GEOMETRIA ANALITYCZNA

ARKUSZ 3

Zadanie 1.

Napisać równania wektorowe i parametryczne prostej w

n

R

L

⊂

takiej, że

a)

3

=

n

i prosta L przechodzi przez punkty

)

3

,

2

,

1

(

=

a

i

)

1

,

0

,

3

(

=

b

.

b)

4

=

n

i prosta L przechodzi przez punkt

)

1

,

1

,

1

,

1

(

=

p

i jest równoległa do prostej przechodzącej przez

punkty

)

1

,

2

,

2

,

1

(

=

a

i

)

0

,

1

,

0

,

1

(

−

=

b

.

c)

3

=

n

i prosta L przechodzi przez punkt

)

0

,

0

,

0

(

i jest równoległa do prostej

{

}

2

3

:

)

,

,

(

=

∧

=

+

+

=

y

z

y

x

z

y

x

M

d)

4

=

n

i prosta L przechodzi przez punkt

)

0

,

1

,

2

,

1

(

−

i jest równoległa do prostej

{

}

2

3

0

1

2

:

)

,

,

,

(

=

+

∧

=

+

∧

=

+

−

=

s

z

z

y

s

y

x

s

z

y

x

M

.

Zadanie 2.
a)

Napisać równanie symetralnej L odcinka o końcach

)

3

,

1

(

=

a

i

)

1

,

5

(

−

=

b

.

b)

Znaleźć rzut prostokątny punktu

)

5

,

2

(

−

=

p

na prostą L .

c)

Obliczyć odległość punktu p od prostej L

d)

Znaleźć punkt symetryczny do punktu p względem prostej L .

Zadanie 3.

Zbadać wzajemne położenie prostych

1

L

,

2

L

3

R

⊂

(czy są równoległe, czy nie, czy się przecinają, czy nie):

a)

{

}

R

t

t

t

t

L

∈

−

−

=

:

)

,

2

,

1

2

(

3

1

1

i

{

}

19

:

)

,

,

(

3

7

6

3

2

+

=

=

=

−

+

z

z

y

x

L

y

x

b)

{

}

R

t

t

t

t

L

∈

+

−

−

+

=

:

)

1

,

3

1

,

5

6

(

1

i

{

}

z

y

x

z

y

x

L

=

=

=

:

)

,

,

(

2

c)

{

}

1

3

5

3

3

:

)

,

,

(

1

=

−

+

∧

=

+

+

=

z

y

x

z

y

x

z

y

x

L

i

{

}

z

y

y

x

z

y

x

L

2

0

1

3

:

)

,

,

(

2

−

=

∧

=

+

+

=

Obliczyć odległość prostych

1

L

i

2

L

. Obliczyć odległość punktu

)

1

,

1

,

5

(

−

=

p

od każdej z podanych prostych.

Zadanie 4.

Obliczyć odległość prostych

1

L

,

2

L

4

R

⊂

, jeśli

{

}

s

z

y

x

s

z

y

x

L

=

=

=

=

:

)

,

,

,

(

1

i

{

}

1

2

2

:

)

,

,

,

(

2

+

=

+

=

+

+

=

−

=

s

s

z

z

y

x

y

x

s

z

y

x

L

.

Obliczyć odległość punktu

)

2

,

,

0

,

1

,

1

(

−

−

=

p

od prostych

1

L

i

2

L

.

Zadanie 5.
Sprawdzić, że punkty

)

3

,

0

,

1

(

=

a

,

)

1

,

2

,

2

(

−

=

b

i

)

2

,

1

,

0

(

−

=

c

nie leżą na jednej prostej. Wyznaczyć punkt, w

którym przecinają się środkowe trójkąta o wierzchołkach a, b, c.
Zadanie 6.

Udowodnić, że jeżeli punkty

n

R

r

q

p

∈

,

,

nie są współliniowe, to proste zawierające środkowe trójkąta o

wierzchołkach

r

q

p

,

,

przecinają się w jednym punkcie.

Zadanie 7.

W przestrzeni

2

R znaleźć zbiór takich punktów, dla których stosunek odległości od punktu

)

1

,

1

(

−

=

p

do

odległości od prostej

2

=

x

jest równy

3

:

1

.

Zadanie 8.
Niech dany będzie okrąg

)

,

(

r

p

S

o środku w punkcie

)

,

( b

a

p

=

i promieniu r>0. Prostą L przechodzącą przez

punkt

)

,

(

r

p

S

q

∈

prostopadłą do odcinka

pq nazywamy styczną do okręgu

)

,

(

r

p

S

w punkcie q.

a)

Udowodnić, że punkt

q jest jedynym punktem wspólnym okręgu

)

,

(

r

p

S

i stycznej

L .

b)

Pokazać, że styczna do okręgu o równaniu

2

2

2

r

y

x

=

+

w punkcie

)

,

(

)

,

(

0

0

r

p

S

y

x

q

∈

=

ma równanie

2

0

0

r

y

y

x

x

=

+

.

c)

Napisać równanie stycznej do okręgu

0

3

2

2

=

+

+

x

y

x

w punkcie

)

2

,

2

(

−

=

q

Zadanie 9.

Znaleźć zbiór punktów w przestrzeni

2

R , z których odcinek o końcach

)

2

,

1

(

−

=

p

i

)

1

,

3

(

−

=

q

widać pod

kątem

4

π

.