Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

1

Rzutowanie równoległe

i perspektywiczne

Wykład 2

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Plan wykładu

1. Układ współrzędnych, zasady rzutowania

2. Rzutowanie równoległe

3. Rzutowanie perspektywiczne

4. Ogólny przypadek rzutowania

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Układ współrzędnych, zasady rzutowania

x

y

z

rzutnia (ekran)

obserwator

Lewoskrętny układ współrzędnych i rzutnia:

y

x

z

oś

x

z

y

oś

z

y

x

oś

→

→

→

Jeśli patrzymy z dodatniego kierunku osi w stronę środka układu

współrzędnych, to obrót o 90° w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek
zegara, przekształci jedną dodatnią oś w drugą. Wartości współrzędnej z są
większe dla punktów leżących dalej od obserwatora.

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Układ współrzędnych, zasady rzutowania

Zadanie rzutowania:

Dane:

•

opis obiektu w układzie współrzędnych

xyz

.

•

płaszczyzna rzutowania (rzutnia

Π

Π

Π

Π

).

Jak uzyskać obraz obiektu na rzutni ?

Stosuje się zwykle jeden z dwóch sposobów rzutowania.

1. Rzutowanie równoległe

2. Rzutowanie perspektywiczne

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

2

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Układ współrzędnych, zasady rzutowania

x

y

z

rzutnia

obserwator

Π

Π

Π

Π

P

1

P

2

P

1

’

P

2

’

Rzutowanie równoległe

Punkty

P

1

i

P

2

zostały przeniesione na rzutnię, wzdłuż

prostych równoległych. Punkty przecięcia prostych rzutowania
z rzutnią są obrazami rzutowanych punktów.

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Układ współrzędnych, zasady rzutowania

x

y

z

rzutnia

obserwator

(środek projekcji)

P

1

P

2

P

1

’

P

2

’

Π

Π

Π

Π

Punkty

P

1

i

P

2

zostały przeniesione na rzutnię, wzdłuż

prostych przecinających się w jednym punkcie (środku projekcji).
Punkty przecięcia prostych rzutowania z rzutnią są obrazami
rzutowanych punktów.

Rzutowanie perspektywiczne

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie równolegle

Wyróżnia się zwykle dwa przypadki :

•

proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym
(rzut pionowy),

•

proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem innym niż kąt
prosty (rzut ukośny).

1. Rzut pionowy

Proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym.

Obiekt - sześcian jednostkowy

Rzutnia

Π

Π

Π

Π

- płaszczyzna (

x-y

)

Przykład:

x

y

z

(2,1,2)

(1,1,1)

(2,1,1)

(1,2,1)

(2,2,1)

(

1,2,2

)

(

2,2,2

)

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie równolegle

Jeśli proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem prostym,

to rzut obiektu wygląda następująco.

x

y

z

(2,1,2)

(1,1,1)

(2,1,1)

(1,2,1)

(2,2,1)

(

1,2,2

)

(

2,2,2

)

x

y

Jeśli rzutnią

Π

Π

Π

Π

jest płaszczyzna

(x-y),

to równania opisujące

związek między współrzędnymi rzutowanego punktu

(x, y, z)

a

współrzędnymi jego rzutu

(x

p

, y

p

, z

p

)

przyjmują postać:

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

3

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie równolegle

0

z

y

y

x

x

p

p

p

=

=

=

Własności obrazów wykonanych techniką rzutu pionowego:

•

rzuty odcinków równoległych do rzutni mają taką samą
długość jak te odcinki,

•

rzuty odcinków prostopadłych do rzutni są punktami.

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie równolegle

Zastosowanie rzutu pionowego - rysunek techniczny.

Definiując rzutnie jako płaszczyzny

(x-y), (x-z), (y-z)

, bądź

płaszczyzny do nich równoległe, można uzyskać

rzuty

z przodu, z boku, z góry itd.

Dla przykładu:

z

y

x

z

rzut z boku

rzut z góry

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie równolegle

(x

p

, y

p

)

(x, y, z )

x

y

z

Π

Π

Π

Π

α

Φ

(x, y)

L

2. Rzut ukośny

Proste rzutowania przecinają rzutnię pod kątem innym niż

kąt prosty.

Jak jednoznacznie zorientować proste rzutowania względem

rzutni ?

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie równolegle

Aby jednoznacznie zorientować prostą rzutowania względem

rzutni, prócz kąta

α

α

α

α

trzeba zadać dodatkowy parametr np. kąt

Φ

.

(x

p

, y

p

)

(x, y, z )

x

y

z

Π

Π

Π

Π

α

Φ

(x, y)

L

Z rysunku widać, że

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

sin

L

y

y

cos

L

x

x

p

p

+

=

+

=

podstawiając

1

L

1

L

z

tg

=

=

α

α

α

α

i dalej

1

L

z

L =

uzyskuje się równania

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

4

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie równolegle













+

=

+

=













+

=

+

=

α

α

α

α

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

α

α

α

α

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

Φ

tg

sin

z

y

)

sin

L

(

z

y

y

tg

cos

z

x

)

cos

L

(

z

x

x

1

p

1

p

Parametrami definiującymi rzut ukośny są wiec kąt

Φ

i odległość

lub para kątów

Φ

i

α

.

α

α

α

α

tg

/

1

L

1

=

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie równolegle

Dla przykładu sześcianu jednostkowego, można pokazać

interpretację parametrów rzutowania na utworzonym obrazie.

Π

Π

Π

Π

L

1

Φ

x

y

Powyższy rysunek wyjaśnia także metodę konstrukcji rysunkowej

rzutu ukośnego sześcianu.

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie równolegle

Przykład:

Wyprowadzone wcześniej równania pozwalają na wykonywanie

rzutów ukośnych dla dowolnych zestawów parametrów

L

1

i

Φ

.

W praktyce stosuje się jednak najczęściej pewne typowe zestawy

parametrów rzutowania.

Wykonane zostaną cztery rzuty ukośne sześcianu jednostkowego.

x

y

z

(2,1,2)

(1,1,1)

(2,1,1)

(1,2,1)

(2,2,1)

(

1,2,2

)

(

2,2,2

)

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie równolegle

o

1

45

,

1

tg

/

1

L

=

=

=

α

α

α

α

α

α

α

α

1.

(rzut kawaleryjski)

o

30

=

Φ

Φ

Φ

Φ

o

45

=

Φ

Φ

Φ

Φ

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

5

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie równolegle

o

1

63

,

2

/

1

tg

/

1

L

≈

=

=

α

α

α

α

α

α

α

α

2.

(rzut gabinetowy)

o

30

=

Φ

Φ

Φ

Φ

o

45

=

Φ

Φ

Φ

Φ

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie perspektywiczne

Jak na płaszczyźnie zobrazować obiekty trójwymiarowe, aby

obserwator patrzący na taki obraz odniósł wrażenie, że widzi
świat trójwymiarowy ?

Niektóre czynniki jakie należy uwzględnić przy próbie

osiągnięcia wrażenia „przestrzenności” na obrazie płaskim:

•

Geometria obrazu

- obiekty, które są w rzeczywistości dalej, wydają się mniejsze,

- linie, które są w rzeczywistości równoległe, wydają się zbieżne.

•

Wpływ oświetlenia sceny na to, co widzi obserwator

- oświetlenie powierzchni obiektów sceny,

- interakcje świetlne pomiędzy obiektami, cienie.

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie perspektywiczne

Przykład (miniatura średniowieczna):

La Somme le Roy (1290)
British Museum, London

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie perspektywiczne

Filip Brunelleschi (1377-1446) - architekt, rzeźbiarz

Baptysterium św. Jana

Kopuła katedry we Florencji

Filip Brunelleschi jest uważany za odkrywcę świadomie

stosowanej metody rzutu perspektywicznego. Narysował on obraz
perspektywiczny baptysterium św. Jana, posługując się systemem
dwóch zwierciadeł.

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

6

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie perspektywiczne

Paweł Uccello (1397-1475) - malarz

P. Uccello – Bitwa pod san Romano

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie perspektywiczne

Masaccio (1401-1428) - malarz

Masaccio – Grosz czynszowy

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie perspektywiczne

Rafael Santi (1483-1520) - malarz

Rafael – Szkoła ateńska

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie perspektywiczne

Urządzenie do wykonywania rzutów perspektywicznych:
Albrecht Dürer (1471- 1528)

Pouczenie o mierzeniu cyrklem i linią - 1525 r.

Przy pomocy trzech nici możesz przenieść na obraz każdą rzecz, którą [tymi nićmi] można dosięgnąć narysować na desce.

Czyń tedy tak: jeśli jesteś w sali, wbij w ścianę dużą szpilę z dużym uchami przyjmij, że to jest oko. Przez to [ucho]
przeciągnij mocną nić i zawieś u dołu na niej ołowiany ciężarek: Potem postaw stół lub deskę tak daleko jak zechcesz od ucha
szpili, w której jest nić. Ustaw na tym [stole] prostą [pionową] ramę poprzecznie do ucha szpili , wyżej lub niżej, w jaką
zechcesz stronę, a w tej ramie niech będą drzwiczki, które można by otwieraći zamykać. Przybij do nich dwie nici, które by
były tak długie jak pionowa rama jest szeroka i długa, u góry i pośrodku ramy i zostaw by tak wisiały. Potem zrób długi
metalowy sztyft, który na przedzie, na ostrzu miałby uch igielne; przewlecz przezeń długą nić, która przeciągnięta jest przez
ucho szpili w ścianie i przenieś igłę i długą nić przez ramę na zewnątrz. Daj ją komuś innemu do ręki i pilnuj dwóch innych
nici, które wiszą przy ramie.

A teraz używaj ich tak: połóż lutnię czy cokolwiek ci się podoba tak daleko od ramy, jak zechcesz byleby leżała bez zmiany

tak długo jak będziesz jej potrzebował. Każ teraz pomocnikowi naciągać igłę z nicią do najbardziej istotnych punktów lutni.
A ile razy zatrzyma się ona na którymś z tych punktów i napnie długą nić, naciągnij zawsze dwie nici przy ramie na krzyż, w
miejscu [gdzie przechodzi] długa nić, i przylepiaj je w obu miejscach woskiem do ramy, a do pomocnika wołaj by popuścił
długą nić. Wtedy zamykaj drzwiczki i wrysowuj na desce ten sam punkt w miejscu gdzie nici się krzyżują. Potem otwieraj
znów drzwiczki i czyń tak samo z innym punktem - aż wypunktujesz całą zupełnie lutnię na desce. Potem połącz liniami
wszystkie punkty lutni, które znajdują się na desce - wówczas zobaczysz, co z tego wyjdzie. Możesz w ten sposób odrysować
i inne rzeczy.

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

7

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie perspektywiczne

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie perspektywiczne

Jak wyrazić związek między współrzędnymi punktu

(x, y, z )

a współrzędnymi jego rzutu

( x

p

, y

p

)

przy pomocy równań ?

rama

drzwiczki

ucho

ciężarek

długa nić

krótkie

nici

(x, y, z)

(x

p

,y

p

)

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie perspektywiczne

x

y

z

d

środek projekcji

(x’, y’, z’)

(x, y, z )

(x

p

, y

p

, 0)

Zależność pomiędzy współrzędnymi punktu

(x, y, z )

a punktu

(x

’

, y

’

, z

’

)

opisuje układ równań parametrycznych:

u

)

d

z

(

z

z

1

u

0

yu

y

y

xu

x

x

+

−

=

′

≤

≤

−

=

′

−

=

′

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie perspektywiczne

Aby wyznaczyć współrzędne punktu rzutu

(x

p

, y

p

, 0 )

należy więc

obliczyć

u

, dla którego

0

u

)

d

z

(

z

z

=

+

−

=

′

Rozwiązaniem równania jest

d

z

z

u

+

=

Podstawiając obliczone

u

do układu równań parametrycznych

opisujących współrzędne punktu

(x’, y’, z’)

otrzymuje się

równania













+

=













+

=

d

z

d

y

y

d

z

d

x

x

p

p

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

8

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Rzutowanie perspektywiczne

Jak wyglądają obrazy perspektywiczne ?

Przykład:

x

y

z

(2,1,2)

(1,1,1)

(2,1,1)

(1,2,1)

(2,2,1)

(

1,2,2

)

(

2,2,2

)

d = 3

y

y

x

x

d = 20

d = 20

y

y

x

x

Gdy

d → ∞

rzut perspektywiczny staje się rzutem pionowym.

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Ogólny przypadek rzutowania

W poprzednich rozważaniach rzutnia leżała na płaszczyźnie

(x-y).

Co zrobić gdy rzutnia jest usytuowana inaczej ?
Jaki będzie w takim przypadku efekt rzutowania ?

Sformułowanie problemu:

1. Dany jest układ prostokątny współrzędnych zewnętrznych

(world coordinates) i opisany w tym układzie obiekt.

2. W układzie współrzędnych zewnętrznych opisany jest drugi

układ współrzędnych prostokątnych zwany układem
obserwatora (viewing coordinates).

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Ogólny przypadek rzutowania

x

w

z

w

y

w

x

v

y

v

z

v

obiekt

Model syntetycznej kamery:

x

w

, y

w

, z

w

– układ zewnętrzny

x

v

, y

v

, z

v

– układ obserwatora

Rozwiązanie:

1. Zapisać obiekt w układzie współrzędnych obserwatora

(przeliczyć współrzędne obiektu z układu

(x

w

, y

w

, z

w

)

na

układ

(x

v

, y

v

, z

v

).

2. Wykonać rzutowanie (np. perspektywiczne) na płaszczyznę

(x

v

- y

v

)

.

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Ogólny przypadek rzutowania

Aby wykonać krok 1 najlepiej jest określić

transformacje

złożoną (z transformacji elementarnych). Składanie transformacji
elementarnych

może

odbywać

się

według

następującej

procedury:

1. Przesunięcie środka układu obserwatora do środka

układu współrzędnych zewnętrznych.

2. Obrót przesuniętego układu obserwatora wokół osi

x

w

,

tak aby oś

z

v

znalazła się na płaszczyźnie

(x

v

-z

v

).

3. Obrót układu obserwatora wokół osi

y

v

, tak by oś

z

v

pokryła

się z osią

z

w

.

4. Obrót układu obserwatora wokół osi

z

w

, aby osie

x

v

i

y

v

pokryły się z osiami

x

w

i

y

w

.

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

9

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Ogólny przypadek rzutowania

Zastosowanie dla rzutu perspektywicznego:

Klasyfikacja rzutów perspektywicznych

Kryterium klasyfikacji - liczba osi układu współrzędnych

zewnętrznych

( x

w

, y

w

, z

w

)

, które przecinają rzutnię

( x

v

- y

v

).

x

w

obiekt

z

w

y

w

x

v

y

v

z

v

z

w

obiekt

x

w

y

w

x

v

y

v

z

v

jedna oś (

z

w

) przecina rzutnię

trzy osie przecinają rzutnię

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Ogólny przypadek rzutowania

Jak wyglądają obrazy perspektywiczne dla różnych położeń

rzutni ?

1. Perspektywa jednopunktowa (rzutnia

(x

v

- y

v

)

leży na

płaszczyźnie

(x

w

- y

w

)

).

Pozorny punkt

zbieżności

Na obrazie perspektywicznym proste, na których leżą obrazy

niektórych krawędzi sześcianu zbiegają się w jednym punkcie
(pozorny punkt zbieżności, vanishing point).

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Ogólny przypadek rzutowania

Canaletto (1735 - 45) - Plac św. Marka w Wenecji

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Ogólny przypadek rzutowania

2. Perspektywa dwupunktowa. Dwie osie układu współrzędnych

zewnętrznych

( x

w

, y

w

, z

w

)

przecinają rzutnię

( x

v

- y

v

)

P

1

P

2

Sześcian jednostkowy w perspektywie dwupunktowej

Na obrazie perspektywicznym sześcianu pojawiły się dwa

pozorne punkty zbieżności.

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

10

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Ogólny przypadek rzutowania

E. Hopper (1923) - The Mansard Roof

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Ogólny przypadek rzutowania

3. Perspektywa trójpunktowa. Trzy osie układu współrzędnych

zewnętrznych

( x

w

, y

w

, z

w

)

przecinają rzutnię

( x

v

- y

v

)

Sześcian jednostkowy w perspektywie trójpunktowej

Na obrazie perspektywicznym sześcianu można zaznaczyć trzy

pozorne punkty zbieżności.

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Ogólny przypadek rzutowania

G. O'Keefe (1926) - City Night

Jacek Jarnicki Politechnika Wrocławska

Ogólny przypadek rzutowania

Przykład:

Pietro Lorenzetti (1432) - Birth of Mary

Hans Memling (1490) - Flower still-life