Zad. 6

Szereg generujący dla ciągu

dany jest wzorem:

At =

23t5t

2

1−3tt

3

Podaj wzór rekurencyjny tego ciągu oraz jego 5 pierwszych wyrazów.
Aby rozwiązać to zadanie trzeba jedynie wiedzieć jak powstaje taki szereg. Szeregi generujące
tworzy się tak, że mnoży się ciąg a

n



n=0

∞

przez t

n

oraz sumuje po wszystkich n. (Wcześniej

jeszcze trzeba zadbać o to aby wzór był prawdziwy dla wszystkich n∈ℤ . Ale w tym zadaniu
jest to nieistotne bo my idziemy od tyłu ;) ). Stąd szereg taki z definicji wygląda tak:

At =

∑

n=0

∞

a

n

t

n

.

Żeby otrzymać funkcję taką jak mamy w zadaniu należy pomnożć te ciągi przez jakieś
wielokrotności t

i

gdzie i∈ℕ . A potem odjąć do siebie. Takie mnożenie po prostu przesuwa

wyrazy ciągu względem siebie (przy odejmowaniu wielomianów). Potem korzysta się z wzoru
rekurencyjnego z którego wyszlismy tak aby zwinąć jakoś sensownie współczynniki przy
potęgach t. Na końcu pozostaje mieć nadzieje, że będziemy taką funkcję potrafili rozwinąć w szereg
aby sprawdzić jaki jest współczynnik przy t

n

bo byłby to wzór zwarty.

Na szczęście my robimy tu inżynierię wstezcną która jest znacznie prostsza. Na początek trzeba
pomnożyć obie strony przez mianownik 1−3tt

3

. Otrzymamy: 1−3tt

3



At=23t5t

2

.

Teraz, biorąc pod uwagę to co przed chwilą napisałem, widać, że przy jak wymnożymy A(t) przez
nawias to otrzymamy kolejno A(t), -3tA(t) oraz t

3

At . Jak widać mnożenie przez 1 nie

„przesuwa” nam ciągu specjalnie stąd wnioskujemy, że ktoś tworzący funkcję mnożył ją przez

−

3t oraz

t

3

. To dodatkowe A(t) jest nam po tej stronie niepotrzebne, ale przyda się po

drugiej ;)

−

3tt

3



At =−At23t5

2

Zastanówmy sią jak wyglądałoby A(t) gdybyśmy mieli wyrazy ciągu. Z definicji wyglądałoby to
tak:

At =a

0



a

1

ta

2

t

2



...a

n

t

n



...

Zatem jeśli pomnożymy A(t) kolejno przez

−

3t

oraz t

3

otrzymamy dwa ciągi:

−

3t At=−3 a

0

t−3 a

1

t

2

−

3 a

2

t

3

−

...−3 a

n−1

t

n

−

...

t

3

At=a

0

t

3



a

1

t

4



a

2

t

5



...a

n−3

t

n

Teraz jeśli oba ciągi dodamy sobie stronami to otrzymamy:

−

3tt

3



At =−3 a

0

t−3a

1

t

2



a

0

−

3a

2



t

3



a

1

−

3a

3



t

4



...a

n−3

−

3a

n −1



t

n



...

Wcześniej ustaliliśmy że −3tt

3



At =−At23t5

2

a zatem:

−

At23t5

2

=−

3 a

0

t−3a

1

t

2



a

0

−

3a

2



t

3



a

1

−

3a

3



t

4



...a

n−3

−

3a

n−1



t

n



...

(*)

Rozpisując lewą stronę otrzymujemy:

−

At23t5

2

=

2−a

0



3−a

1



t5−a

2



t

2

−

a

3

t

3

−

a

4

t

4

−

...−a

n

t

n

−

...

(**)

Teraz już tylko wystarczy porównać wielomiany. Oczywiście nie ma co robić tego nieskończenie
wiele razy ;) Interesuje nas tylko początek i n-ty wyraz. Z porównania pierwszych kilku
początkowych wyrazów otrzymamy początkowe wyrazy ciągu rekurencyjnego. Porównując

wspólcznniki przy t

n

ortzymamy równanie rekurencyjne, o które nam chodzi.

W wielomianie (**) wyraz wolny jest równy

2−a

0

natomiast w (*) wyraz wolny jest 0. Z

porównania ich wychodzi, że

a

0

=

2

. Analogicznie porównujemy współczynniki przy kolejnych

dwóch wyrazach otrzymując wartości:

a

1

=

9, a

2

=

32

.

Na końcu porównamy współczynniki przy t

n

otrzymując równanie:

−

a

n

=

a

n −3

−

3 a

n−1

Po podzieleniu przez -1 otrzymujemy wreszcie końcową postać wzoru rekurencyjnego:

{

a

0

=

2

a

1

=

9

a

2

=

32

a

n

=

3a

n−1



a

n−3

}

Na końcu pozostało nam już tylko wyznaczyć jeszcze dwa wyrazy ciągu żeby dokończyć zadanie:

a

3

=

3⋅322=98

a

4

=

3⋅989=303

I koniec ^^