Fizyka Kąkol wykład 3

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Wykład 3

3. Ruch na płaszczyźnie

Ruch w dwóch wymiarach będziemy opisywać w układzie współrzędnych x i y.

Np. y - wysokość, x - odległość w kierunku poziomym. Pokażemy, że taki ruch można
traktować jak dwa niezależne ruchy jednowymiarowe.

3.1 Przemieszczenie, prędkość i przyspieszenie.

Położenie punktu w chwili t przedstawia wektor r; prędkość wektor

v

; przyspiesze-

nie wektor a. Wektory r,

v

, a są wzajemnie zależne od siebie i dadzą się przedstawić

(za pomocą

wersorów

i, j, k czyli wektorów jednostkowych) w postaci

y

x

y

x

y

x

a

a

t

t

t

t

y

t

x

t

y

x

j

i

j

i

a

j

i

j

i

r

j

i

r

+

=

+

=

=

+

=

+

=

=

+

=

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

d

v

v

v

v

v

v


Czy trzeba stosować rozkładanie wektorów na składowe?

Przykład 1

Żaglówka płynąca pod wiatr (pod kątem 45

° do kierunku wiatru). Siła, którą wiatr dzia-

ła na żagiel, popycha łódkę prostopadle do płaszczyzny żagla. Ze względu na kil (i ster)
łódź może poruszać się wzdłuż osi kila. Składowa siły w tym kierunku (F

x

) ma zwrot

w kierunku ruchu.

oś kila

żagiel

F

x

wiatr

Ruch ze stałym przyspieszeniem oznacza, że nie zmienia się kierunek ani wartość przy-
spieszenia tzn. nie zmieniają się również składowe przyspieszenia.
Rozpatrzymy teraz przypadek punkt materialnego poruszającego się wzdłuż krzywej
leżącej na płaszczyźnie.
Rozpoczniemy od napisania równań dla ruchu jednostajnie przyspieszonego

3-1

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

a = const

v

=

v

0

+ at

r = r

0

+

v

0

t + (1/2) at

2


Prześledźmy teraz dodawanie wektorów na wykresie. Przykładowo punkt porusza się z
przyspieszeniem a = [2,1], prędkość początkowa

v

0

= [1,2], a położenie początkowe, r

0

= [1,1]. Szukamy położenia ciała np. po t = 1s i t = 3s dodając odpowiednie wektory tak
jak na rysunku obok.
Powyższe równania wektorowe są równoważne równaniom w postaci skalarnej:

Równania opisujące ruch wzdłuż
osi x

Równania opisujące ruch wzdłuż
osi y

a

x

= const

v

x

=

v

x0

t + a

x

t

x = x

0

+

v

x0

t + (1/2) a

x

t

2

a

y

= const

v

y

=

v

y0

t + a

y

t

y = y

0

+

v

y0

t + (1/2) a

y

t

2


Przykładem na którym prześledzimy ruch krzywoliniowy ze stałym przyspieszeniem
jest rzut ukośny.

3.2 Rzut ukośny

Rzut ukośny to ruch ze stałym przyspieszeniem g [0, -g] skierowanym w dół. Jest

opisywany przez równania podane powyżej w tabeli. Przyjmijmy, że początek układu
współrzędnych pokrywa się z punktem, z którego wylatuje ciało tzn. r

0

= 0.

θ

v

0

v

0

cosθ

v

0

sinθ

Prędkość w chwili początkowej t = 0 jest równa

v

0

i tworzy z kąt

θ z dodatnim kierun-

kiem osi x. Zadaniem naszym jest: znaleźć prędkość i położenie ciała w dowolnej chwi-

3-2

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

li, opisać tor, znaleźć zasięg. Składowe prędkości początkowej (zgodnie z rysunkiem)
wynoszą odpowiednio

v

x0

=

v

0

cos

θ i

v

y0

=

v

0

sin

θ

Prędkość w kierunku x (poziomym)

v

x

=

v

x0

+ a

x

t


ponieważ a

x

= 0 więc:

v

x

=

v

0

cos

θ, czyli w kierunku x ruch jest jednostajny (składowa

x prędkości jest stała)
W kierunku y (pionowym)

v

y

=

v

y0

+ a

y

t

ponieważ g

y

= -g więc

v

y

=

v

0

sin

θ – gt


Wartość wektora wypadkowego prędkości w dowolnej chwili wynosi

2

2

y

x

v

v

v

+

=

więc

2

2

0

2

0

sin

2

t

g

gt

+

=

θ

v

v

v

(3.1)


Teraz obliczamy położenie ciała

x =

v

0x

t

czyli

x =

v

0

cos

θ t

(3.2)

y =

v

0y

t+(1/2)a

y

t

2

czyli

y =

v

0

sin

θ t – (1/2)gt

2

(3.3)


Długość wektora położenia r można teraz obliczyć dla dowolnej chwili t z zależności

2

2

y

x

r

+

=


Sprawdźmy po jakim torze porusza się nasz obiekt tzn. znajdźmy równanie krzywej
y(x). Mamy równania x(t) i y(t). Równanie y(x) obliczymy eliminując t z równań (3.2) i
(3.3). Z równania (3.2)

t = x/

v

0

cos

θ


więc równanie (3.3) przyjmuje postać

3-3

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

2

2

0

)

cos

(

2

)

(tg

x

g

x

y

θ

θ

v

=

(3.4)


Otrzymaliśmy równanie paraboli (ramionami w dół).
Z równania paraboli obliczamy zasięg Z czyli znajdziemy miejsca zerowe. Do równania
(3.3) wstawiamy x = Z oraz y = 0 i otrzymujemy po przekształceniach dwa miejsca ze-
rowe

Z = 0

oraz

θ

θ

θ

2

sin

cos

sin

2

2

0

2

0

g

g

Z

v

v

=

=

(3.5)


Z równania (3.4) wynika, że zasięg jest maksymalny gdy

θ = 45°.

Zauważmy, że omawiany ruch odbywa się po linii krzywej.
W poprzednich wykładach mówiliśmy o przyspieszeniu zmieniającym wartość prędko-
ści, a nie jej kierunek (zwrot). Mówiliśmy o

przyspieszeniu stycznym

.

Rozpatrzmy teraz sytuacje gdy

wartość

prędkości się nie zmienia a zmienia się

kieru-

nek

.

3.3 Ruch jednostajny po okręgu

Rozważmy zamieszczony obok rysunek. Punkt P - położenie punktu materialnego w
chwili t, a P' - położenie w chwili t +

t. Wektory

v

,

v

' mają jednakowe długości ale

różnią się kierunkiem; są styczne do toru (krzywej) odpowiednio w punktach P i P'.

θ

r

O

P

P'

v

v'

v

v'

∆v

θ

Przerysujmy wektory

v

i

v

' zaznaczając zmianę prędkości

v

. Zauważmy, że kąt po-

między tymi wektorami jest taki sam jak kąt na pierwszym rysunku. Zaznaczone trójką-

ty są podobne więc :

r

l

=

v

v

, gdzie l jest długością łuku (pod warunkiem, że l jest bar-

dzo małe (l

→0)). Stąd

v

=

v

l/r.

a ponieważ

l =

v

t

więc

v

=

v

2

t/r

Ostatecznie

a =

v

/

t

3-4

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

więc

r

a

2

v

=

(3.6)


To przyspieszenie nazywamy

przyspieszeniem normalnym

(w odróżnieniu od styczne-

go) bo jest prostopadłe do toru. W przypadku ruchu po okręgu kierunek prostopadły do
toru jest skierowany do środka i dlatego takie przyspieszenie nazywamy również

przy-

spieszeniem dośrodkowym

. Przyspieszenie

normalne

zmienia

kierunek

prędkości.

Często wyraża się to przyspieszenie przez okres T. Ponieważ

v

= 2

πr/T

więc

a = 4

π

2

r/T

2

Przykład 2

przyspieszenia dośrodkowego, wynikającego z obrotu Ziemi, doznaje ciało

będ

a = 0.0034 m/s

2

.

tanowi to 0.35 % przyspieszenia ziemskiego g = 9.81 m/s

2

.

niejsza (np. łatwiej pobić

ykład, w którym zmienia się i

wartość

i

kierunek

prędkości.

Wr

ieszenia stycznego i normalnego (jako

Jakiego

ące na równiku? R

Z

= 6370 10

3

m, T = 8.64 10

4

sec.

S
Przy założeniu, że Ziemia jest kulą waga na równiku jest m
rekord w skoku wzwyż).

Prześledźmy teraz prz

acamy do rzutu ukośnego. Przyspieszenie g (jedyne) jest odpowiedzialne za zmianę

zarówno wartości prędkości jak i jej kierunku.
Prezentacja graficzna z zaznaczeniem przysp
składowych g) jest przedstawiona poniżej.

g

a

s

a

r

y obie składowe przyspieszenia.

Teraz obliczym
a) Przyspieszenie styczne

t

a

s

d

=

dv

rzypomnijmy, że zależność

v

(t) w rzucie ukośnym jest dana równaniem (3.1)

(

P

2

2

0

2

0

sin

2

t

g

gt

+

=

θ

v

v

v

).

3-5

background image

Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki

Stąd

a

S

=

g

t

g

gt

gt

2

2

0

2

0

0

sin

2

sin

+

θ

θ

v

v

v


b) Przyspieszenie dośrodkowe

k wynika z rysunku

Ja

2

2

s

r

a

g

a

=

b

lu

r

a

2

v

=

ale trzeba umieć obliczyć

żdym punkcie toru.

promień krzywizny w ka

3-6


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Fizyka Kakol wyklad 17 id 176833
Fizyka Kakol wyklad 13 id 176831
Fizyka Kakol wyklad 14 id 176832
Fizyka Kakol wyklad 30 id 176839
Fizyka Kakol wyklad 24 id 176836
Fizyka Kakol wyklad 37 id 176843
Fizyka Kakol wyklad 22 id 176835
Fizyka Kąkol wykład 25
Fizyka Kąkol wykład 10

więcej podobnych podstron