ARKUSZ 3
Zadanie 1.
Napisać równania wektorowe i parametryczne prostej w n
L ⊂ R takiej, Ŝe
a) n = 3 i prosta L przechodzi przez punkty a = , 1
(
)
3
,
2
i b =
,
3
(
)
1
,
0
.
b) n = 4 i prosta L przechodzi przez punkt p =
)
1
,
1
,
1
,
1
(
i jest równoległa do prostej przechodzącej przez punkty a = ,
1
(
,
2
)
1
,
2
i b = (− ,
1
,
1
,
0 0) .
c) n = 3 i prosta L przechodzi przez punkt ( , 0 ,
0 0) i jest równoległa do prostej
M = {( x, y, z) : x + y + z = 3 ∧ y = }
2
d) n = 4 i prosta L przechodzi przez punkt , 1
(
,
2 − ,
1 0) i jest równoległa do prostej
M = {( x, y, z, s) : x − 2 y + s = 1 ∧ y + z = 0 ∧ z + 3 s = }
2 .
Zadanie 2.
a) Napisać równanie symetralnej L odcinka o końcach a =
)
3
,
1
(
i b =
,
5
( − )
1 .
b) Znaleźć rzut prostokątny punktu p = (−
)
5
,
2
na prostą L .
c) Obliczyć odległość punktu p od prostej L
d) Znaleźć punkt symetryczny do punktu p względem prostej L .
Zadanie 3.
Zbadać wzajemne połoŜenie prostych
⊂
1
L , L
3
2
R (czy są równoległe, czy nie, czy się przecinają, czy nie): y
L =
x +
x y z
= − = z +
2
{
7
( , , ) :
3
1
6
3
}
L 1 = {( t
2 − ,
1 2 − t, 1 t) : t ∈ R}
a)
i
9
3
b) L
2 = ( , , ) :
= =
1 = {( t
6 + ,
5 −1 − t
3 , t + )
1 : t ∈ }
R i L
{ x y z x y z}
c) L = x y z
x + y + z = ∧ x + y − z =
=
+
+ = ∧ = −
1
{( , , ) : 3 3 5
3
}
1 i L 2
{( x, y, z) : x 3 y 1 0 y 2 z}
Obliczyć odległość prostych
p =
1
L i L 2 . Obliczyć odległość punktu
,
5
( −
)
1
,
1
od kaŜdej z podanych prostych.
Zadanie 4.
Obliczyć odległość prostych
⊂
1
L , L
4
2
R , jeśli
L
L = x y z s
x − y = x + y + z = z + s = s +
1 = {( x, y, z, s) : x = y = z =
}
s i 2 {( , , , ) :
2
2
}
1 .
Obliczyć odległość punktu p = (− ,
1
,
1
,
0 ,−2) od prostych 1
L i L 2 .
Zadanie 5.
Sprawdzić, Ŝe punkty a = ,
1
(
)
3
,
0
, b = ( ,
2 ,
2 − )
1 i c = ( ,
0 − ,
1 2) nie leŜą na jednej prostej. Wyznaczyć punkt, w którym przecinają się środkowe trójkąta o wierzchołkach a, b, c.
Zadanie 6.
Udowodnić, Ŝe jeŜeli punkty
n
p, q, r ∈ R nie są współliniowe, to proste zawierające środkowe trójkąta o wierzchołkach p, q, r przecinają się w jednym punkcie.
Zadanie 7.
W przestrzeni 2
R znaleźć zbiór takich punktów, dla których stosunek odległości od punktu p = (−
)
1
,
1
do
odległości od prostej x = 2 jest równy 1 : 3.
Zadanie 8.
Niech dany będzie okrąg S ( p, r) o środku w punkcie p = ( a, b) i promieniu r>0. Prostą L przechodzącą przez punkt q ∈ S( p, r) prostopadłą do odcinka pq nazywamy styczną do okrę gu S( p, r) w punkcie q.
a) Udowodnić, Ŝe punkt q jest jedynym punktem wspólnym okręgu S ( p, r) i stycznej L .
b) Pokaza
2
2
ć, Ŝe styczna do okręgu o równaniu
2
x + y = r w punkcie q = ( x , y ) ∈ S( p, r) 0
0
ma równanie
2
x
+
=
0 x
y 0 y r .
c) Napisa
2
2
ć równanie stycznej do okręgu x + y + 3 x = 0 w punkcie q = (− , 2
2 )
Zadanie 9.
Znaleźć zbiór punktów w przestrzeni 2
R , z których odcinek o końcach p = , 1
( −2) i q = (−
)
1
,
3
widać pod
π
kątem
.
4