background image

Prawdopodobieństwo i statystyka 

 

8.10.2007 r. 

___________________________________________________________________________ 

Zadanie 1. 
 
Niech 

    będą niezależnymi  zmiennymi losowymi o tym samym 

rozkładzie z gęstością   

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

⎪⎩

>

=

1

  

0

1

  

2

)

(

3

x

gdy

x

gdy

x

x

f

Obliczyć 

{

}

{

}

⎟⎟

⎜⎜

4

3

2

1

4

3

2

1

,

,

,

max

,

,

,

min

X

X

X

X

X

X

X

X

E

 

 

(A) 

45

16

 

 

(B) 

245

128

 

 

(C) 

35

8

 

 

 

(D) 

16

5

 

 

(E) 

35

16

 1  

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka 

 

8.10.2007 r. 

___________________________________________________________________________ 

 Zadanie 2.

 

 

Niech 

  będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym 

rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną równą 1.  

K

K

,

,

,

,

,

2

1

0

n

X

X

X

X

Niech  N  będzie zmienną losową o rozkładzie  Poissona z wartością oczekiwaną  

λ

=

EN

, niezależną od zmiennych 

.  

K

K

,

,

,

,

,

2

1

0

n

X

X

X

X

Niech 

{

}

N

N

X

X

X

X

M

,

,

,

,

min

2

1

0

K

=

 
Wyznaczyć 

 

 

(

)

N

M

Cov

N

,

.

     

(A)  

(

)

λ

λ

λ

+

e

1

1

1

 

 

(B) 

(

)

λ

λ

e

1

1

1

 

 

 

(C) 1 
 

(D) 

(

)

λ

λ

e

1

1

 

 

(E) 

λ

λ

1

e

 2  

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka 

 

8.10.2007 r. 

___________________________________________________________________________ 

Zadanie 3.  
 
Niech 

  będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym 

zmienna losowa N  ma rozkład geometryczny  

K

K

,

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

N

(

) (

)

n

q

q

n

N

P

=

=

1

 

 

dla   

K

,

2

,

1

,

0

=

n

 ,   

gdzie 

  jest ustaloną liczbą, a 

  są zmiennymi losowymi o 

tym samym rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną 

(

1

,

0

q

)

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

λ

1

. Niech 

.  

=

>

+

+

+

=

0

gdy  

0

0

gdy  

2

1

N

N

X

X

X

S

N

K

 Wyznaczyć prawdopodobieństwo  

(

)

x

S

P

, gdy 

0

x

 

(A) 

(

)

(

)

1

2

1

1

1

+

x

q

x

q

e

e

q

λ

λ

 

 
(B) 

 

(

)

(

)

x

q

e

q

1

1

1

λ

 
(C) 

 

(

)

x

q

qe

1

1

λ

 

 

(D) 

qx

qe

λ

1

 

 

(E) 

(

)

x

q

q

+

1

1

1

λ

 

 
 

 3  

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka 

 

8.10.2007 r. 

___________________________________________________________________________ 

Zadanie 4.

 

 
W urnie znajduje się trzydzieści kul, na każdej narysowana jest litera i cyfra. Mamy  
 

10 kul oznaczonych X1 

 

8 kul oznaczonych Y1 

 

8 kul oznaczonych X2 

 

4 kule oznaczone Y2. 

Losujemy bez zwracania 15 kul. Niech 

 określa liczbę kul oznaczonych literą X 

wśród kul wylosowanych, a 

  liczbę kul z cyfrą 2 wśród kul wylosowanych. 

Obliczyć 

X

N

2

N

(

)

2

|

N

N

E

X

 

(A)  

2

36

5

8

N

 

 

(B)  

2

3

1

25

3

1

 

 

(C)  

+

2

3

1

25

3

1

 

 

(D)  

(

)

2

25

3

1

N

+

 

 

(E)      

2

36

5

8

N

+

 

 

 4  

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka 

 

8.10.2007 r. 

___________________________________________________________________________ 

Zadanie 5. 
 
Zmienne losowe 

 są warunkowo niezależne przy danej wartości 

K

K

,

,

,

1

n

X

X

)

1

,

0

(

θ

 i mają rozkład prawdopodobieństwa  

(

)

(

)

θ

θ

θ

|

0

1

|

1

=

=

=

=

i

i

X

P

X

P

Zmienna losowa 

θ  ma rozkład beta określony na przedziale 

 

o  gęstości  

)

1

,

0

(

)

1

(

12

)

(

2

θ

θ

θ

=

f

Niech 

. Obliczyć 

=

=

n

i

i

n

X

S

1

(

)

0

|

0

6

8

=

>

S

S

P

 

(A) 

11

5

 

 

(B) 

5

4

 

 

(C)  

2

1

 

 

 

(D) 

4

3

 

 

(E) 

11

7

 

 
 
 

 5  

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka 

 

8.10.2007 r. 

___________________________________________________________________________ 

Zadanie 6. 
 
Wykonujemy n rzutów kością do gry i weryfikujemy hipotezę 

 mówiącą, że kość 

jest rzetelna - tzn. że każda liczba oczek pojawia się z jednakowym 

prawdopodobieństwem równym 

H

0

6

1

. Standardowy test 

 na poziomie istotności 0.01 

odrzuca hipotezę zerową, jeśli obliczona wartość statystyki 

 przekracza 15.0863 

(kwantyl rzędu 0.99 rozkładu 

 z pięcioma stopniami swobody). 

χ

2

χ

2

χ

2

Przypuśćmy,  że wykonaliśmy tylko  n

= 6 rzutów. Jest to zbyt mało,  żeby 

asymptotyczne przybliżenie rozkładu 

 było zadowalające. Faktyczny rozmiar testu: 

χ

2

„odrzucamy 

, jeśli wartość statystyki 

 przekroczy 15.0863” wynosi: 

H

0

χ

2

 

(A) 

1

6

5

 

 

(B) 

5

6

5

 

 

(C) 

6

6

31

 

 

 

(D) 

5

6

31

 

 

(E) 

4

6

1

 

 
 

 6  

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka 

 

8.10.2007 r. 

___________________________________________________________________________ 

Zadanie

 7.  

 
Zakładamy,  że zależność czynnika Y od czynnika x (nielosowego) opisuje model 
regresji liniowej 

i

i

i

x

Y

ε

β

+

=

. Obserwujemy 5 elementową próbkę, w której 

 dla 

. Zmienne losowe  

  są niezależne i błędy mają rozkłady 

normalne o wartości oczekiwanej 0, przy czym 

, gdy 

Wyznaczono estymator 

 parametru 

i

x

i

=

5

,

,

2

,

1 K

=

i

5

2

1

,

,

,

Y

Y

Y

K

2

σ

ε

i

Var

i

=

5

,

,

2

,

1 K

=

i

β

ˆ

β

 wykorzystując ważoną metodę  

najmniejszych kwadratów, to znaczy minimalizując sumę 

=

5

1

2

)

(

i

i

i

i

Var

x

Y

ε

β

 . Wyznaczyć 

stałą   tak, aby  

z

(

)

95

.

0

|

ˆ

|

=

<

σ

β

β

z

P

 
(A)   1.96 
 
(B)   7.59 
 
(C)   3.96 
  
(D)   0.51 
 
(E)   0.42 
 

 7  

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka 

 

8.10.2007 r. 

___________________________________________________________________________ 

Zadanie

 8.  

 
Niech 

  będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu 

jednostajnego na przedziale 

6

2

1

,

,

,

X

X

X

K

( )

θ

,

0

, gdzie 

0

>

θ

 jest nieznanym parametrem. 

Zbudowano test jednostajnie najmocniejszy dla weryfikacji hipotezy 

1

 :

0

=

θ

H

 przy 

alternatywie 

1

 :

1

θ

H

 na poziomie istotności 0.125.  

Obszar krytyczny tego testu jest równy 
 

(A) 

{

}

(

)

⎪⎭

⎪⎩

+∞

⎟⎟

⎜⎜

,

2

2

2

,

0

,

,

,

max

6

2

1

X

X

X

K

 

 

(B) 

{

}

(

)

⎪⎭

⎪⎩

+∞

⎟⎟

⎜⎜

,

1

2

2

,

0

,

,

,

max

6

2

1

X

X

X

K

 

 

(C) 

{

}

⎪⎭

⎪⎩

⎟⎟

⎜⎜

+∞

+

⎟⎟

⎜⎜

,

2

2

1

2

2

,

0

,

,

,

max

6

2

1

X

X

X

K

 

 

(D) 

{

}

⎪⎭

⎪⎩

⎟⎟

⎜⎜

+∞

,

8

7

,

,

,

max

6

6

2

1

X

X

X

K

 

 

(E) 

{

}

⎪⎭

⎪⎩

⎟⎟

⎜⎜

+∞

,

2

2

1

,

,

,

max

6

2

1

X

X

X

K

 

 

 

 

 8  

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka 

 

8.10.2007 r. 

___________________________________________________________________________ 

Zadanie

 9. 

 
Niech  

 będzie próbką z rozkładu wykładniczego o gęstości określonej 

dla 

 wzorem: 

n

X

X

X

,...,

,

2

1

0

>

x

 

).

exp(

 

)

(

x

x

f

λ

λ

=

 

 
Nie obserwujemy dokładnych wartości zmiennych 

, tylko wartości 

zaokrąglone w 

górę do najbliższej liczby całkowitej. Innymi słowy, dane są wartości zmiennych 
losowych 

,  gdzie 

i

X

n

Z

Z

Z

,...,

,

2

1

⎡ ⎤

i

i

X

Z

=

 
(symbol 

 oznacza najmniejszą liczbą całkowitą   taką, że 

⎡ ⎤

a

k

k

a

). 

Niech 

.  

=

=

n

i

i

Z

S

1

Oblicz estymator 

największej wiarogodności   nieznanego parametru 

λ

ˆ

λ

 oparty na 

obserwacjach 

n

Z

Z

2

Z

,...,

,

1

 

(A) 

⎛ −

=

1

ln

ˆ

n

S

λ

                                     

 

(B) 

S

n

=

λ

ˆ

                             

 

(C) 

⎥⎥

⎢⎢

=

S

n

λ

ˆ

      

 

(D) 

n

S

=

λ

ˆ

      

 

(E)   

⎛ −

=

S

n

1

ln

ˆ

λ

       

 
 
 
 

 9  

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka 

 

8.10.2007 r. 

___________________________________________________________________________ 

Zadanie

 10. 

 
Załóżmy, że   jest ciągiem zmiennych losowych takim, że  

,...

,...,

,

2

1

n

W

W

W

 
•  zmienna 

 ma gęstość Pareto: dla 

 

1

W

0

1

>

w

 

5

1

1

)

1

(

4

 

)

(

w

w

f

+

=

 

 
•  warunkowo, dla danych 

, zmienna 

 ma gęstość Pareto: dla 

 

n

W

W

W

,...,

,

2

1

1

+

n

W

0

1

>

+

n

w

  

⎪⎪

>

+

+

=

+

+

+

;.

1

)

1

(

3

;

1

)

1

(

4

)

,....,

|

(

4

1

5

1

1

1

n

n

n

n

n

n

w

gdy

w

w

gdy

w

w

w

w

f

 

Wyznaczyć  

)

(

lim

n

n

W

E

 

(A) 

45

22

)

(

lim

=

n

n

W

E

 

 

(B) 

90

31

)

(

lim

=

n

n

W

E

 

 

(C) 

32

11

)

(

lim

=

n

n

W

E

 

 

(D) 

96

47

)

(

lim

=

n

n

W

E

 

 

(E) 

90

23

)

(

lim

=

n

n

W

E

 

 
 
 

 10  

background image

Prawdopodobieństwo i statystyka 

 

8.10.2007 r. 

___________________________________________________________________________ 

 

Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r. 

 

Prawdopodobieństwo i statystyka 

 
 

Arkusz odpowiedzi

*

  

 
 
 
Imię i nazwisko : ......................... K L U C Z   O D P O W I E D Z I ............................. 
 
 Pesel ........................................... 
 
 
 
 

 

Zadanie nr 

Odpowiedź  Punktacja

 

1 E 

 

2 A 

 

3 C 

 

4 C 

 

5 A 

 

6 D 

 

7 D 

 

8 B 

 

9 E 

 

10 B 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 

                                                 

*

 Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

 

 Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

 

 11