GRAFIKA INŻYNIERSKA

dr inż. Rafał Podsiadło

 

 

Plan przedmiotu

•

Podstawowe wiadomości o graficznym zapisie konstrukcji

•

Rodzaje rzutowania

•

Rzut prostokątny na rzutnie wzajemnie prostopadłe

•

Rzuty punktu, prostej, płaszczyzny

•

Obroty podstawowych figur geometrycznych

•

Kłady

•

Wielościany w rzucie prostokątnym

•

Rzuty brył obrotowych

•

Normalny układ rzutów prostokątnych

•

Dimetria ukośna

•

Izometria

•

Podstawowe zasady rysunku technicznego

•

Szczegółowe zasady rysunku technicznego elektrycznego

•

Aplikacje komputerowe wspomagające projektowanie komputerowe

 

 

Literatura

• Z. Bajkowski Podstawy zapisu konstrukcji. OW PW 2005
• M. Suseł, K Makowski Grafika inżynierska z zastosowaniem 

programu AutoCad OW PWr 2005

• T. Dobrzański Rysunek techniczny maszynowy. WNT 2004
• A. Pikoń Autocad 2005 – pierwsze kroki. Wyd. Helion Gliwice 

2004

• K. Paprocki Zasady zapisu konstrukcji. OW PW 2000
• W.  Lewandowski Geometria wykreślna. PWN 1975 i nowsze
• K. Michel, T. Sapiński Rysunek techniczny elektryczny. WNT 

Warszawa 1987

• Rysunek techniczny elektryczny. Zbiór Polskich Norm. Wyd. 

Normalizacyjne „Alfa” 1986

•  Poradnik inżyniera elektryka, t. I. WNT Warszawa 1996

 

 

Rodzaj i zastosowanie zapisu 

graficznego

• Działania techniczne można określić jako proces uzyskiwania 

i przekazywania informacji.

NADAWCA > INFORMACJA > ODBIORCA

PROJEKTANT, KONSTRUKTOR > ZAPIS KONSTRUKCJI > 

WYKONAWCA

Szczegółowy łańcuch działań technicznych:
• projektowanie – konstruowanie (uzyskiwanie obiektow 

nierzeczywistych – utworów),

• graficzny zapis konstrukcji
• wytwarzanie (uzyskanie obiektów rzeczywistych – 

wytworów),

• eksploatacja (użytkowanie obiektów rzeczywistych – 

zaspokajanie potrzeb).

 

 

 

Rodzaj i zastosowanie zapisu 

graficznego

Zapis graficzny realizujemy przez:



Rysunki projektowe – stanowią zapis 

graficzny koncepcji obiektu (całości lub tylko 

jego części) mogą występować w kilku 

wersjach.



Rysunki konstrukcyjne – szczegółowy zapis 

graficzny konstrukcji stanowi podstawę do 

procesu wytworzenia obiektu.



Rysunek poglądowy – zawiera wstępne 

informacje dla potencjalnych użytkowników 

wytworu dla potrzeb eksploatacji

 

 

Rodzaj i zastosowanie zapisu 

graficznego

• Rysunek złożeniowy – zapis geometrycznej 

postaci konstrukcyjnej całego układu, 

umożliwiający jednoznaczną identyfikację 

wzajemnej zależności między elementami 

układu i ich współpracy. W przypadku układów 

bardziej złożonych wykonuje się dodatkowo 

rysunki złożeniowe podzespołów wchodzących 

w skład układu. Na rysunkach złożeniowych 

często umieszcza się uwagi odnośnie montażu i 

regulacji układu lub podzespołu.

• Rysunki elementów – rysunki konstrukcyjne 

kolejnych elementów podzespołu i układu.

 

 

Rodzaj i zastosowanie zapisu 

graficznego

Zapis graficzny konstrukcji powinien być zgodny z 

zasadą jednoznaczności i zasadą zupełności.

 Zasada jednoznaczności – każdy graficzny zapis 

konstrukcji powinien być wykonany za pomocą 

jednoznacznych znaków i symboli, Przy wykonywaniu 

rysunku należy unikać nadmiarowości podawanych 

informacji, gdyż może to być przyczyną sprzeczności i 

błędów. 

 Zasada zupełności – graficzny zapis konstrukcji 

powinien być zupełny ze względu na swoje 

przeznaczenie, czyli powinien zawierać wszystkie 

konieczne i wystarczające informacje.

 

 

Rodzaj i zastosowanie zapisu 

graficznego

Dla ujednolicenia zasad i przepisów w różnych 

branżach technicznych stworzono przepisy i normy 

krajowe oraz międzynarodowe, obowiązujące w 

różnych krajach, maja one za zadanie ułatwić 

współpracę.

 Normalizacja – obejmuje ustalenie wymiarów, kształtów 

i rodzaju zastosowanego materiału (tworzywa) i 

odbioru technicznego wytwarzanych obiektow,

 Unifikacja – wprowadzenie zastosowania w wielu 

konstrukcjach jednakowych elementów (części) czy 

zespołów, przedstawionych najczęściej w formie 

zaleceń niż obowiązku realizowania.
Normalizacja i unifikacja prowadzi do zmniejszenia 

kosztów wytwarzania (produkcji) maszyn i urządzeń.

 

 

Rodzaj i zastosowanie zapisu 

graficznego

Rozwój sprzętu i oprogramowania 
komputerowego oraz wymagania 
odnośnie szybkości tworzenia 
konstrukcji przyczynił się do stworzenia 
nowej dziedziny,
Komputerowe Wspomaganie 
Projektowania z ang. znana jako CAD 
(Computer Aided Design). 

 

 

GEOMETRIA WYKREŚLANA

WIADOMOŚĆI OGÓLNE

WYBRANE ZAGADNIENIA

 

 

GEOMETRIA WYKREŚLANA

WIADOMOŚĆI OGÓLNE

• Geometria wykreślna jest to nauka 

o metodach odwzorowania 
utworów przestrzeni 
trójwymiarowej na 
dwuwymiarowej płaszczyźnie 
rysunku.

• Elementami utworów przestrzeni 

są punkty, proste i płaszczyzny,

 

 

GEOMETRIA WYKREŚLANA

WIADOMOŚĆI OGÓLNE

  

Oznaczenia:

A, B, C, 1,2, 3 , I, II, III – punkty
a, b, c – proste,
α, β, γ- płaszczyzny
Utwór przestrzeni odwzorowujemy 

na płaszczyźnie rysunku tzw. 
rzutni, rzutując go na tę rzutnię.

 

 

Rzutowanie

• Rzut – w geometrii odwzorowanie przestrzeni euklidesowej 

trójwymiarowej na daną powierzchnię, zwaną rzutnią, w ten 

sposób, że każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest punkt 

przecięcia się prostej, przechodzącej przez dany punkt, z 

rzutnią.

• W zależności od sposobu prowadzenia prostych rzutujących 

wyróżnia się rzuty:

• rzut równoległy - wszystkie proste rzutujące są równoległe do 

obranego kierunku 

– prostokątny - kierunek rzutowania jest prostopadły do 

rzutni 

– ukośny - kierunek rzutowania nie jest prostopadły do rzutni 
– aksonometria - dostosowanie kierunku rzutowania i 

orientacji rzutni do kształtu rzutowanego obiektu 

• rzut środkowy (perspektywa) - wszystkie proste przechodzą 

przez pewnien punkt zwany środkiem rzutu 

• Rzutnia jest najczęściej płaszczyzną, choć stosuje się również 

rzuty na powierzchnię kuli, walca, stożka i inne.

 

 

GEOMETRIA WYKREŚLANA

WIADOMOŚĆI OGÓLNE

Istnieją różne rodzaje rzutowania m.in :
 rzut środkowy

A

A’

S

C=C
’

B

B’

a

b

c

π

Przyjmujemy środek 
rzutowania punkt S oraz 
rzutnię π nie przechodzącą 
przez S. Punkty rzutujemy na 
rzutni ę za pomocą wiązki 
prostych rzutujących o 
wierzchołku S.

 

 

GEOMETRIA WYKREŚLANA

WIADOMOŚĆI OGÓLNE

 rzut równoległy 

Rzutem równoległym 
punktu A na π nazywa 
się punkt A; w którym 
prosta a, przechodząca 
przez A i równoległa do k 
przebija π.

A

A’

C=C
’

B

B’

a

b

π

c

k

 

 

GEOMETRIA WYKREŚLANA

WIADOMOŚĆI OGÓLNE

 rzut równoległy 

• Rzutem równoległym 

prostej jest prosta lub 
punkt.

• Szczególnym przypadkiem 

rzutu równoległego jest 
rzut równoległy 
prostokątny (rzut 
prostokątny) 
charakteryzujący się 
prostopadłością 
rzutowania.

• Rzut prostokątny ma w 

technice znaczenie 
zasadnicze.

b’

b

π

k

a’

k

π

b’

 

 

Zasady rzutu równoległego

 

• Rzut równoległy na płaszczyznę – to odwzorowanie 

przestrzeni euklidesowej trójwymiarowej na daną płaszczyznę 

w ten sposób, że każdemu punktowi przestrzeni przypisany jest 

punkt przecięcia się prostej, równoległej do kierunku 

rzutowania, przechodzącej przez dany punkt, z płaszczyzną.

• Szczególne rodzaje rzutu równoległego to rzut prostokątny i 

aksonometria.

• Przyjmijmy dowolną płaszczyznę π zwaną rzutnią, prostą  k (nie 

leżącą w płaszczyźnie π i nierównoległą do niej) zwaną 

kierunkiem rzutowania oraz proste (równoległe do prostej k), 

zwane prostymi rzutującymi. Rzutem równoległym dowolnego 

punktu A na rzutnię   jest punkt A’ , w którym prosta rzutująca 

a przechodząca przez punkt A przebija rzutnię. Rzutem 

równoległym punktu  B leżącego na rzutni jest pokrywający się 

z nim punkt B’. Rzutami równoległymi punktów C i D leżących 

na wspólnej prostej rzutującej c są pokrywające się punkty C’ i  

D’.

 

 

Rzut równoległy punktu

 

 

 

Zasady rzutu równoległego

• Każdy punkt P przestrzeni ma więc tylko jeden swój 

rzut równoległy P' na rzutni π. Natomiast każdy punkt 

P' na rzutni może być rzutem dowolnego punktu P, 

leżącego na prostej rzutującej π przechodzącej przez 

punkt P'.

• Rzutem równoległym prostej jest prosta lub punkt, 

będące zbiorem rzutów równoległych punktów tej 

prostej. Jeśli prosta jest równoległa do rzutni — jej rzut 

jest równoległy do prostej, jeśli jest równoległa do 

prostej k — jej rzutem jest punkt.

• Rzutem równoległym figury jest figura lub odcinek, 

będące zbiorem rzutów równoległych wszystkich 

punktów tej figury. Jeśli figura jest równoległa do rzutni 

— jej rzutem jest taka sama figura.

 

 

Rzut równoległy prostej

 

 

Zasady rzutu równoległego

• Rzutem równoległym figury jest figura lub odcinek, 

będące zbiorem rzutów równoległych wszystkich 

punktów tej figury. Jeśli figura jest równoległa do 

rzutni — jej rzutem jest taka sama figura.

• Rzutem równoległym bryły jest figura. Nie można 

więc z takiego rzutu zorientować się o kształcie bryły 

(obie przedstawione bryły: graniastosłup i walec mają 

takie same rzuty - prostokąty).

• Jeśli kierunek rzutowania k jest prostopadły do rzutni 

p, uzyskany rzut nazywany rzutem równoległym 

prostokątnym lub krócej — rzutem prostokątnym. 

W dalszych rozważaniach będziemy posługiwać się 

rzutem prostokątnym.

 

 

Rzut równoległy figury

 

 

Rzut równoległy bryły

 

 

Zasady rzutu prostokątnego

• Przy rzutowaniu równoległym na jedną rzutnię 

nie można odtworzyć położenia rzutowanego 

elementu (punktu, prostej, figury) w 

przestrzeni, zaś w przypadku bryły — 

dodatkowo jej kształtu. Metodę rozwiązania 

tych zagadnień podał w XVIII w. G. Monge; 

metoda rzutu prostokątnego na rzutnie 

wzajemnie prostopadłe.

• Przyjmijmy dwie prostopadłe płaszczyzny — 

rzutnie: poziomą π

1

 i pionową π

2

. Rzutnie te 

przecinają się wzdłuż osi rzutów Y.

 

 

Gaspard Monge 1746 - 

1818

Francuski matematyk, fizyk, chemik, 
uważany za twórcę geometrii 
wykreślnej.
Monge w swym życiu pełnił wiele 
różnych funkcji. Od 1780 r. był 
członkiem Akademii Nauk w Paryżu. Był 
jednym z organizatorów École 
Polytechnique, ministrem marynarki, 
oficerem artylerii, baronem, 
pedagogiem, organizatorem przemysłu 
obronnego, działał w komisji ustalającej 
miary i wagi.
Napisał wiele prac z metalurgii, optyki, 
mechaniki, chemii. Był 
współredaktorem encyklopedii, 
autorem słownika filozoficznego. 
Interesował się możliwościami lotów w 
powietrzu. Jako matematyk zajmował 
się rachunkiem różniczkowym, 
całkowym i wariacyjnym.
W latach 1798 - 1799 uczestniczył w 
wyprawie Napoleona do Egiptu.

 

 

Zasady rzutu prostokątnego

 

• Układ rzutni wzajemnie prostopadłych 

jest przestrzenny i niewygodny do 
operowania, sprowadzimy więc obie 
rzutnie do płaszczyzny rysunku, 
obracając rzutnię p

1

 o kąt 90° dokoła osi 

Y aż do pokrycia się z rzutnią p

2

. Rzutnie 

przedstawione są teraz symbolicznie w 
postaci prostokątów, z których 
rysowania rezygnujemy, zaznaczając 
jedynie oś rzutów Y.

 

 

Płaski układ rzutni Monge'a

 

 

 

Zasady rzutu prostokątnego

 

• W uzasadnionych przypadkach 

wprowadzamy trzecią rzutnię: boczną π

3

, 

prostopadłą do rzutni π

1

 i π

2

 i przecinającą 

się z nimi wzdłuż osi X i Z (rys. d). Taki 

układ rzutni, sprowadzony do płaszczyzny 

rysunku (przez obrót rzutni π

1

 i π

3

 o kąt 

90° dokoła osi Y i Z do pokrycia się z 

rzutnią π

2

) przedstawiono na rys. e. 

Podobnie jak poprzednio, rezygnujemy z 

rysowania prostokątów, zaznaczając 

jedynie osie rzutów X, Y i Z (rys. f).

 

 

Przestrzenny układ rzutni 

Monge'a

 

 

 

Rzuty punktu

• Na rysunku przedstawiono sposób znajdowania rzutów 

prostokątnych dowolnego punktu przestrzeni na kolejne rzutnie.

• Przez prowadzenie przez punkt prostych rzutujących 

prostopadłych do odpowiednich rzutni znajduje się rzuty punktu: 

poziomy A', pionowy A’’, boczny A'".

 

 

Rzuty punktu

• W układzie płaskim rzuty dowolnego punktu leżą na 

prostych, prostopadłych do osi rzutów. Odległości rzutów 

punktu od osi rzutów są określone przez wysokość, 

głębokość i szerokość punktu.

• Wysokość punktu w jest to jego odległość od rzutni 

poziomej (równa odległości rzutów A" i A'" od osi rzutów). 

Punkty leżące na rzutni poziomej mają wysokość równą 

zeru.

• Głębokość punktu g jest to jego odległość od rzutni 

pionowej (równa odległości rzutów A' i A'" od osi rzutów). 

Punkty leżące na rzutni pionowej mają głębokość równą 

zeru.

• Szerokość punktu s jest to jego odległość od rzutni 

bocznej (równa odległości rzutów A' i A" od osi rzutów). 

Rzuty leżące na rzutni bocznej mają szerokość równą zeru.

• Położenie dowolnego punktu P przestrzeni można więc 

ściśle określić przez podanie jego współrzędnych: 

głębokości g, wysokości w i szerokości s:   

P(g, w, s).

 

 

Przykład

• Dane są rzuty: poziomy i pionowy punktu A. 

Wyznaczyć rzut boczny.

 

 

Przykład

• Dane są rzuty: poziomy i pionowy punktu A. Wyznaczyć rzut boczny.

• Rzut boczny wyznacza się przenosząc odpowiednie współrzędne 

punktu (liniami z oznaczonymi strzałkami).

• Na rysunku podano 3 różne sposoby przeniesienia współrzędnej g: 

promieniem (rys. a) oraz prostymi (rys. b i c). Przeniesienie 

promieniem jest najdokładniejsze, gdyż przeniesienie prostą przy 

niedokładnie odmierzonym kącie 45° wprowadza błędy.

 

 

Rzuty prostej

 

• W celu znalezienia rzutów dowolnej prostej m można 

zastosować dwie metody:

• a. Poprowadzenie przez prostą m dwóch płaszczyzn: a

1

 i 

b

2

. Krawędzie przecięcia tych płaszczyzn z rzutniami 

wyznaczają rzuty prostej: poziomy m' i pionowy m".

 

 

Rzuty prostej

• b.  Obranie na prostej m dwóch dowolnych punktów 

A i B, wyznaczenie ich rzutów poziomych i 

pionowych i wykreślenie przez nie rzutów prostej.

 

 

Rzuty prostej

 

• Za pomocą drugiej metody można łatwo wyznaczyć rzut 

boczny m'" prostej m, przez wyznaczenie rzutów bocznych 
A'" i B'" punktów A i B prostej m.

 

 

Rzuty prostej w szczególnych 

położeniach

•

a. Prosta m przebija rzutnie. Punkty przebicia są to: 

ślad poziomy H

m

 i ślad pionowy V

m

 prostej m. Ślady 

prostej mają swoje rzuty H

m

” i V'

m

, leżące na osi rzutów.

 

 

Rzuty prostej w szczególnych 

położeniach

• b.  Prosta m leży w płaszczyźnie aY.

 

 

Rzuty prostej w szczególnych 

położeniach 

• c.   Prosta   m π

1 

—   prosta pionowa.

 

 

Rzuty prostej w szczególnych 

położeniach 

• d.  Prosta m  π

2

 —   prosta celowa.

 

 

Rzuty prostej w szczególnych 

położeniach

• e.   Prosta m || π

1

    —   prosta pozioma. 

 

 

Rzuty prostej w szczególnych 

położeniach

• f.   Prosta m || p

2

    —   prosta czołowa.

 

 

Rzuty prostej w szczególnych 

położeniach

• g.  Prosta m || Y 

 

 

Rzuty prostej w szczególnych 

położeniach

Prosta m leży na rzutni 

1

Prosta m leży na rzutni 



Prosta m przecina oś 
rzutów

 

 

Przykład

• Dane są rzuty poziomy i pionowy prostej a. 

Znaleźć rzut boczny prostej.

 

 

Przykład

• Dane są rzuty poziomy i pionowy prostej a. Znaleźć rzut boczny prostej.
• Znajdujemy rzuty śladu poziomego H

a

”  i pionowego V

a

’ na osi Y oraz 

ślady H

a

 i V

a

, a następnie ich rzuty boczne: H

a

’’’ i V

a

’’’ i rzut boczny a'" 

prostej.

 

 

PŁASZCZYZNA 

• Położenie płaszczyzny w przestrzeni 

najwygodniej jest określić za 

pomocą krawędzi jej przecięcia z 

rzutniami, czyli śladów 

płaszczyzny. Na poniższych 

rysunkach przedstawiono różne 

przypadki położenia płaszczyzny 

oraz rzuty dowolnego punktu 

leżącego na płaszczyźnie.

 

 

Płaszczyzna 

α

 położona dowolnie — przecina 

kolejne rzutnie wzdłuż śladów: poziomego h

a

, 

pionowego v

a

 

i bocznego k

a

 

 

Płaszczyzna 

α

  π

1

 — poziomo 

rzutująca

 

 

 

Płaszczyzna 

α

  π

2

 — pionowo 

rzutująca

 

 

Płaszczyzna 

α

 || π

1

 — płaszczyzna 

pozioma

 

 

 

Płaszczyzna α || π

2

 — płaszczyzna 

czołowa

 

 

Płaszczyzna α || Y

 

 

Jeśli prosta l leży na płaszczyźnie 

α

, to w ogólnym 

przypadku jej ślad poziomy H

l

 leży na śladzie 

poziomym h

a

 płaszczyzny, zaś ślad pionowy V

l

 leży 

na śladzie pionowym v

a

 płaszczyzny

 

 

Prosta pozioma: jej rzut poziomy jest 

równoległy do śladu poziomego płaszczyzny, zaś 

rzut pionowy - równoległy do osi rzutów

 

 

Prosta czołowa: rzut pionowy jest 

równoległy do śladu pionowego 

płaszczyzny, zaś rzut poziomy - 

równoległy do osi rzutów

 

 

Przykład 1: Dany jest 

rzut pionowy

 

l" prostej 

l leżącej na danej 
płaszczyźnie α. 
Znaleźć rzut poziomy l' 
prostej. 

 

 

Przykład 1: Dany jest rzut 

pionowy

 

l" prostej l leżącej 

na danej płaszczyźnie a. 
Znaleźć rzut poziomy l' 
prostej. Znajdujemy ślad 
pionowy V

l

 prostej (na 

śladzie v

a

 oraz rzut 

pionowy H

l

" jej śladu 

poziomego (na osi rzutów). 
Prowadząc proste 
odnoszące znajdujemy 
punkty H

l

 (na śladzie h

a

) i 

V

l

 (na osi rzutów), 

wyznaczające rzut poziomy 
l' prostej.

 

 

Przykład 2. Dane są 
rzuty prostej l. 
Poprowadzić przez 
prostą l:
- płaszczyznę dowolną 
α,
- płaszczyznę poziomo-
rzutującą b,
- płaszczyznę pionowo-
rzutującą g.

Po wyznaczeniu 
punktów H

l

" i V

l

’ 

znajdujemy ślady: 
poziomy H

l

 i pionowy 

V

l

 prostej l, przez które 

rysujemy zadane ślady 
płaszczyzn.

 

 

PUNKT I PŁASZCZYZNA

• Jeśli punkt leży na płaszczyźnie, to leży na prostej 

leżącej na tej płaszczyźnie.

• Przykład 1. Dana jest płaszczyzna a i rzut 

poziomy A' punktu A leżącego na tej płaszczyźnie. 
Znaleźć rzut pionowy A" punktu.

 

 

Wyznaczanie drugiego rzutu 

punktu

 

•Zadanie rozwiązuje się przez wprowadzenie prostej leżącej na 
płaszczyźnie α i przechodzącej przez punkt A. Może to być prosta 
dowolna l (rys. a), prosta pozioma m (rys. b) lub prosta czołowa n (rys. 
c).

 

 

Przykład 2. Dany jest rzut poziomy 

A'B'C'  trójkąta ABC leżącego na danej 

płaszczyźnie a. Znaleźć rzut pionowy 

trójkąta.

 

 

• a.   Przez wierzchołki B i C 

trójkąta prowadzimy prostą a 
(rys. a), której rzut poziomy a' 
przechodzi przez punkty B' i 
C’. Znajdujemy rzut pionowy 
a" prostej, a na nim rzuty B" i 
C" wierzchołków trójkąta. 
Podobnie przez wierzchołki A 
i B, trójkąta prowadzimy 
prostą c, której rzut poziomy 
c'  przechodzi przez punkty A' 
 i B'. Znajdujemy rzut pionowy 
c" prostej (przechodzący 
przez uprzednio znaleziony 
punkt B"), a na nim rzut A" 
wierzchołka trójkąta.

Zadanie rozwiążemy dwiema metodami:

 

 

• b.  Przez wierzchołki 

trójkąta prowadzimy 
kolejno proste 
czołowe l, m, n (rys. 
b) i na ich rzutach 
pionowych l", m", 
n", znajdujemy 
punkty A", B", C".

• Zadanie można 

rozwiązać również 
przez zastosowanie 
prostych poziomych.

 

 

KRAWĘDŹ PRZECIĘCIA 

PŁASZCZYZN

• Krawędź przecięcia płaszczyzn jest 

to prosta, wzdłuż której przecinają 
się te płaszczyzny. Na poniższych 
rysunkach przedstawiono różne 
przypadki przecinania się płaszczyzn 

 

 

Płaszczyzny  i  dowolne

 

 

 

Płaszczyzna  poziomo rzutująca, płaszczyzna  

dowolna

 

 

 

Płaszczyzna  pozioma, płaszczyzna  

dowolna

 

 

 

Ślady poziome płaszczyzn  i  

równoległe

 

 

 

Płaszczyzny  i  poziomo rzutujące

 

 

 

RÓWNOLEGŁOŚĆ I 

PROSTOPADŁOŚĆ PŁASZCZYZN

• Płaszczyzny równoległe mają 

odpowiednio równoległe swoje ślady 
poziome i pionowe.

• Dwie płaszczyzny są prostopadłe, jeśli 

na jednej z nich leży prosta prostopadła 
do drugiej płaszczyzny. Prostopadłość 
prostej i płaszczyzny jest zachowana 
wówczas, gdy odpowiednie rzuty prostej 
i ślady płaszczyzny są prostopadłe. 

 

 

Płaszczyzny równoległe

 

 

Prostopadłość prostej i płaszczyzny  

(odpowiednie rzuty prostej i ślady 

płaszczyzny prostopadłe)

 

 

I konstrukcja płaszczyzn prostopadłych

• Obieramy na 

płaszczyźnie   

dowolną 
pomocniczą prostą 
a.

• Każda płaszczyzna   

 prostopadła do 

prostej  a  (h





 a',   

v



  a") jest 

prostopadła do 
płaszczyzny 



.

 

 

II konstrukcja płaszczyzn 

prostopadłych

• Obieramy jako prostą 

pomocniczą na 

płaszczyźnie  ślad 

poziomy h



 . 

• Płaszczyzna  

prostopadła do 

płaszczyzny 



 ma ślad 

poziomy h





 h



 i 

pionowy v



  Y (gdyż ślad 

pionowy prostej 

pomocniczej h



” pokrywa 

się z osią rzutów). 

 

 

III konstrukcja płaszczyzn 

prostopadłych

• Obieramy jako 

prostą pomocniczą 

na płaszczyźnie  

ślad pionowy v



 

(rys. e). Płaszczyzna 

 prostopadła do 

płaszczyzny  ma 

ślad pionowy v



  v



 

i poziomy h



  Y 

(gdyż v



’ pokrywa 

się z osią rzutów). 

 

 

OBRÓT PUNKTU 

• Punkt A przy obrocie dokoła prostej l (oś obrotu) zatacza 

w płaszczyźnie  (płaszczyzna obrotu), prostopadłej do 

osi obrotu okrąg o promieniu r (promień obrotu) i środku 

S (środek obrotu). Po obrocie o kąt  (kąt obrotu) punkt 

A zajmuje nowe położenie A

1

 

 

 

OBRÓT PROSTEJ I 

FIGURY 

• Przy obrocie prostej (figury) 

dokonujemy obrotu dokoła osi 
obrotu o takie same kąty obrotu 
tylu punktów prostej (figury), by 
ich nowe położenia określały tę 
prostą (figurę).

 

 

Przykład: obrót odcinka

• Dane są rzuty: poziomy i 

pionowy odcinka AB. 

Wyznaczyć długość odcinka.

• Obrócimy odcinek AB do 

położenia równoległego do 

rzutni pionowej, wówczas 

długość jego rzutu pionowego 

będzie równa długości odcinka.

• Obracamy odcinek względem 

osi l  





 przechodzącej przez 

punkt A o kąt , by rzut 

poziomy A'B' był równoległy do 

osi rzutów.

• Przy obrocie odcinka dokoła 

prostej pionowej nie ulegną 

zmianie:

—   wysokości końców odcinka,
—   długość rzutu poziomego 

odcinka.

• Podobnie można wyznaczyć 

długość odcinka AB przez jego 

obrót dokoła prostej celowej 

(l  





). Nie ulegają wówczas 

zmianie głębokości końców 

odcinka oraz długość jego 

rzutu pionowego. 

 

 

Przykład 2. Dane są rzuty trójkąta ABC. Wyznaczyć 

wielkość trójkąta.

• Obracamy trójkąt 

do położenia 
równoległego do 
rzutni poziomej 
wokół osi obrotu l 
przechodzącej 
przez wierzchołek 
A i znajdujemy 
punkty B

1

’ i C

1

’.

 

 

KŁAD

• Kładem 

płaszczyzny  na 

rzutnię  

nazywamy obrót 

płaszczyzny   

dokoła krawędzi 

l ich przecięcia 

się o taki kąt, 

aby płaszczyzna 

 pokryła się z 

rzutnią. Leżące 

na płaszczyźnie  

punkty 

(A, B, C), odcinki 

(a, b, c) 

i figura (



ABC) 

będą miały na 

rzutni swoje 

odpowiednie 

kłady 

(



A°, B°, C° ; a°, 

b° , c° ; 



A°B°C°).

Kład jest stosowany do wyznaczenia długości 
odcinków lub kształtu figur, które leżą w 
płaszczyźnie nachylonej do rzutni.

 

 

KŁAD PŁASZCZYZNY RZUTUJĄCEJ 

(1)

• Przy kładzie płaszczyzny  na rzutnię poziomą dokonujemy obrotu 

płaszczyzny dokoła śladu poziomego  h



 . Punkt A  płaszczyzny zatacza łuk o 

środku S (leżącym na śladzie h



 i pokrywającym się z rzutem poziomym A' 

punktu A) oraz promieniu równym wysokości w punktu A. Kładem śladu 

pionowego v



  jest v



°, prostopadły do śladu h



. Konstrukcja kładu punktu A 

jest więc następująca:

• -   wykreślenie przez rzut A' prostej prostopadłej do śladu h



,

• -   odmierzenie na prostopadłej od rzutu A' wysokości punktu A.

 

 

KŁAD PŁASZCZYZNY RZUTUJĄCEJ 

(2)

• Przy kładzie płaszczyzny  na rzutnię pionową dokonujemy obrotu płaszczyzny dokoła 

śladu pionowego  v



 . Punkt A  płaszczyzny zatacza łuk o środku S (leżącym na śladzie v



 i 

określonym wysokością punktu A) oraz promieniu równym odległości punktu A  od śladu 

v



. Kładem śladu poziomego h



 jest h



°, pokrywający się z osią rzutów. Konstrukcja kładu 

punktu A jest więc następująca:

-     wykreślenie przez punkt A" prostej prostopadłej do śladu v



 (równoległej do osi rzutów), 

-     odmierzenie na prostopadłej od punktu S odległości punktu A od śladu v



. Podobnie  

postępuje  się przy  wyznaczaniu kładu płaszczyzny pionowo rzutującej na rzutnię.

 

 

Przykład. Dane są rzuty trójkąta ABC leżącego w 

płaszczyźnie pionowo rzutującej α. Wyznaczyć 

wielkość trójkąta.

• Zadanie rozwiązano dokonując kładu płaszczyzny α na rzutnię pionową 

(rys. a) dokoła śladu v



 oraz kładu płaszczyzny 



 na rzutnię poziomą 

(rys. b) dokoła śladu h



.

 

 

Kład śladu płaszczyzny

•

Sposób znajdowania 

kładu v



° śladu v



 

płaszczyzny na rzutnię 

poziomą:

—   obieramy na śladzie v



 

dowolny punkt P i 

prowadzimy przez niego 

płaszczyznę  prostopadłą 

do płaszczyzny  

(poziomo rzutującą),

—   przy obrocie płaszczyzny 

 dokoła h



 punkt P 

zatacza łuk o promieniu r 

= SP. Przecięcie tego łuku 

ze śladem h



 wyznacza 

położenie kładu P ° 

punktu P, a tym samym - 

położenie kładu v



°.

•

Trójkąty prostokątne Y



SP 

i Y



SP° są takie same, 

zatem ich 

przeciwprostokątne Y



P i 

Y



P° są równe. Przy 

wyznaczaniu położenia 

prostej v



° można więc 

operować promieniem 

R = Y



P.

•

Podobnie wyznacza się 

położenie kładu h



°  śladu 

h



  płaszczyzny przez 

prowadzenie przez 

obrany punkt na śladzie 

h



 płaszczyzny pionowo 

rzutującej (rys b). 

 

 

Kład prostej i punktu płaszczyzny

•

Dana jest płaszczyzna  i leżący na niej punkt A. Należy znaleźć kład tego punktu na rzutni 

poziomej.

•

Przez punkt A   kreślimy prostą poziomą p  leżącą na płaszczyźnie   , wyznaczając jej ślad V

p

   na 

śladzie v



. Metodą przedstawioną wyżej znajdujemy położenie kładów V

p

° i v



. Kładem prostej p jest 

prosta p°, przechodząca przez punkt V

p

° i równoległa do h



.

•

Przez punkt A prowadzimy płaszczyznę 

 prostopadłą do płaszczyzny  (poziomo rzutującą). Kład 

A° punktu A znajduje się na przecięciu prostych p° i h



•

Opisaną metodą można znajdować kłady punktów dowolnej płaszczyzny, stosując różne proste.

 

 

Przykład

•

Dane są rzuty punktu A leżącego na płaszczyźnie . Znaleźć kład punktu A na rzutnię poziomą.

•

a.   Przez punkt A prowadzimy dowolną prostą a płaszczyzny  (rys. a) i wyznaczamy kład V



° 

śladu V

a

 oraz kład v



° śladu v



. Kładem prostej a jest prosta a °, na której znajdujemy kład A° 

punktu A.

•

b.  Przez punkt A prowadzimy prostą poziomą p płaszczyzny  (rys. b) i wyznaczamy kład V

p

° 

śladu V

p

 oraz kład v



°   śladu v



. Kładem prostej p (p' || h



) jest prosta p° || h



, na której 

znajdujemy kład A° punktu A.

•

c. Przez punkt A prowadzimy prostą czołową c płaszczyzny  (

rys

. c). Obierając na śladzie v



 

dowolny punkt P wyznaczamy jego kład P° oraz kład v



° śladu v



. Kładem prostej c (c" || v



) jest 

prosta c° || v



 °, na której znajdujemy kład A ° punktu A.

•

Z przedstawionych sposobów rozwiązania zadania przypadki b) i c) są w praktyce prostsze.

 

 

KĄT NACHYLENIA PŁASZCZYZNY DO 

RZUTNI

•

Jeśli płaszczyzna jest rzutująca (prostopadła do rzutni), kąt jej nachylenia do drugiej rzutni jest równy 

kątowi między osią rzutów i odpowiednim śladem płaszczyzny (kąty  i  na rysunkach poniżej). 

 

 

KĄT NACHYLENIA PŁASZCZYZNY DO 

RZUTNI (2)

 

 

Sposób znalezienia kąta nachylenia 

dowolnej płaszczyzny do rzutni

•

Przez dowolny punkt A 

płaszczyzny  prowadzimy 

prostą poziomą p oraz 

płaszczyznę poziomo rzutującą  

 . Kąt  między płaszczyzną  

i rzutnią 



1

 jest to kąt między 

krawędzią przecięcia płaszczyzn 

k i jej rzutem k'. Dokonujemy 

kładu krawędzi k na rzutnię 

poziomą przez obrót płaszczyzny 

 wokół śladu h



. Kąt ° między 

kładem k° i rzutem k' jest równy 

kątowi  nachylenia płaszczyzny 

 do rzutni poziomej.

•

Kąt  między płaszczyzną 

 i 

rzutnią poziomą. Kreślimy rzut 

poziomy p' dowolnej prostej 

poziomej p (p' || h



) i znajdujemy 

jej ślad V

p

   na śladzie v



. 

Kreślimy ślad h



 h



 i z punktu 

A' jego przecięcia z rzutem p' 

odkładamy na rzucie p'  

wysokość śladu  V

p

 , znajdując 

punkt A°, który wyznacza kład 

k° krawędzi przecięcia 

płaszczyzn  i  (  ) oraz kąt 

° równy kątowi między 

płaszczyzną  i rzutnią poziomą.