Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
1
Prezentacja graficzna danych
liczbowych
Wykład 5
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Plan wykładu
1. Cel i zastosowania graficznej prezentacji danych
2. Dane w postaci zbioru liczb
3. Funkcja jednej zmiennej
4. Funkcja dwóch zmiennych
5. Niektóre typy wykresów stosowane w elektronice
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
1. Zagadnienia inżynierskie i naukowe
2. Prezentacje biznesowe i reklamowe i inne
3. Nomografia jako wykorzystanie metod graficznych
do przetwarzania danych
Cel i zastosowania graficznej prezentacji danych
liczbowych
Cel:
Zastosowania
Lepsze zrozumienie natury analizowanych liczb.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Metody graficznej prezentacji i przetwarzania
danych - zastosowania
Przykład nomogramu:
Nomografia – dział matematyki stosowanej zajmujący się
rozwiązywaniem zagadnień obliczeniowych, na przykład
rozwiązywaniem układów równań, przy pomocy metod
wykreślnych. Obecnie, ze względu na rozwój komputerów
nomografia utraciła praktyczne znaczenie.
Wykres Smitha służący do obliczania impedancji linii transmisyjnej
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
2
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Histogram
X =
{-0.4326, -1.6656, 0.1253 ,…, 0.5690, -0.8217, -0.2656 }
Dany jest zbiór
X
, zawierający
n
liczb rzeczywistych.
Przykładowo dla
n = 100
może to być zbiór:
Histogram jest rysunkiem, który
prezentuje w sposób ilościowy (przy
pomocy słupków) przynależność liczb
ze zbioru X do arbitralnie ustalonych
podzakresów osi liczbowej.
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
5
10
15
20
25
Histogram danych ze zbioru X
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Algorytm budowy histogramu
1.
Wyznaczenie zakresu rysowania (w oparciu o największą
i najmniejszą wartość liczbową danych).
2. Podział zakresu rysowania na k równych podprzedziałów
•
wyznaczenie dla każdego podprzedziału liczby
należących do niego danych,
•
narysowanie odpowiedniego wykresu słupkowego,
w którym wysokość słupka odpowiada liczbie danych
należących do podprzedziału
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Jaki jest wpływ liczby podprzedziałów k na wygląd histogramu?
Dane ze zbioru
X
narysowano na trzy sposoby,
dobierając różne liczby
k
:
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
5
10
15
20
25
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
k = 5
k = 10
k = 100
-3
-2
-1
0
1
2
3
0
10
20
30
40
50
60
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Jak dobrze dobrać szerokość podprzedziału i ich liczbę?
Zgodnie z podanym algorytmem można napisać, że:
Reguły histogramowania
−
=
h
X
X
k
min
max
gdzie:
k
– liczba podprzedziałów
h
– szerokokość pojedynczego podprzedziału
- przybliżenie do najbliższej większej liczby całkowitej
(ceil)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
3
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Jak dobrze dobrać liczbę k (lub
h
)? W literaturze podawane
są różne reguły.
Reguły histogramowania
1
log
2
+
=
n
k
3
5
.
3
n
h
σ
=
1.
2.
(wzór Sturgesa)
3.
(wzór Scotta)
gdzie
σ
oznacza tzw. odchylenie standardowe dla liczb ze
zbioru
X.
n
k
=
(wzór pierwiastkowy)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Reguły zostały użyte dla tych samych danych (
n=100
).
Przykład zastosowania:
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
5
10
15
20
25
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
5
10
15
20
25
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
0
5
10
15
20
25
30
(wzór pierwiastkowy)
k = 10
(wzór Sturgesa)
k = 8
(wzór Scotta)
k = 7
X =
{0.6686, 1.1908, -1.2025 ,…, -0.9499, 0.7812, 0.5690}
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Histogramowane liczby mają nietypowy rozkład. Na przykład
jedna z liczb jest o wiele większa od pozostałych. Wynik
histogramowania może być w takim przypadku niezbyt czytelny.
Trudności w histogramowaniu
-200
0
200
400
600
800
1000
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Do stu liczb z poprzedniego przykładu ( minX=-2.1707, maxX =
2.1832
) dodano liczbę 1000. Problem można rozwiązać różnie na
przykład dobierając podprzedziały o nierównej szerokości.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Histogram obrazu
Histogram jest wykresem ilustrującym ile pikseli w obrazie
przyjmuje poszczególne stopni szarości. Histogramowane liczby
należą do skończonego zbioru wartości.
obraz 256 x 256 x 256
skala szarości i histogram
liczba pikseli
stopnie szarości
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
4
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Prezentacja zbioru liczb - histogram
Histogram obrazu – przykład zastosowania
Obraz źle naświetlony
i jego histogram.
Obraz poprawiony przy
pomocy algorytmu
wyrównywania
histogramu.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej
Dwie postacie danych opisujących funkcję:
1. Funkcja określona w postaci wzoru matematycznego
2. Funkcja zadana tabelaryczne
( )
x
f
y
=
y
n
…
y
i
…
y
2
y
1
x
n
…
x
i
…
x
2
x
1
W praktyce liczby w tabeli są często wynikami pomiarów.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej w postaci wzoru
Funkcja określona w postaci wzoru matematycznego
Wykres rysuje się zazwyczaj w postaci łamanej. Kolejne punkty
oblicza się ze wzoru
y = f(x)
. Dobór liczby segmentów łamanej
zależy od kształtu funkcji.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
10 segmentów
200 segmentów
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej określona
tabelarycznie
Używa się różnych form graficznych prezentacji danych
.
Wykres słupkowy
(bar graph)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Wykres punktowy
(point graph)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
5
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej określona
tabelarycznie
Wykres łodygowy
(stem graph)
Wykres schodkowy
(stairs graph)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej określona
tabelarycznie
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Wykres liniowy (line graph)
Problem: Jak prowadzić linię wykresu, gdy punktów
(x
i
, y
i
)
jest
stosunkowo niewiele?
Rozwiązanie: Przybliżyć dane
(x
i,
y
i
)
funkcją
f(x)
i narysować
wykres jako łamaną.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – interpolacja
Interpolacja, aproksymacja, ekstrapolacja
1. Interpolacja
x
y
(
x
i
, y
i
)
Obszar rozważań
Poszukuje się funkcji (najczęściej wielomianu), przechodzącej
przez
n
zadanych punktów (
x
i
, y
i
), zwanych węzłami. Celem
interpolacji jest określenie przebiegu funkcji pomiędzy węzłami.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – interpolacja
Interpolacja - zastosowania
Interpolacja – metody matematyczne
•
upraszczanie postaci skomplikowanych danych przez opisywanie
ich zmienności przy pomocy stosunkowo prostych wzorów,
•
uzupełnianie brakującej informacji dotyczącej badanego
zjawiska w obszarach pomiędzy punktami pochodzącymi
z pomiaru,
•
interpolacja wielomianowa,
•
interpolacja funkcjami sklejanymi (spline),
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
6
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
2. Aproksymacja
W zadanej klasie funkcji, poszukuje się takiej, która najlepiej
(w sensie zadanego kryterium) przybliża punkty (
x
i
, y
i
). Celem
aproksymacji jest określenie przebiegu funkcji pomiędzy tymi
punktami i poza nimi .
Obszar rozważań
x
y
(
x
i
, y
i
)
Funkcja jednej zmiennej – aproksymacja
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – aproksymacja
Aproksymacja - zastosowania
Aproksymacja – metody matematyczne
•
upraszczanie postaci skomplikowanych danych,
•
generalizacja związków pomiędzy danymi,
•
modelowanie i identyfikacja obiektów,
•
upraszczanie skomplikowanych problemów obliczeniowych.
•
regresja liniowa i nieliniowa (jedno i wielowymiarowa),
•
aproksymacja wielomianami i funkcjami wymiernymi.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – ekstrapolacja
3. Ekstrapolacja
Poszukuje się funkcji, przybliżającej
n
zadanych punktów
(
x
i
, y
i
). Celem ekstrapolacji jest określenie przebiegu funkcji
poza zakresem wyznaczonym przez dane.
x
y
(
x
i
, y
i
)
Obszary rozważań
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – ekstrapolacja
Ekstrapolacja - zastosowania
Ekstrapolacja – metody matematyczne
•
prognozowanie, analiza trendów, predykcja czasowa,
•
uzupełnianie brakujących danych.
•
ekstrapolacja wielomianowa,
•
ekstrapolacja z wykorzystaniem funkcji sklejanych,
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
7
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – skalowanie osi
wykresu
Problem zakresu zmienności argumentu i wartości funkcji
0
)
(
0
1
>
=
Γ
=
∫
∞
−
−
x
ds
e
s
x
y
s
x
Przykład:
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
0
2
4
6
8
10
12
14
x 10
16
oś y została wyskalowana liniowo
Funkcja gamma Eulera
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – skalowanie osi
wykresu
0
)
(
0
1
>
=
Γ
=
∫
∞
−
−
x
ds
e
s
x
y
s
x
oś
y
została wyskalowana
logarytmicznie
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
10
-2
10
0
10
2
10
4
10
6
10
8
10
10
10
12
10
14
10
16
10
18
Bardziej czytelny wykres można uzyskać wprowadzając
nieliniowe skalowanie osi
y
.
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja jednej zmiennej – skalowanie osi
wykresu
Czasem nieliniowe skalowanie osi wprowadza się z innych
powodów.
charakterystyka amplitudowa wzmacniacza audio
[ ]
dB
U
U
0
log
20
10
20
2
3
1
0
0
0
0
=
→
=
→
=
→
U
U
dB
U
U
dB
U
U
dB
261.63 Hz
27.5 Hz
4168 Hz
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - zapis
Zapis matematyczny funkcji dwóch zmiennych
Postać uwikłana
Postać parametryczna
Postać tabelaryczna
D
y
x
y
x
f
z
∈
=
)
,
(
)
,
(
)
,
(
1
,
0
)
,
(
)
,
(
v
u
f
z
v
u
v
u
f
y
v
u
f
x
z
y
x
=
≤
≤
=
=
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
8
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie
Różne formy prezentacji graficznej funkcji dwóch zmiennych
Siatka wieloboków (mesh)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie
Siatka wieloboków kolorowana (wypełnienie jednotonowe)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie
Siatka oświetlona
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie
Mapa konturowa
5
10
15
20
25
30
35
40
5
10
15
20
25
30
35
40
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
9
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie
Pole wektorowe (quiver)
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Funkcja dwóch zmiennych - przedstawienie
Wykres plasterkowy (slice)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Inne wykresy stosowane w elektronice
Wykresy wskazowe - idea
Wektor wiruje wokół środka
układu współrzędnych
z prędkością
ω
(stan w chwili
t = 0
)
)
sin(
)
(
0
ϕ
ω
+
⋅
=
t
U
t
s
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-1
-0.5
0
0.5
1
T = 1/
ω
U
0
φ
U
0
φ
ω
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Inne wykresy stosowane w elektronice
Wykresy wskazowe – przykład zastosowania (telewizja DVB-S)
sygnał
U
0
cos(
Ωt)
- fala nośna
koder
modulator
QPSK
0
…
0
1
…
1
antena
obraz
i dźwięk
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
((((
))))
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
+
+
+
+
=
=
=
=
1
,
1
x
,
x
dla
4
7
t
cos
U
1
,
0
x
,
x
dla
4
5
t
cos
U
0
,
0
x
,
x
dla
4
3
t
cos
U
0
,
1
x
,
x
dla
4
t
cos
U
2
1
0
2
1
0
2
1
0
2
1
0
QPSK
π
π
π
π
Ω
Ω
Ω
Ω
π
π
π
π
Ω
Ω
Ω
Ω
π
π
π
π
Ω
Ω
Ω
Ω
π
π
π
π
Ω
Ω
Ω
Ω
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Zasada działania modulatora:
1. Kolejne bity sygnału na wyjściu kodera łączone są w pary.
2. Sygnał na wyjściu modulatora formowany jest według zasady:
strumień bitów
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
10
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Inne wykresy stosowane w elektronice
Wynik modulacji dla poszczególnych par bitów wygląda tak:
0
1
2
3
4
5
6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0
1
2
3
4
5
6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
(1,0)
(0,0)
(0,1
)
(1,1)
Q
(0,0)
(1,0)
(0,1)
(1,1)
Q
(1,0)
zakłócenie
sygnał bez zakłóceń
sygnał zmieniony przez zakłócenie
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Inne wykresy stosowane w elektronice
Wykres przedstawiający odebrany sygnał może wyglądać tak:
Konstelacja – wykres pokazujący wpływ zakłóceń w kanale transmisyjnym
sygnał bez zakłóceń
(1,0)
(0,0)
(0,1)
(1,1)
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Inne wykresy stosowane w elektronice
Wykresy we współrzędnych biegunowych
Przykład:
π
φ
φ
2
0
)
(
≤
≤
= R
R
π
φ
φ
2
0
)
2
(cos
)
3
(sin
)
(
≤
≤
⋅
⋅
⋅
=
t
t
R
0.25
0.5
0.75
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180
0
R
φ
Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska
Inne wykresy stosowane w elektronice
Wykresy we współrzędnych biegunowych - przykłady
charakterystyka kierunkowa
mikrofonu
charakterystyka kierunkowa
anteny