleskop zenitalny (w skrócie

okre´slany jako FTZ). W przypadku FTZ mo˙zliwe jest obserwowanie gwiazd jedynie na niedu˙zych odległo´s-
ciach zenitalnych. Astrolabi˛e Danjon’a mo˙zna obraca´c wokół osi azumutalnej, ale obserwacje wykonuje si˛e
zawsze na tym samym almukantaracie o odległo´sci zenitalnej równej np.

, co skutecznie oddala niebez-

piecze´nstwo zmiennego bł˛edu ugi˛ecia teleskopu.

Zasad˛e pracy astrolabii Danjona zilustrowano na rysunku 7.7. Astrolabia składa si˛e z równobocznego

szklanego pryzmatu ustawionego jednym bokiem prostopadle do horyzontu. W okularze narz˛edzia obser-
wowane s ˛

a dwa obrazy tej samej gwiazdy, jeden bezpo´sredni po odbiciu od wewn˛etrznej dolnej płaszczyzny

pryzmatu, drugi odbity od zwierciadła rt˛eciowego i górnej płaszczyzny pryzmatu. Gdy odległo´s´c zenitalna
gwiazdy wynosi

, w okularze obserwujemy koincydencj˛e obu obrazów. A zatem gwiazda mo˙ze by´c

obserwowana za pomoc ˛

a tego instrumentu tylko wtedy gdy w wyniku ruchu dobowego przechodzi przez

almukantarat

. Nakłada to na gwiazdy mo˙zliwe do obserwacji warunek

Ka˙zda gwiazda musi dokona´c dwóch przej´s´c przez almukantarat, jedno wschodnie drugie zachodnie wzgl˛e-
dem południka obserwatora. ´Sredni moment czasu z dwóch momentów przej´scia daje rektascensj˛e gwiazdy;
połowa interwału czasu pomi˛edzy przej´sciami daje k ˛

at godzinny

odpowiadaj ˛

acy odległo´sci zenitalnej

Niech na rysunku 7.8 punkt

oznacza poło˙zenie gwiazdy obserwowanej astrolabi ˛

a Danjona. Z trójk ˛

ata

, ze wzoru cosinusów mamy

3=2

sin

(7.28)

Równanie to umo˙zliwia obliczenie zarówno deklinacji gwiazdy jak i szeroko´sci zakładaj ˛

ac, ˙ze druga z wiel-

ko´sci jest dost˛epna. Je´sli znana jest szeroko´s´c, podstawiamy wówczas

tan

(7.29)

co w równaniu (7.28) pozwala wyeliminowa´c

3=2

sin

sin(Æ

)

Pomiary rektascensji i deklinacji

90−φ

horyzont

X’

90−δ

Rysunek 7.8: Gwiazda

znajduje si˛e na almukantaracie o

. Z rozwi ˛

azania trójk ˛

ata

sferycznego

mo˙zemy wyznaczy´c warto´s´c jej deklinacji. Istniej ˛

a jednak dwa rozwi ˛

azania,

jedno odpowiada gwie´zdzie poło˙zonej na tym almukantaracie w miejscu

, drugie gwie´zdzie

znajduj ˛

acej si˛e w punkcie

Wobec tego, deklinacj˛e obliczymy jako

ar sin

3 =2

(7.30)

Ze wzgl˛edu na niejednoznaczno´s´c funkcji arcsin, równanie (7.30) ma dwa rozwi ˛

azania. Na rysunku 7.8

odpowiadaj ˛

a one poło˙zeniom oznaczonym przez

. Zwykle nietrudno jest wybra´c rozwi ˛

azanie wła´s-

ciwe.

7.8

Fotograficzny teleskop zenitalny

Rysunek 7.9a, schematycznie przedstawia powstawanie obrazu gwiazdy w FTZ. Instrument ten składa si˛e z
horyzontalnej soczewki objektywowej, z oprawy na klisze fotograficzne (umieszczona tu˙z pod soczewk ˛

a),

oraz z ciekłego lustra rt˛eciowego. Obraz gwiazdy po odbiciu od lustra rt˛eciowego rejestrowany jest na kliszy
fotograficznej.

Wa˙zn ˛

a cech ˛

a tego narz˛edzia jest to, ˙ze na emulsji fotograficznej le˙zy punkt w˛ezłowy soczewki objektywu,

wówczas dobieraj ˛

ac odpowiednio odległo´s´c powierzchni rt˛eci otrzymujemu na kliszy zogniskowane obrazy

gwiazd. Takie rozwi ˛

azanie doskonale eliminuje bł˛edy wysoko´sci i kolimacji narz˛edzia.

Podczas ekspozycji oprawa z klisz ˛

a jest z odpowiedni ˛

a szybko´sci ˛

a przesuwana prostopadle do osi op-

tycznej teleskopu. Przy czasach na´swietlania kliszy od 10-20 sekund, technika ta pozwala na uzyskanie
punktowych obrazów gwiazd a wi˛ec na fotografowanie gwiazd nawet stosunkowo slabych. W czasie ob-
serwacji rejestrowany jest automatycznie moment czasu odpowiadaj ˛

acy ´srodkowi interwału eksponowania

kliszy. Jednak˙ze kompletna obserwacja za pomoc ˛

a FTZ wymaga czterech ekspozycji. Po ka˙zdej ekspozycji,

soczewka wraz z klisz ˛

a s ˛

a obracane o

180

i w rezultacie cztery obrazy danej gwiazdy tworz ˛

a na kliszy

równoległobok, przykładowo pokazany na rysunku 7.9b. Niech

;

b˛ed ˛

a momentami czterech ob-

serwacji danej gwiazdy. Gdyby kamery FTZ w czasie obserwacji nie obracano o

180

, pomijaj ˛

ac niewielkie

zakrzywienie, cztery obrazy le˙załyby na liniach prostych. Ze wzgl˛edu na obroty, jjedynie odcinki

odzwierciedlaj ˛

a ruch dobowy sfery. Przy obrocie kliszy dokładnie o k ˛

180

, odcinki s ˛

a do siebie

równoległe. W czasie obracania FTZ, punkt zenitu na kliszy pozostaje nieruchomy. Jest on jednakowo
odległy od odcinków

Okre´slmy w dowolnym mmiejscu kliszy układ współrz˛ednych

(x;

)

, o osi

równoległej do tych

odcinków. Niech

;

)

s ˛

a współrz˛ednymi punktów

, i=1,2,3,4. Mo˙zna je oczywi´scie zmierzy´c za po-

moc ˛

a precyzyjnych płytomierzy. Znaj ˛

ac skal˛e kliszy (co ma miejsce, bowiem przykładowo, znamy odległo´s´c

na kliszy oraz interwał

)

odpowiadaj ˛

acy ruchowi dobowemu od

), mo˙zemy współ-

rz˛edne w jednostkach liniowych łatwo zamieni´c w k ˛

atowe. Zauwa˙zmy te˙z, ˙ze

;

7.8 Fotograficzny teleskop zenitalny

Klisza

Lustro rteciowe

φ−δ

Rysunek 7.9: Fotograficzny teleskop zenitalny: a) powstawanie obrazu gwiazdy w układzie
optycznym, b) obrazy gwiazd zarejestrowane na kliszy w trakcie obserwacji fotograficznym
teleskopem zenitalnym, c) odległo´s´c zenitalna odcinka

wynosi

. Szczegóły w tek´s-

cie.

Niech

;

)

b˛ed ˛

a współrz˛ednymi obrazu zenitu miejsca obserwacji. Współrz˛edna

jest nieznana ale

mo˙zemy wyznaczy´c z formuły

0:5

)

0:5

)

Łatwo zauwa˙zy´c, ˙ze odległo´s´c pomi˛edzy równoległymi odcinkami

równa jest dwukrotnej

odległo´sci zenitalnej gwiazdy w momencie przej´scia przez południk obserwatora (patrz rysunek ??c), st ˛

0:5

)

0:5

)

(7.31)

Zatem znaj ˛

ac szeroko´s´c miejsca obserwacji mo˙zemy obliczy´c deklinacj˛e gwiazdy.

K ˛

at godzinny gwiazdy w momencie

eksponowania kliszy, wynosi

)

(pomijamy zakrzywienie

´sladu gwiazdy na kliszy), a w momencie

, ze wzgl˛edu na odwrócenie kliszy wynosi

)

. A zatem

w momencie

0:5(t

)

k ˛

at godzinny jest równy

0:5(x

)

. Wykorzystuj ˛

ac wszystkie cztery obrazy

gwiazdy, ´sredni moment obserwacji wyliczamy jako

0:25

)

(7.32)

przy czym warto wyrazi´c go w czasie gwiazdowym. Odpowiadaj ˛

acy mu ´sredni k ˛

at godzinny wynosi

0:25(x

)

(7.33)

a rektascensj˛e obserwowanej gwiazdy wyliczamy ze znanej formuły

(7.34)

Najwi˛eksz ˛

a zalet ˛

a FTZ jest — ze wzgl˛edu na niewielkie odległo´sci zenitalne — zredukowanie do minimum

wpływu refrakcji na rezultaty obserwacji. Wad ˛

a natomiast jest niewielki zakres deklinacji gwiazd (mniej ni˙z

), jakie mo˙zna tym narz˛edziem w danym miejscu obserwowa´c.

Mimo, ˙ze s ˛

a to narz˛edzia precyzyjniejsze, ani astrolabium Danjon’a, ani FTZ nie nadaj ˛

a si˛e do wyz-

naczenia rektascensji i deklinacji w sposób fundamentalny. Mog ˛

a one natomiast dokładnie powi ˛

aza´c poło˙ze-

nia rozrzucone po całej sferze i wykry´c bł˛edy w katalogach fundamentalnych opracowanych w oparciu o
obserwacje południkowe.

Doskonale nadaj ˛

a si˛e do wyznaczania zmian szeroko´sci i czasu w miejscu obserwacji, nie tylko wynika-

j ˛

acych z ruchów bieguna ale tak˙ze powodowanych nieregularno´sci ˛

a ruchu wirowego Ziemi.

Pomiary rektascensji i deklinacji

7.9

Zadanka na ´cwiczenia

1. Poka˙z, ˙ze bł ˛

ad momentu przej´scia gwiazdy przez południk, obserwowanej kołem południkowym,

obok wzoru Bessel’a dany jest tak˙ze wzorem Mayer’a

sin

(

)

(

)

℄

2. Gwiazd˛e o

obserwowano instrumentem przej´sciowym w miejscu o szeroko´sci

W nast˛epstwie poprawek instrumentalnych bł˛edów w wysoko´sci i kolimacji, czasy uniwersalne górnej
i dolnej kulminacji okazały si˛e równe

18:

45:

. Oblicz bł ˛

ad azymutu tego narz˛edzia.

3. Wyja´snij zasad˛e obserwacji gwiazd za pomoc ˛

a astrolabii Danjon’a. Poka˙z, ˙ze mo˙zna j ˛

a zastosowa´c

do pomiaru deklinacji gwiazd, dla których

Udowodnij, ˙ze precyzja wyznaczenia

jest najwi˛eksza na ko´ncach tego przedziału, oraz, ˙ze osi ˛

aga

zero gdy

ar sin

sin

Poka˙z, ˙ze precyzja wyznaczenia rektascensji jest najwi˛eksza gdy

ar sin

3 =2

sin

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
MEBS 07 Pomiar
07 pomiar silyid 6931
07 Pomiary z zastosowaniem oscyloskopu
07 pomiar sily
MEBS 07 Pomiar
Cw 07 Pomiar natężenia pola magnetycznego ziemskiego
Instrukcja stanowiskowa PSN, OŚRODEK POMIARÓW I AUTOMATYKI Ruda Śl. dn.
Instrukcja stanowiskowa PSN, OŚRODEK POMIARÓW I AUTOMATYKI Ruda Śl. dn.
07 Wyklad 4 (pomiar w badaniach Nieznany
wyklad 07 cd z tej-strony-co-podala-frania, POMIARY CZĘSTOTLIWOŚCI I PRZESUNIĘCIA FAZOWEGO SYGNAŁÓW
78 Nw 07 Uniwersalny mostek pomiarowy
karta badań i pomiarów czynników szkodliwych dla zdrowia, lolo, Druki MBP 07
Pomiary przeprowadzono dla trzech, Transport i Logistyka (AM) 1 (semestr I), Fizyka, fiza laborki (r
Pomiar ciepła spalania, pwr biotechnologia(I stopień), III semestr, Chemia fizyczna - laboratorium,
wyklad 07 metody-pomiarowe pomiar-t-i-f, Wykład 4

więcej podobnych podstron